关于向量2范数求导?求解答

定义：零范数——向量中非0的元素的个数。关于范数：函数与几何图形往往是有对应的关系，这个很好想象，特别是在三维以下的空间内，函数是几何图像的数学概括，而几何图像是函数的高度形象化，比如一个函数对应几何空间上若干点组成的图形。但当函数与几何超出三维空间时，就难以获得较好的想象，于是就有了映射的概念，映射表达的就是一个集合通过某种关系转为另外一个集合。通常数学书是先说映射，然后再讨论函数，这是因为函数是映射的一个特例。为了更好的在数学上表达这种映射关系，（这里特指线性关系）于是就引进了矩阵。这里的矩阵就是表征上述空间映射的线性关系。而通过向量来表示上述映射中所说的这个集合，而我们通常所说的基，就是这个集合的最一般关系。于是，我们可以这样理解，一个集合（向量），通过一种映射关系（矩阵），得到另外一个几何（另外一个向量）。那么向量的范数，就是表示这个原有集合的大小。而矩阵的范数，就是表示这个变化过程的大小的一个度量。而0范数则指向量中非0的元素的个数。

定义一个矩阵A=[-1 2 -3;4 -6 6]。
矩阵的1范数 ：矩阵的每一列上的元素绝对值先求和，再从中取个最大的，（列和最大），上述矩阵A的1范数先得到[5,8,9]，再取最大的最终结果就是：9。
矩阵的2范数 ：矩阵 A 的最大特征值开平方根，上述矩阵A的2范数得到的最大结果是：100623。
矩阵的无穷范数 ：矩阵的每一行上的元素绝对值先求和，再从中取个最大的，（行和最大），上述矩阵A的1范数先得到[6;16],再取最大的最终结果就是：16。
矩阵的核范数 ：矩阵的奇异值（将矩阵svd分解）之和，这个范数可以用来低秩表示（因为最小化核范数，相当于最小化矩阵的秩--低秩），上述矩阵A的最终结果就是109287。
矩阵的L0范数 ：矩阵的非0元素的个数，通常用它来表示稀疏，L0范数越小0元素越多，也就越稀疏，上述矩阵A最终结果就是：6。
矩阵的L1范数 ：矩阵中的每个元素绝对值之和，它是L0范数的最优凸近似，因此它也可以表示稀疏，上述矩阵A最终结果就是：22。
矩阵的F范数 ：矩阵的各个元素平方之和再开平方根，它通常也叫做矩阵的L2范数，它的优点在它是一个凸函数，可以求导求解，易于计算，上述矩阵A最终结果就是100995。
矩阵的L21范数 ：矩阵先以每一列为单位，求每一列的F范数（也可认为是向量的2范数），然后再将得到的结果求L1范数（也可以认为是向量的1范数），很容易看出它是介于L1和L2之间的一种范数，上述矩阵A最终结果就是：171559。

摘抄自： >方法/步骤分步阅读
（1）在求矩阵的范数之前，我们首先要清楚我们要求得是那一类矩阵范数，通常我们常用的矩阵范数可以分为：1范数，2范数，无穷范数，和Frobenius范数。
（2）上面介绍了几种常用的范数表示形式了，那么下面来看下怎么求具体的范数值。当然，我们可以根据定义来求每个范数的值，这样只针对于矩阵维度较小的矩阵适用，下面我们来看下当矩阵维数较大时我们怎么通过matlab来求矩阵的不同范数。
（3）首先，我们来看下矩阵的1范数怎么通过matlab来求。
先在matlab命令窗口中生成一个希尔伯特矩阵a=hilb(4)，然后，在命令窗口中输入nm1=norm(a,1) ，其中norm就是求矩阵范数的函数，1表示的是1范数。程序运行结果如下图所示，显然红色圈中部分就是所求的结果对应的列。
（4）其次，看下怎么求矩阵的2范数。
先在matlab命令窗口中生成一个希尔伯特矩阵a=hilb(4)，然后，在命令窗口中输入nm2=norm(a,2) ，其中norm就是求矩阵范数的函数，2表示的是2范数。程序运行结果如下图所示，当然这里不能向1范数那样，一眼看出结果。
（5）下面看下怎么求矩阵的无穷范数。（相信聪明的同学已经想到了）
先在matlab命令窗口中生成一个希尔伯特矩阵a=hilb(4)，然后，在命令窗口中输入nm3=norm(a,inf) ，其中norm就是求矩阵范数的函数，inf表示的是无穷范数。程序运行结果如下图所示。
（6）最后我们看下怎么求矩阵的Frobenius范数。
先在matlab命令窗口中生成一个希尔伯特矩阵a=hilb(4)，然后，在命令窗口中输入nm4=norm(a,'for') ，其中norm就是求矩阵范数的函数，for表示的是Frobenius范数,就是前三个字母嘛。程序运行结果如下图所示。
至此几种常用的矩阵范数都求出来了，大家可以试试了！

