等比数列求和公式？

等比数列求和公式为：Sn=na1(q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-anq)/(1-q) （q不等于1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。

求和公式

求和公式推导：

（1）Sn=a1+a2+a3++an(公比为q)

（2）qSn=a1q + a2q + a3q ++ anq = a2+ a3+ a4++ an+ a(n+1)

（3）Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)

（4）a(n+1)=a1qn

（5）Sn=a1(1-qn)/(1-q)（q≠1)

扩展资料

相关应用：

远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中，下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有几盏灯。

每层塔所挂的灯的数量形成一个等比数列，公比q=2，我们设塔的顶层有a1盏灯。7层塔一共挂了381盏灯，S7=381，按照等比求和公式，  那么有a1乘以1-2的7次方，除以1-2，等于381能解出a1等于3  尖头必有3盏灯。

参考资料来源：百度百科-等比数列求和公式

1）等比数列：a（n+1）/an=q,
n为自然数。

（2）通项公式：an=a1q^（n－1）；

推广式：
an=am·q^(n－m)；

（3）求和公式：Sn=na1(q=1)

Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

=(a1-a1q^n)/(1-q)

=a1/(1-q)-a1/(1-q)q^n
(
即a-aq^n)

(前提：q不等于
1)

（4）性质：

①若
m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am·an=apaq；

②在等比数列中，依次每
k项之和仍成等比数列

(5）“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”

（6）在等比数列中，首项A1与公比q都不为零

注意：上述公式中A^n表示A的n次方。

一、等比数列求和公式推导

由等比数列定义 

a2=a1q 

a3=a2q 

a(n-1)=a(n-2)q 

an=a(n-1)q 共n-1个等式两边分别相加得 

a2+a3++an=[a1+a2++a(n-1)]q 

即 Sn-a1=(Sn-an)q,即（1-q）Sn=a1-anq 

当q≠1时,Sn=(a1-anq)/（1-q） (n≥2) 

当n=1时也成立

当q=1时Sn=na1 

所以Sn= na1（q=1） ；(a1-anq)/（1-q） (q≠1)。

二、等比数列求和公式推导

错位相减法

Sn=a1+a2 +a3 ++an

Snq= a1q+a2q++a(n-1)q+anq= a2 +a3 ++an+anq

以上两式相减得（1-q）Sn=a1-anq

三、等比数列求和公式推导

数学归纳法

证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1·q0=a1，等式成立；

（2）假设当n=k（k≥1，k∈N）时，等式成立，即ak=a1qk-1；

当n=k+1时，ak+1=ak·q=a1qk=a1·q（k+1）-1；

这就是说，当n=k+1时，等式也成立；

由（1）（2）可以判断，等式对一切n∈N都成立。

参考资料：

百度百科词条--等比数列求和公式

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