多次三角函数的积分怎么算 sinx的四次方dx,希望能告诉下计算过程,

用积化和差公式
因为(sinx)^4=(cos4x)/8-cos(2x)/2+3/8
所以原积分=sin(4x)/32-sin(2x)/4+3x/8+C
其他的方法也能做,不过太麻烦了

让4x=t
4 dx = dt
dx = (1/4) dt

∫ arctan(4x) dx = (1/4) ∫ arctan(t) dt
令
dv = dt; u = arctan(t)
v=t ; du = 1/(1+t^2)

∫ u dv = u v - ∫ v du
∫ arctan(t) dt = (1/4) t arctan(t) - (1/4) ∫ t dt /(1+t^2)
To integrate ∫ t dt /(1+t^2) , let 1+t^2 = z
2t dt = dz
t dt = (1/2) dz

∫ t dt /(1+t^2) = (1/2) ∫ dz/z = (1/2) ln(z) = (1/2) ln (1+t^2)
∫ arctan(t) dt = (1/4) t arctan(t) - (1/4)(1/2)ln (1+t^2)
最后把t再用x代换回来
=(1/4) 4x arctan(4x) - (1/8) ln (1+ (4x)^2 ) + C
= x arctan(4x) - (1/8) ln (1+ 16x^2 ) + C

如图所示，这是由对称性决定的

f(x)=[sin(x)]^4的周期是π，对称轴是x=kπ/2（k为整数）。由对称性、定积分的几何性质知原式成立

(sinx)^2=(1-cos2x)/2，因此(sinx)^2的周期与cos2x相同，等于π

(sinx)^4=[(sinx)^2]^2=[(1-cos2x)/2]^2=(1-cos2x)^2/4=[1-2cos2x+(cos2x)^2]/4=[1-2cos2x+(1+cos4x)/2]/4，(sinx)^4的周期是cos2x的周期（等于π）和cos4x的周期（等于π/2）的最小公倍数，故(sinx)^4的周期是π

以此类推，(sinx)^(2k)=a + bcos2x + ccos4x + dcos6x + （k=1,2,3），周期是π、π/2、π/3……的最小公倍数，即(sinx)^(2k)的周期是π

而(sinx)^(2k)的对称轴是x=kπ/2（k为整数），即在[0,π]内的图形关于x=π/2对称，故有∫(0→π/2)(sinx)^(2k)dx=∫(π/2→π)(sinx)^(2k)dx=(1/2)∫(0→π)(sinx)^(2k)dx

由此推出∫(0→2π)(sinx)^4dx=2∫(0→π)(sinx)^4dx=22∫(0→π/2)(sinx)^4dx=4∫(0→π/2)(sinx)^4dx

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