怎样用数学方法判断一个数是质数

方法一、用试除法判断一个自然数a是不是质数时，用各个质数从小到大依次去除a，如果到某一个质数正好整除，这个a就可以断定不是质数；如果不能整除，当不完全商又小于这个质数时，就不必再继续试除，可以断定a必然是质数．
方法二、只要找出x为一个奇数和一个偶数平方差的形式（这是一定的）便可以a2-b2=(a+b)(a-b)便是两个因数。
例如26341，先找出比26341大的一个偶平方数，26896，与它的差是555，肯定不是平方数，再下一个平方数（其实考虑到(x+1)^2=x2+2x+1，因此直接将原数加上2x+1就行了，用不着算x+1的平方），27556， 差1215，也不是，然后28224个位与1的差为3，直接排除，下一个2559也不是（一看就知道它等于50^2+59）。再下个差为3直接排出，再下个、再再下个……找出规律来就很快了，最后221^2=48841,48841-26341=22500，很明显22500=150^2，就分解出来了26341=71×371

要找出质数和合数，首先要了解质数和合数的性质：

（1）质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。

（2）合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。

（3）1 ：只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。

利用如上性质可以有如下快速方法：

1、100以内找质数、合数：

看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。另外要注意最小的质数是2，最小的合数是4，每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。

2、分解质因数方法：

把一个合数分解成多个质数相乘的形式。

利用树状图，例：

分析：先把36写成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数就不再进行分解了；如果两个因数中还有合数，那我们继续分解，一直分解到全部因数都是质数为止。

扩展资料：

质数具有许多独特的性质：

（1）质数p的约数只有两个：1和p。

（2）初等数学基本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。

（3）质数的个数是无限的。

参考资料来源：百度百科——质数

对于“快速找出质数和合数”这个问题，难度相当的大，纵观古今，许多数学家为了找出最大的素数（也就是质数）或者为了找到一个计算质数的一般的公式，付出了很大的心血，其中，著名的“1+1”猜想是其中一个代表其实所研究问题获得的理论价值远远大于哪些问题本身
还有，由美国密苏里州立中央大学数学家柯蒂斯·库珀教授领导的科研小组最近发现了迄今人类已知的最大梅森素数（质数）该素数为2＾30402457－1，它有9152052位数；如果用普通字号将这个数字连续写下来，它的长度可达4万米!
那么你的问题是不是就没有解了呢？答案不是这样的对于比较小的数，也是有很多方法快速找出素数（质数）
例如：找出1～100之间的质数
第一步，列出数表：
1　2　3　4　5　6　7　8　9　10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
再进行以下 *** 作：
①：划去2的倍数（2除外）
剩下：
1　2　3　5　7　9
11 13 15 17 19
21 23 25 27 29
31 33 35 37 39
41 43 45 47 49
51 53 55 57 59
61 63 65 67 69
71 73 75 77 79
81 83 85 87 89
91 93 95 97 99
②：划去3的倍数（3除外）
1 2 3 5 7
11 13 17 19
23 25 29
31 35 37
41 43 47 49
53 55 59
61 65 67
71 73 77 79
83 85 89
91 95 97
③：划去5的倍数（5除外）
1 2 3 5 7
11 13 17 19
23 29
31 37
41 43 47 49
53 59
61 67
71 73 77 79
83 89
91 97
④：划去7的倍数（7除外）
1 2 3 5 7
11 13 17 19
23 29
31 37
41 43 47
53 59
61 67
71 73 79
83 89
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…………………
重复上述过程，即在剩下的数中依次去掉前面的质数的倍数（接下来去掉11、13、17……的倍数），最后记得也把1给去掉，最后即可得出下面的质数表：
2 3 5 7
11 13 17 19
23 29
31 37
41 43 47
53 59
61 67
71 73 79
83 89
97
上面的方法是古老的方法，称为“筛法”
具体做法是：给出要筛数值的范围，先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一个素数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一个素数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不断重复下去。
因为希腊人是把数写在涂腊的板上，每要划去一个数，就在上面记以小点，寻求质数的工作完毕后，这许多小点就像一个筛子，所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托斯特尼筛法”，简称“筛法”。
供参考！

