高等数学 心形线绕极轴转一圈的体积怎么求？求过程

心形线 r(θ) = a(1+cosθ) 极轴之上部分 0 ≤ θ ≤ π。

故所求旋转体体积

V = ∫ <0, π> (2π/3) r^3sinθ dθ

= (2π/3)a^3 ∫ <0, π> (1+cosθ)^3sinθ dθ

= -(2π/3)a^3 ∫ <0, π> (1+cosθ)^3 d(1+cosθ)

= -(π/6)a^3[(1+cosθ)^4]<0, π> = (8π/3)a^3。

单位换算

1立方分米=1000立方厘米=1000000立方毫米=1升=1000毫升=0061 立方英寸。

1立方厘米=1000立方毫米=1毫升=0000061 立方英寸。

1 立方米=1000 立方分米=1000000立方厘米=1000000000立方毫米=0353 立方英尺=13079 立方码。

1 立方英寸=0016387 立方分米=16387立方厘米=16387立方毫米。

1立方英尺=283立方分米=28300立方厘米=28300000立方毫米。

1 立方码=27 立方英尺=07646 立方米=1646立方分米=164600立方厘米=164600000立方毫米。

1 立方尺 = 31143蒲式耳(英) = 32143 蒲式耳(美）。

1 加仑(美) =00037854118 立方米 =08326741845 加仑（英）。

百度百科-体积

设密度是ρ
那么所围区域的质量m=ρ∫∫ds=ρ∫∫rdrdθ=ρ∫(0->2π)dθ ∫(0->a(1-cosθ)) rdr=3πa^2ρ/2
由于心形线是关于x轴对称的,所以型心的纵坐标y0=0
x0=ρ∫∫xds /m=ρ∫∫r^2cosθdrdθ /m=ρ∫(0->2π)cosθdθ ∫(0->a(1-cosθ)) r^2dr /m
=(-5πa^3ρ/4) / (3πa^2ρ/2)
=-5a/6
所以型心是(-5a/6,0)

心形线r=a(1-cosθ)或r=a(1+cosθ)都是周期函数,只要在一个周期内,θ在-π到+π之间,或θ在0到2π之间都行,但在高等数学里心形线往往用于求曲线长度或所围面积,则用θ在-π到+π之间表示后积分计算方便

心形线围成的图形面积，计算方法如下：

心形线极坐标方程为ρ=a(1-sinθ)，

那么所围成的面积为：

S=2x(1/2)∫(-π/2->π/2)  ρ&#178;(θ)dθ

=∫(-π/2->π/2) a&#178;(1-sinθ)&#178;dθ

=3πa&#178;/2

心形线，是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名。

其极坐标方程为：

水平方向： r=a(1-cosθ) 或 r=a(1+cosθ) (a>0)

垂直方向： r=a(1-sinθ) 或 r=a(1+sinθ) (a>0)

其图像和平面坐标的分标段方程为：

笛卡尔的爱心函数读法:
1、心形线，r=a（1-sinθ）。相传笛卡尔流落到瑞典，在瑞典，邂逅美丽的公主克里斯蒂娜。国王知道了此事后，强行拆散了他们。后来，笛卡尔染病死去，在临死前给公主寄去了最后一封信，信中只有一行字：r=a（1-sinθ）。这个故事，后来张东升讲给了朱朝阳听。这就是著名的“心形线”。
2、128√(e^980)。128√(e^980)是ILoveYou的数学公式，最早来源于韩国的一首MV，叫《Ineedyou》。MV中，女孩在黑板上写下了数学公式“128√(e^980)”，男主角冥思苦想都算不出来，女孩擦掉了公式的上半部分，就变成了英文的ILoveYou。ILoveYou公式出现在《Ineedyou》这个MV1分50秒处。此外，《大叔，我爱你》这部在1小时零1秒处也运用过这个公式。

考虑半个心形线（θ属于0到180度）,每一段弧元（ds=sqrt(dr^2+(rdθ)^2)）绕极轴转成一个梯形环面元,面积等于2πRds,R是该弧到极轴的距离：
R=rsinθ
所以立体的侧面积就是：
2πRds的积分,把上面的R和ds代入,并利用条件代入r的表达式
结果得到一个不太复杂的形式：
2sqrt(2)πa^2(1+cosθ)^(3/2)dθ
把积分变量代换成θ/2,可以比较容易地解出定积分式:
16πa^2（x-x^3/3）,x=sin(θ/2)
总的表面积是从0到π的积分当然,如果说心形线凹进去的部分不算侧面积,只要求出沿极轴方向离顶点最远的点的θ=2π/3,并把它做为积分上限即可
结果分别是：
(32πa^2)/3 和 6sqrt(3)πa^2

结果为：(-5a/6,0)

m=ρ∫∫ds=ρ∫∫rdrdθ

=ρ∫(0->2π)dθ ∫(0->a(1-cosθ)) rdr

=3πa^2ρ/2

由于心形线是关于x轴对称的，所以型心的纵坐标y0=0

x0=ρ∫∫xds /m

=ρ∫∫r^2cosθdrdθ /m

=ρ∫(0->2π)cosθdθ ∫(0->a(1-cosθ)) r^2dr /m

=(-5πa^3ρ/4) / (3πa^2ρ/2)

=-5a/6

所以型心是(-5a/6,0)

扩展资料

性质：

任何一根连续的线条都称为曲线。包括直线、折线、线段、圆弧等。处处转折的曲线一般具有无穷大的长度和零的面积，这时，曲线本身就是一个大于1小于2维的空间。

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

作为推论，如果两个  上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。

以曲线的全部或确定的一段作为研究对象时，就得到曲线的整体的几何性质。设曲线C的参数方程为r=r(s)，s∈α,b)，s为弧长参数,若其始点和终点重合r(α)=r(b))，这时曲线是闭合的，称为闭曲线。若它在这点的切向量重合，即r┡(α)=r┡(b))，且自身不再相交。

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