第一型曲线积分的计算

第一型曲线积分的计算如下：

当L是平面上某一可求长度的曲线f（x，y）， 是其密度函数，当计算物体的质量问题时便须要第一型曲线积分。首先对L作分割，把分成n个可求长度的小曲线段Li，（i=1，2，…，n），并在每一个上任取一点Pi， 由于密度函数为消此连续函数,故当的弧长都很小时，每一小段的质量可近似地等于f（Pi）Si，其中Si 为小曲线段的长缓睁度。

于是在整个上的质量就近似地等于和式，当对L的分割越来越细密时，上述和式的极限就应是该物体的质量。定袜拍义在平面曲线或空间曲线上的函数关于该曲线的积分。第一型曲线积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲线消此，计算该曲线的质量。

曲线积分：

数学中，曲线积分是积分的一种。积分函数的销改取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径告桥羡。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积消此分或围道积分。曲线积分可分为：第一类曲线积分和第二类曲线积告桥羡分。先看一个例子：设有一曲线形构件占xOy面上的一段曲线消此 ，设构件的密度分布函数为告桥羡ρ（x，y）。

设ρ（x，y）定义在L上且在L上连续，求构件的质量。对于密度均匀的物件可以直接用ρV求得质量；对于密度不均匀的物件，就需要用到曲线积分，dm=ρ（x，y）ds；所以m=∫ρ（x，y）告桥羡ds；L是积分路径，∫ρ（x，y）ds就叫做对弧长的曲线积袜拍分。

方法一：格林公式对圆周补线段AB：y=0，x：-2--->2，这样c+AB就是封闭曲线了∮(c+AB)
xy²dy-x²ydx=∫∫(y²+x²)dxdy
积分区域为：x²+y²=2，上半圆用极坐标=∫[0--->π]dθ∫[0--->√2]
r³dr=π(1/4)r⁴
|[0--->√2]=π下面计算AB上的积分∫(AB)
xy^2dy-x^2ydx=∫[-2---->2]
0dx=0因此原积分=π-0=π方法二：将c写为参数方程得：x=√2cost，y=√2sint，t：0---->π代入原积分：∫c
xy^2dy-x^2ydx=∫[0--->π]
(4cos²tsin²t+4cos²tsin²t)dt=2∫[0--->π]
sin²2tdt=∫[0--->π]
(1-cos4t)dt=t-1/4sin4t
|[0--->π]=π

这里已经告诉你积分路径是一个闭合曲线，但是有些人把它说成是线积分是不对的，线积分的积分元为ds或者有些人用dL，但是这里是对dx积分。
看你的解法已经把题目中当成dL去积分了，要么是你题目把dL粗心抄错了要么就是你的解法错了。
这是是我们的第一类（记不太清楚究竟是第几类了）积分，跟积分路径无关只跟起点终点有关，因此沿着L1积分恰好跟反过来的L2积分差一个符号而已因此结果为0（但是这个0并不是象有些人说的解析函数在封闭曲线线积分为0那样来的，他说的这句话结论是对的但是不应该是拿来这里讲的）

求解过程如图：

扩展资料：

当形成曲线的动点P（x，y），随着另一个已知曲线f（x，y）=0上的动点Q（w，z）有规律的运动时，我们可以得到w=g（x，y），z=h（x，y），再利用f（x，y）=0，可得到曲线方程。

对曲线方程进行积分，以求得需要的数学量，称为曲线积分。

曲线积分的几何意义

1、在数学中，曲线积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分；

2、对弧长的曲线积分称为第一类曲线积分，对于第一类曲线积分，不含被积函数，是曲线积分长度；含被积函数，理解为被积函数是曲线线密度，积分就是曲线质量或面积；

3、对坐标轴的曲线积分称为第二类曲线积分，对于第二类曲线积分，把积分函数看成力F,积分之后为力F沿着曲线所作功。

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