可以负责任的告诉你，其实对于“快速找出质数和合数”这个问题，难度相当的大，纵观古今，与多数学家为了找出最大的素数（也就是质数）或者为了找到一条公式，付出了很大的心血，其中，著名的“1+1”猜想是其中一个代表。其实所研究问题获得的理论价值远远大于哪些问题本身。
还有，由美国密苏里州立中央大学数学家柯蒂斯·库珀教授领导的科研小组最近发现了迄今人类已知的最大梅森素数（质数）。该素数为2＾30402457－1，它有9152052位数；如果用普通字号将这个数字连续写下来，它的长度可达4万米！
那么你的问题是不是就没有解了呢？答案不是这样的。对于比较小的数，也是有很多方法快速找出素数（质数）。例如：
想按照下面那样写下一段数（下面取1～100）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
再进行以下 *** 作：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
①：划去2的倍数（2除外）
剩下：
1 2 3 5 7 9
11 13 15 17 19
21 23 25 27 29
31 33 35 37 39
41 43 45 47 49
51 53 55 57 59
61 63 65 67 69
71 73 75 77 79
81 83 85 87 89
91 93 95 97 99
②：划去3的倍数（3除外）
1 2 3 5 7
11 13 17 19
23 25 29
31 35 37
41 43 47 49
53 55 59
61 65 67
71 73 77 79
83 85 89
91 95 97
③：划去5的倍数（5除外）
1 2 3 5 7
11 13 17 19
23 29
31 37
41 43 47 49
53 59
61 67
71 73 77 79
83 89
91 97
④：划去7的倍数（7除外）
1 2 3 5 7
11 13 17 19
23 29
31 37
41 43 47
53 59
61 67
71 73 79
83 89
97
⑤：划去9的倍数（9除外）
2 3 5 7
11 13 17 19
23 29
31 37
41 43 47
53 59
61 67
71 73 79
83 89
97
最后记得也把1给去掉哈。
所以去掉的（除1外）都是合数，剩下的就是质数。
小小提示，仅供参考哈。也许你会想出更好的办法！

寻找素数的简易方法
作者：王诚基
1． 素数（>3）都是：6N-1；6N+1；
定理：素数（>3）都是：6N-1；6N+1；---N>0
∵6N+2=2（3N+1）；6N+3=3（2N+1）；6N+4=2（3N+2）---是合数。
∵6N+5=6（N+1）-1
∴素数（>3）只能是：6N-1； 6N+1；---N>0

2．‘准素数’
为了叙述方便，特引入‘准素数’的概念。
朴数：2；
特殊素数：1；3；5；
普通素数：大于5的素数。
　准素数---包括：
1- 普通素数的乘方；---N²；N³；。。。
2- 两个普通素数的乘积；---NM
3- 普通素数与普通素数乘方的乘积。---NM²；NM³；。。。
4- 普通素数乘方与普通素数乘方的乘积。---N²M²；。。。
6N-1；6N+1；包含所有的普通素数。
6N-1；6N+1；包含所有的准素数。（有待证明）
3．‘筛法’
目前，所有的N以内的素数表都是用‘筛法’得到的，步骤如下：
1- 去掉所有的2的倍数；
2- 去掉所有的3的倍数；
3- 去掉所有的5的倍数；
4- 删除所有的合数，余下的均为素数。
这个方法的前三步是很容易的，因为---偶数、3的倍数、5的倍数---是一目了然的。
困难在于第4步，删除了‘偶数、3的倍数、5的倍数’之后，对剩下的每一个数进行检验：区分---它是合数？还是素数？---这是一个很大的工作量。
4．‘填充法’---准素数对号入座
因为，梦中老农猜想：
所有的大于5的素数和准素数，充满了{6N-1；6N+1；排除5的倍数}，
所以，梦中老农考虑：
是否存在一个比较简易的制作素数表的方法呢？
前提是已经有了一个某数之前的素数表。比如，现在已经有了10亿之内的素数表，我们欲制作60亿之内的素数表，就可借用现成的素数表。
这个方法可名为‘填充法’：
欲制定一个6N之内的素数表，先列出所有的‘6N-1；6N+1；’排除5的倍数之后，将已知的准素数对号入座，则空位者必定是素数。
这个方法，应该比‘筛法’省力很多

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