这是Golub那本《Marix Computations》中section 232的矩阵范数性质，利用向量的范数性质（section 222）和定义来证明就可以了，令norm1表示1范数，norm2表示2范数，normi表示无穷范数。
Proof of 1):
不等式左边：存在向量x，使得norm1(A) = norm1(Ax) / norm1(x)，那么有
norm1(A) / sqrt(m) = [norm1(Ax) / sqrt(m)] / norm1(x) <= norm2(Ax) / norm1(x) = [norm2(Ax) / norm2(x)] [norm2(x) / norm1(x)] <= norm2(Ax) / norm2(x) <= norm2(A)，证毕。
不等式右边：存在向量y，使得norm2(A) = norm2(Ay) / norm2(y)，那么有
norm2(A) = norm2(Ay) / norm2(y) <= norm1(Ay) / norm2(y) = [norm1(Ay) / norm1(y)] [norm1(y) / norm2(y)] <= [norm1(Ay) / norm1(y)] sqrt(n) <= sqrt(n) norm1(A)，证毕。
Proof of 2):
记第i行、第j列元素aij为A中最大绝对值元素；A = [A1; A2; A3; ; An]，Ai为A的第i列，则有
不等式左边：存在向量x = [0, ,0 ,1 , 0, ,0]'满足除第j个元素为1，其他元素为0，那么有
aij = normi(Ax) <= norm2(Ax) / norm2(x) <= norm2(A)，证毕。
不等式右边：存在向量y，使得norm2(A) = norm2(Ay) / norm2(y)，那么有
norm2(A) = norm2(Ay) / norm2(y) <= norm2(Ay) sqrt(n) / norm1(y) <= sqrt(m) normi(Ay) sqrt(n) / norm1(y) = sqrt(mn) normi(Ay) / norm1(y) <= sqrt(mn) [normi(y1A1) + + normi(ynAn)] / norm1(y) <= sqrt(mn) [y1normi(Aj) + y2normi(Aj) + + ynnormi(Aj)] / norm1(y) = sqrt(mn) normi(Aj) = sqrt(mn) aij，证毕。

矩阵A的2范数就是 A的转置乘以A矩阵特征根 最大值的开根号
如A={ 1 -2
-3 4 }
那么A的2范数就是（15+221^1/2)^1/2 了
程序如下：
#include "stdioh"
#include "mathh"
#define N 20
main()
{
int i,j,k; int size,max; int a[N][N],b[N][N],c[N][N],d[N][N];
int s; int S[N],M[N]; float l;
printf("请输入方正的n:"); scanf("%d",&size);
printf("\n");
printf("请输入矩阵:\n");
for(i=0;i<size;i++) {
for(j=0;j<size;j++) {
scanf("%d",&a[i][j]);
}
}
printf("%d%d的阶方阵A为:\n",size,size);
for(i=0;i<size;i++)
{
for(j=0;j<size;j++){
printf("%d ",a[i][j]);
}
printf("\n");
}
printf("\n");
for(j=0;j<size;j++){
s=0;
for(i=0;i<size;i++){
s=s+abs(a[i][j]);
}
S[j]=s;
}
printf("\n");
for(i=0;i<size;i++) {
for(j=0;j<size;j++) {
b[i][j]=a[j][i];
}
}
for(k=0;k<size;k++) {
for(i=0;i<size;i++) {
s=0;
for(j=0;j<size;j++) {
s=s+a[j][i]b[k][j];
}
d[k][i]=s;
}
}
s=0;
for(i=0;i<size;i++)
for(j=0;j<size;j++)
s=s+a[i][j]a[i][j];
l=sqrt(s); printf("2范数为:%f\n",l);
printf("\n");
}

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