用圆规怎么把一个圆五等分

以 O 为圆心, a 为半径作一个圆

⑴ 以 a 为半径在圆上相继取相等的弧 AB, BC, CD 和 DE

⑵ 以 AC 为半径, A 和 D 分别为圆心, 作弧相交于 F

⑶ 以 OF 为半径, A 为圆心作弧交圆 O 于 G

⑷ 仍以 OF 为半径, 分别以 C 和 E 为圆心, 作弧交于 H

GH 即是内接正五边形的边长, 以圆上任意一点开始, GH 为半径, 相继在圆上取 5 个点, 这 5 个点就可以五等分圆

详细作图法及证明请参阅我空间文档:

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1
3等分
先用圆规画一个圆，在圆上任意取一个点，以原半径为半径画弧，交圆与两点，再以其中一个点，以原半径为半径画弧，又交圆与两点（其中一个点与最初的一点重合），用另一点画弧，再交一点即把圆三等分。
这样把圆的周长六等分，再取其中的三等分点。
2
4等分
作一条弦的垂直平分线，就是圆的直径，再作直径的垂直平分线，就把圆4等分了。
3
5等分
画个五角星
具体做法：
黄金分割法
做出圆O，作直径MN，作AO⊥MN，作出ON的中点P，连结PA，作PQ=PA交MN于Q，连结QA，以A为圆心，AQ为半径作弧交⊙O于B、E，作出五角星的另外两个交点C、D，连接各点，即可得。
还有一个近似五角星的做法，但不标准，口诀:九五顶五九，
八、五两边走。
4
7等分
[思路分析]
尺规作图没办法将圆7等分
[解题过程]
在经过继续研究后，高斯最终在1801年对整个问题给出了一个漂亮的回答。高斯指出，如果仅用圆规和直尺，作圆内接正n边形，当n满足如下特征之一方可做出：
1)　n=2m；（
为正整数）
2)　边数n为素数且形如
n=22t（t+1=0
、1、2……）。简单说，为费马素数。
3)　边数
n具有n=2mp1p2p3pk
，其中p1、p2、p3…pk为互不相同的费马素数。
由高斯的结论，具有素数p条边的正多边形可用尺规作图的必要条件是p为费马数。由于我们现在得到的费马素数只有前五个费马数，那么可用尺规作图完成的正素数边形就只有3、5、17、257、65537。进一步，可以做出的有奇数条边的正多边形也就只能通过这五个数组合而得到。这样的组合数只有31种。而边数为偶数的可尺规做出的正多边形，边数或是2的任意次正整数幂或与这31个数相结合而得到

1只用一把圆规,如何把一圆分为四等分
我用两种方法

对于这个问题我们应该从古希腊三大几何问题之一的用尺规三等份任意角问题说起。

阿基米德曾经想出一个办法，他预先在直尺上记一点P，令直尺的一个端点为C。对于任意画的一个角，他以这个角的顶点O为圆心，以CP的长度为半径画半个圆使这半个圆的两条边相交于A,B两点

然后，阿基米德移动直尺，使C点在AO的延长线上移动使P点在圆周上移动当直尺正好通过B点时停止移动，将CPB三点连接起来
接下来阿基米德将直尺沿直线CPB平行移动，使C点正好移动到O点，并作直线OD可以检验AOD正好是原来角AOB的三分之一也就是说，阿基米德已经将一个角分成了三等份

但是，人们并不承认阿基米德解决了三等份角问题为什么不承认呢？理由很简单阿基米德预先在直尺上作了一 个 记号P，使得直尺上实际有了刻度的功能这是一个不能允许的"犯规"动作因为古希腊人规定： 在尺规作图法中直尺上不能有任何刻度而且直尺与圆规都只准许使用有限次

根据阿基米德想的这个方法，再不 "犯规"的情况下我们首先以任意长R为半径作圆O经过圆心作一条直线并与圆的一边相交于点A 然后，再以圆心O点为顶点作任意角BOA, B点在圆上并且直尺绕B点旋转 用圆规再在直尺所在的直线上截取线段CD，使得CD等于R, C点圆O上D点在直线AO 上这样就可以检验角CDO正好是角AOB的三分之一我想说的也并不仅这些，关于角等份问题还有好多 ，例如：

(1)同样我们以R为半径作圆O，并经过圆心O作一条直线，交圆于C,A两点再作任意角BOAB点在圆O 上，同时连接CB 我们就可以得到角BCO 等于二分之一角BOA 这个方法就可以作出一个角的两等份角

(2)如果在CD的延长线上截取BD 使得BD等于R， 并连接DO，即角CDO等于三分之一角DOA 当我们将所有的D 点都找出来时， 它的轨迹就是一条曲线了 而（1）所述的B点的轨迹却是一个圆

(3)应此，我们可由（1）想到当直尺绕 C点旋转时，同样，用圆规在直尺所在直线上截取线段DE， 使得DE等于R D点在圆O上，E点在OB上既我们可以知道角CEO等于三分之一角BOA

(4)我们以同样的方法在直线上继续截取，我相信我们会有收获的在（2）的基础上在OD的延长线上截取线段DE，使得DE等于CD这样得到角CEO等于六分之一角DOA

(5)在（4）的基础上在CE的延长线上截取线段EF使得EF等于CD 这样角CFO等于十一分之一角FOA 。。 在（1）的基础上如果我们只在一条直线上 不断截取

1，在CB的延长线上截取可得到

角CDO等于三分之一角DOA 角DEO等于无分之一角EOA

角CFO等于九分之一角FOA 角CGO等于十七分之一角GOA

。。。。

2在OB的延长线上截取可得到

角CDO等于四分之一角BOA 角CFO等于八分之一角BOA

角CFO等于十六分之一角BOA 角CGO等于三十二分之一角BOA

。。。。。。

如果对于此种作图方法感兴趣的朋友可以继续想下去 其中会有很多东西让我们去发现并能和大家交流一下
2怎样有圆规把圆平均分成8等分
可以参考正八边形做法（和八等分圆一样）

尺规做法如下：

1做正方形ABCD的外接圆圆O。（正方形做法 可以做两条 相互垂直的直径（用中垂线） 然后连接各交点）

2过圆心O向任意一边（设为AB）作垂线并延长，延长线交圆弧于E。

4然后圆规量取AE长度，再以A、C为圆心画弧，得到与圆O的交点，分别为E、F、G、H。

5连接EAFBGCHD，即为正八边形。

用尺规的话 就这一种了

将一个圆用圆规分成六等分：

1、首先用圆规测量出圆的半径，圆规一端在圆心，一端在圆的任意一点，具体如图所示。

2、在圆上任意一点，以圆半径做圆弧，与原来的圆相交于A、B两点，具体如图所示。

3、以A作为圆心，再以圆半径做圆弧，与原来的圆相交C、D两点，具体如图所示。

4、同理做出E、F点，具体如图所示。

5、连接A、B、C、D、E、F各点，就能将一个圆用圆规分成六等分，具体如图所示。

将一个圆用圆规分成三等分：

1、首先用圆规测量出圆的半径，圆规一端在圆心，一端在圆的任意一点，具体如图所示。

2、在圆上任意一点，以圆半径做圆弧，与原来的圆相交于A、B两点，具体如图所示。

3、以A作为圆心，再以圆半径做圆弧，与原来的圆相交C、D两点，具体如图所示。

4、同理做出E、F点，具体如图所示。

5、连接C、D、F各点，就能将一个圆用圆规分成三等分，具体如图所示。

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