怎么证明数列收敛的必要条件是充分条件

过程如下：

lim（x趋于∞）

xsin1/x=lim（x趋于∞）

(sin1/x)/(1/x)=lim（x趋于0）

sinx/x=1

扩展资料：

设{xn} 是一个数列，如果对任意ε>0，存在N∈Z，只要 n 满足 n > N，则对于任意正整数p，都有|xn+p-xn|<ε，这样的数列{xn} 便称为柯西数列。这种渐进稳定性与收敛性是等价的。即为充分必要条件。

数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

在满足以下条件时，牛顿迭代法是二阶收敛的：

①f(a)f(b)<0;

②f'(x)≠0,x∈[a,b];

③f''(x)在[a,b]上不变号；

④f-f(a)/f(b)≤b,b-f(b)/f'(b)≥a

而考虑牛顿迭代法的局部收敛性，牛顿可以具有二阶以上的阶数

定理一：设函数f(x)在邻域U(x)内存在至少二阶连续导数,x是方程f(x)的单根，则当初始值x0充分接近方程f(x)的根x时，牛顿迭代法至少局部二阶收敛；

定理二：设x是方程f(x)=0的r重根，这里r≥2，且函数f(x)在邻域U（x）内存在至少二阶连续导数，则牛顿迭代法局部线性收敛。

求方程的复根时，牛顿迭代发具有局部线性收敛速度，因此可以改进牛顿迭代发，使其在求复根时具有更高阶的收敛速度。

解题过程如下：

利用恒等式：

1 = (n+1) - n = (√(n+1) + √n)(√(n+1) - √n)，

级数的通项可以写成1/(√(n+1) + √n)n^p，而当n->无穷时，这与

1/n^{p+1/2}是同阶的，这又是正项级数，所以收敛性与∑1/n^{p+1/2}相同（比较判别法）

又∵∑1/n^{p+1/2}收敛当且仅当p+1/2 > 1，即p>1/2

∴p>1/2时级数收敛，否则发散。

迭代算法的敛散性：

对于任意的X0∈[a,b],由迭代式Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，即其当k→∞时，Xk的极限趋于X，则称Xk+1=φ（Xk）在[a，b]上收敛于X。

若存在X在某邻域R={X| |X-X|<δ},对任何的X0∈R，由Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，则称Xk+1=φ（Xk）在R上收敛于X。

1、设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛。

2、求数列的极限，如果数列项数n趋于无穷时，数列的极限能一直趋近于实数a，那么这个数列就是收敛的；如果找不到实数a，这个数列就是发散的。看n趋向无穷大时,Xn是否趋向一个常数,可是有时Xn比较复杂,并不好观察。这种是最常用的判别法是单调有界既收敛。

3、加减的时候,把高阶的无穷小直接舍去如 1 + 1/n,用1来代替乘除的时候,用比较简单的等价无穷小来代替原来复杂的无穷小来如 1/n sin(1/n) 用1/n^2 来代替

4、收敛数列的极限是唯一的，且该数列一定有界，还有保号性，与子数列的关系一致。不符合以上任何一个条件的数列是发散数列。另外还有达朗贝尔收敛准则,柯西收敛准则,根式判敛法等判断收敛性。

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收敛是一个经济学、数学名词，是研究函数的一个重要工具，是指会聚于一点，向某一值靠近。收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。

收敛数列

令{}为一个数列，且A为一个固定的实数，如果对于任意给出的b>0,存在一个正整数N，使得对于任意n>N,有|-A|<b恒成立，就称数列{}收敛于A（极限为A），即数列{}为收敛数列。

函数收敛

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。

如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）至un（x） 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）++un（x）+⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数

对于每一个确定的值X0∈I,函数项级数 ⑴ 成为常数项级

u1（x0）+u2（x0）+u3（x0）++un（x0）+ （2） 这个级数可能收敛也可能发散。如果级数（2）发散，就称点x0是函数项级数（1）的发散点。

函数项级数（1）的收敛点的全体称为他的收敛域 ，发散点的全体称为他的发散域 对应于收敛域内任意一个数x，函数项级数称为一收敛的常数项 级数 ，因而有一确定的和s。

这样，在收敛域上 ，函数项级数的和是x的函数S（x），通常称s（x）为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成S（x）=u1（x）+u2（x）+u3（x）++un（x）+把函数项级数 ⑴ 的前n项部分和 记作Sn(x)，则在收敛域上有lim n→∞Sn(x)=S(x)

记rn(x)=S(x)-Sn(x),rn(x)叫作函数级数项的余项 （当然，只有x在收敛域上rn（x）才有意义，并有lim n→∞rn (x)=0

迭代算法的敛散性

1全局收敛

对于任意的X0∈[a,b],由迭代式Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，即其当k→∞时，Xk的极限趋于X，则称Xk+1=φ（Xk）在[a，b]上收敛于X。

2局部收敛

若存在X在某邻域R={X| |X-X|<δ},对任何的X0∈R，由Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，则称Xk+1=φ（Xk）在R上收敛于X。

参考资料：

百度百科：收敛

收敛性如果是选择题，有一些方法。
1、图象，波动越来越小，所有三角函数有界不收敛。
2、有极限肯定收敛
3、当x增大时，f(x)的“界”递减。
如果证明题，那就一步一步来吧。
间断点：一般是趋于无穷的点。

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