计算三重积分

把Ω投影到y轴，得区间[0，2]
从[0，2]雷任取y，作垂直于y轴平面，截得区域z^2＋x^2≤1＋y^2
所以，Ω表示为：0≤y≤2，z^2＋x^2≤1＋y^2
∫0～2 e^y dy ∫∫{D} dzdx
＝4π∫0～2 e^y(1＋y^2) dy
＝
自己计算吧

3设x=rcosa,y=rsina,则dv=rdadrdz,
I=∫<0,h>dz∫<0,2π>da∫<0,z>[r^3(cosa)^3+rsina+z^2]rdr
=∫<0,h>dz∫<0,2π>da[(1/5)r^5(cosa)^3+(1/3)r^3sina+(z^2/2)r^2]|<0,z>
=∫<0,h>dz∫<0,2π>[(z^5/5)(cosa)^3+(z^3/3)sina+z^4/2]da
=∫<0,h>πz^4dz
=(1/5)πh^5
其中∫<0,2π>(cosa)^3da=[sina-(1/3)(sina)^3]|<0,2π>=0,
∫<0,2π>sinada=-cosa|<0,2π>=0
仅供参考

1关于这道三重积分求的过程见上图。

2求此三重积分时，积分拆开成三项。

3，第一项积分用到被积函数是1的三重积分，等于积分区域的体积，即圆柱体的体积。

4第二项积分，利用二重积分的对称性，则积分为0。

5第三项积分用柱面坐标系计算出积分。

具体的求三重积分的过程见上。

被积函数推广到三元函数,切条法(
先z次y后x
)
注意
用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分,
则一定可积
由定义可知
三重积分与二重积分有着完全相同的性质
三重积分的物理背景
以
f
(
x
这里有一个幻灯片
其实,得平面区域
⑵穿越法定限
二,三角形,用截面法较为方便,
就是截面的面积,如截面为圆,椭圆,就得到三重积分的定义
其中
dv
称为体积元,三重积分可化成三次积分进行计算
具体可分为先单后重和先重后单
①先单后重
——也称为先一后二,其它术语与二重积分相同
若极限存在,则称函数可积
若函数在闭区域上连续,就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分
若
f(x,y,z)
在
上连续
介于两平行平面
z
=
c1
,
z
=
c2
(c1
<
c2
)
之间
用任一平行且介于此两平面的平面去截
得区域
则
②先重后单
易见,若被积函数与
x
,
y
无关,或二重积分容易计算时,y)作平行于
z
轴的直线
交边界曲面于两点,各边界面平行于坐标面
解
将
投影到xoy面得D,它是一个矩形
在D内任意固定一点(x
,穿入点—下限,穿出点—上限
对于二重积分,y)
例2
计算
其中
是三个坐标面与平面
x
+
y
+
z
=1
所围成的区域
D
x
y
z
o
解
画出区域D
解
除了上面介绍的先单后重法外,利用先重后单法或切片法也可将三重积分化成三次积分
先重后单,我们已经介绍过化为累次积分的方法
例1
将
化成三次积分
其中
为长方体,其竖坐标为
l
和
m
(l
<
m)
o
x
y
z
m
l
a
b
c
d
D
(x,
y,
z
)
为体密度的空间物体的质量
下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法
化三次积分的步骤
⑴投影,在直角坐标系中的计算法
如果我们用三族平面
x
=常数,y
=常数,
z
=常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体
其体积为
故在直角坐标系下的面积元为
三重积分可写成
和二重积分类似,三重积分的概念
将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域，三重积分，就是把一重积分和二重积分的扩展
三重积分及其计算
一

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