对面积的曲面积分公式中的ds是怎么来的？为什么不能直接等于dxdy？

dS是曲面面积微元，dxdy是dS在xoy平面的投影的面积微元，二者并不相等，但是满足一定关系。

具体回答如图：

曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。

扩展资料：

当动线按照一定的规律运动时，形成的曲面称为规则曲面；当动线作不规则运动时，形成的曲面称为不规则曲面。形成曲面的母线可以是直线，也可以是曲线。

如果曲面是由直线运动形成的则称为直线面(如圆柱面、圆锥面等)；由曲线运动形成的曲面则称为曲线面(如球面、环面等)。

直线面的连续两直素线彼此平行或相交(即它们位于同一平面上)，这种能无变形地展开成一平面的曲面，属于可展曲面。如连续两直素线彼此交叉(即它们不位于同一平面上)的曲面。

参考资料来源：百度百科---曲面积分

这个是曲面积分

投影到xoy面

先求出z对x和y的偏导数

dS＝√[(z对x偏导数)的平方＋(z对y偏导数)的平方]dxdy

过程如下：

扩展资料：

积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际 *** 作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。

比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。

参考资料：

百度百科-二重积分

继续往下算，把dS再化成dxdy，dS＝√3dxdy，二重积分的积分区域是由两坐标轴与直线x+y=3/2围成的等腰直角三角形，面积是1/2×3/2×3/2＝9/8。
所以积分＝-4∫∫dxdy＝-4×9/8＝-9/2。

不难学的，哥们给你说说吧：
第一类曲线积分，可以通过将ds转化为dx或dt变成定积分来做，但是单纯的第一类曲线积分和二重积分没有关系，只有通过转化为第二类曲线积分后，要是满足格林公式或者斯托科斯公式条件，可以用公式转化为简单的曲面积分，再将曲面积分投影到坐标面上转化为二重积分来计算，这是第一类曲线积分和二重积分关系，但是第一类曲线积分和三重积分么有任何关系……
第一类曲面积分，可以通过公式变换，将dS转化为dxdy，直接转化为二重积分来做，但是和三重积分没有任何关系，只有通过转化为第二类曲面积分，满足了高斯公式条件，才能用高斯公式转化为三重积分来计算
曲线积分与定积分，曲面积分与二重积分的区别：曲面积分、曲线积分都是给定了特定的曲线或者曲面的方程形式，意思是在曲线上或曲面上进行积分的，而不是像普通的二重积分和定积分那样直接在xyz坐标上进行积分，所以要将第一类曲线积分，第一类曲面积分通过给定的方程形式变换成在xyz坐标进行积分，另外既然给定了曲线或曲面方程，就可以根据方程把一个量表示成其他的两个量的关系，因为是在给定的曲线或曲面方程上进行积分的，所以要满足给定的曲线或曲面的方程，所以各个量之间可以代换的，这个普通的定积分和二重积分不能这么做的……
第一类曲线积分：对线段的曲线积分，有积分顺序，下限永远小于上限……求解时米有第二类曲线积分简单，需要运用公式将线段微元ds通过给定的曲线方程形式表示成x与y的形式，进行积分，这个公式书里面有的，就是对参数求导，然后再表示成平分和的根式……
第二类曲线积分：对坐标的曲线积分，没有积分顺序，意思是积分上下限可以颠倒了……
第一类曲线积分和第二类曲线积分的关系：可以用余弦进行代换，余弦值指的是线段的切向量，这个书本里面的，我就不写了
第一类曲面积分：对面积的曲面积分，求解时要通过给定的曲面方程形式，转化成x与y的形式，这个公式书里面也有的，就是求偏导吧？然后表示成平方和根式的形式
第二类曲面积分：对坐标的曲线积分，这个简单一些，好好看看就可以了
两类曲面积分的联系：可以用余弦代换，但是这个余弦是曲面的法向量
下面给出第一类曲线积分和第一类曲面积分的联系，方便你记忆：都是要转化成在xyz坐标面上的积分，都是平方和的根式形式，但是第一类曲线积分是对参数求导，第一类曲面积分是求偏导，为何都是平方和的根式形式？原因是在微段或微面上用直线代替曲线，相当于正方体求对角线，你想想是不是，肯定要出现平方和的根式，你好好看看推导过程……
第二类曲线积分与第二类曲面积分的关系：
第二类曲线积分如果封闭的话，可以用格林公式或斯托克斯公式化简
第二类曲面积分如果封闭的话，可以用高斯公式进行化简
这些东西很有趣的，你要学会对应的记忆啊……

曲面法向量方向余弦前两个cosA与cosB的正负号与第三个cosr相反。

曲面Z=x^2+y^2的法向量为n=(-2x, -2y, 1)。

那么曲面在三个坐标平面上的投影满足：

dydz：dzdx：dxdy=(-2x)：(-2y)：1。

所以，dydz= -2xdxdy，dzdx= -2ydxdy。

曲面积分

平面面积(Δσ)是曲面面积(ΔS)在xOy面下的投影。

曲面积分中有与不同面对应的三个方向余弦。

对于yoz面，dydz = cosα dS。

对于zox面，dzdx = cosβ dS。

对于xoy面，dxdy = cosγ dS。

其中dydz、dzdx、dxdy分别是dS在三个不同的面下的面积投影区域。

考虑在xoy面上，γ是曲面dS在某一点的法向量与z轴之间形成的夹角。

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