三重积分怎么求椭圆体积求详细步骤～!设椭圆公式是x^2a^2 +y^2b^2...

你有高数课本吗你可以看一下高数下册第五版上101页的例题,利用先二后一的积分方法写起来太麻烦不懂的话可以百度HI我
求体积更多的是利用一重积分和二重积分,这道题的本身也可以利用一重积分,用垂直与Z轴的截面去截椭球体,得到的截面积为πab(1-z^2/c^2),然后做z从负c到c的积分这其实也就是三重积分中先二后一积分法的积分思想最后结果4πabc/3

当被积函数ƒ(x，y，z)
=
1时三重积分几何意义为立体ω的体积。
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球面坐标：
所求体积
=
∫∫∫_ω
dv
=
∫(0→2π)
dθ
∫(0→π/4)
sinφdφ
∫(0→2cosφ)
r²dr
=
2π∫(0→π/4)
sinφdφ

[
r³/3
]
|(0→2cosφ)
=
(2/3)π∫(0→π/4)
8cos³φ
d(-
cosφ)
=
(-
16/3)π

(1/4)[
cos⁴φ
]
|(0→π/4)
=
(-
4/3)π

(1/4
-
1)
=
π
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柱面坐标：dz：z²
=
x²
+
y²
=>
dzの面积
=
πz²
所求体积
=
∫∫∫_ω
dv
=
∫∫∫_ω₁
dv
+
∫∫∫_ω₂
dv
=
∫(0→1)
[∫∫_dz
dxdy]
dz
+
∫∫dxy
[∫(1→1
+
√(1
-
x²
-
y²))
dz]
dxdy
=
∫(0→1)
πz²
dz
+
∫(0→2π)
dθ
∫(0→1)
rdr
∫(1→1
+
√(1
-
r²)
dz
=
π/3
+
2π

∫(0→1)
r√(1
-
r²)
dr
=
π/3
+
2π

(1/3)
=
π
其中:ω₁是由锥面z
=
√(x²
+
y²)和z
=
1围成
ω₂是由半球体z
=
1
+
√(1
-
x²
-
y²)和z
=
1围成

这个问题问得好呀~~对基本的积分问题进行了思考的。通常我们知道一般三重积分跟求体积是相关的。如何求这个体积呢？我们求积分就是一个微元的思维。我们用截面法也就是说截体积的一个面，然后求出面积，再这些截面的面积累加起来就成了体积了。也就是我们通常说的先二后一的计算方法了 希望对你有帮助~~采纳哦~~

其实，三重积分，就是把一重积分和二重积分的扩展
三重积分及其计算
一,三重积分的概念
将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数,就得到三重积分的定义
其中 dv 称为体积元,其它术语与二重积分相同
若极限存在,则称函数可积
若函数在闭区域上连续, 则一定可积
由定义可知
三重积分与二重积分有着完全相同的性质
三重积分的物理背景
以 f ( x, y, z ) 为体密度的空间物体的质量
下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法
二,在直角坐标系中的计算法
如果我们用三族平面 x =常数,y =常数, z =常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体
其体积为
故在直角坐标系下的面积元为
三重积分可写成
和二重积分类似,三重积分可化成三次积分进行计算
具体可分为先单后重和先重后单
①先单后重
——也称为先一后二,切条法( 先z次y后x )
注意
用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分
化三次积分的步骤
⑴投影,得平面区域
⑵穿越法定限,穿入点—下限,穿出点—上限
对于二重积分,我们已经介绍过化为累次积分的方法
例1 将
化成三次积分
其中 为长方体,各边界面平行于坐标面
解
将 投影到xoy面得D,它是一个矩形
在D内任意固定一点(x ,y)作平行于 z 轴的直线
交边界曲面于两点,其竖坐标为 l 和 m (l < m)
o
x
y
z
m
l
a
b
c
d
D
(x,y)
例2 计算
其中 是三个坐标面与平面 x + y + z =1 所围成的区域
D
x
y
z
o
解
画出区域D
解
除了上面介绍的先单后重法外,利用先重后单法或切片法也可将三重积分化成三次积分
先重后单,就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分
若 f(x,y,z) 在 上连续
介于两平行平面 z = c1 , z = c2 (c1 < c2 ) 之间
用任一平行且介于此两平面的平面去截 得区域
则
②先重后单
易见,若被积函数与 x , y 无关,或二重积分容易计算时,用截面法较为方便,
就是截面的面积,如截面为圆,椭圆,三角形,正方形等,面积较易计算
尤其当 f ( x , y , z ) 与 x , y 无关时
希望对你有帮助

可以用轮换对称法，中心在原点的椭球体，关于xyz轴都对称。所以可以先求出在第一卦象的体积再乘以8。第一卦限的体积可以用极坐标系求，也就是用切片法。

当题目为一个轮换对称式时，可用轮换对称法进行分解。（轮换对称式：交换这些式子中的任意两个字母，式子不变，另外，两个轮换对称式的和、差、积、商仍然是轮换对称式。）

对比次数

用原式的次数减去必有因式的次数，然后再乘上差的次数的对应的式子。

须添上的轮换对称式：

1次：x+y+z。

2次：x²+y²+z²、xy+yz+zx。

3次：x³+y³+z³、x²y+y²z+z²x、xy²+yz²+zx²、xyz。

说明：此题应用球面坐标求解最简便，解法如下。

3（3）解：原式=∫<0,2π>dθ∫<0,π/3>dφ∫<0,R>(rcosφ)²•r²sinφdr

=2π•∫<0,π/3>cos²φd(cosφ)•∫<0,R>r^4dr

=2π•(7/24)•(R^5/5)

=7πR^5/60

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