椭圆的面积公式，怎么推导出来的

1仿射变换法
其实从椭圆方程可知，椭圆是一个被“压缩”了的圆。
设椭圆方程为：(x/a)^2+(y/b)^2=1
令：x'=x，y'=ya/b，
我们就可以在新的坐标系中得到一个圆：x'^2+y'^2=a^2
新坐标系其实是一个在y方向等比（比例为a/b）拉长了的坐标系，这样在新坐标系得到面积 S=πa^2后，再乘以比例b/a后得到：S=πab 就是所求答案
2积分
取第一象限部分，y=SQR（b^2-b^2x^2/a^2）,积分从0到a，换元t=x/a， 得S/4=ab∫（0，1）SQR（1-t^2）dt,根据积分的几何意义，所求的积分为1/4单位圆的面积，得证S=πab
看到以上2种方法，有些惭愧，但还是写下了我的推导方法，原理跟第二种方法类似，前提是圆的面积公式和积分定理，如下
在坐标系X0Y中，作圆：x'^2+y'^2=a^2 ，和焦点在X轴的椭圆：(x/a)^2+(y/b)^2=1 （椭圆的长轴长与圆的直径相等）
先将上2个方程换成第一，二象限用Y关于X的解释式
半圆：g(x)=SQR(a^2-x^2) 半椭圆：h(x)=SQR（b^2-b^2x^2/a^2）=(b/a)SQR(a^2-x^2)
令f(x)=g(x)-h(x)=(1-b/a)(a^2-x^2),积分从-a到a得∫(-a,a)f(x)dt=(1-b/a)∫(-a,a)g(x) (积分的性质）
由圆的面积易知∫(-a,a)g(x)=05πa^2
则∫(-a,a)f(x)dt=（1-b/a)(05πa^2)
（∫(-a,a)f(x)dt表示在第一，二象限圆的面积减去椭圆的面积）
那么椭圆在第一，二象限的面积就等于05πa^2-（1-b/a)(05πa^2) =05πab
那么椭圆的总面积S=205πab=πab，得证

广义极坐标变换:
x=a rcost,y=b rsint,直角坐标(x,y) 极坐标（r,t）
面积元素dxdy= a b r drdt
面积= t:0-->2pi,r:0-->1 被积函数是abr 的二重积分
=∫0,2πdt∫0,1abrdr
=2πab(1/2)
=πab

因为两轴焦点在0点，所以椭圆的面积可以分为4个相等的部分，分别是+x+y、-x+y、-x-y、+x-y四个区域，所以只要求出一个象限间所夹的面积，然后再乘以4就可以得到整个椭圆的面积。拣最简单的来吧，先求第一象限所夹部分的面积。
根据定积分的定义及图形的性质，我们可以把这部分图形无限分为底边在x轴上的小矩形，整个图形的面积就等于这些小矩形面积和的极限。现在应用元素法，在图
形中任找取一点，然后再取距这点距离无限近的另一个点，这两点间的距离记做dx，然后取以dx为底边，两点分别对应的y为高，与曲线相交够成的封闭的小矩
形的面积s，显然，s=ydx
现在求s的定积分，即大图形的面积s，s=∫[0:a]ydx
意思是求0
到
a上y关于x的定积分
步骤：（第一象限全取正，后面不做说明）
s=∫[0:a]ydx=∫[0:a]|sqr(b^2-b^2x^2/a^2)|dx
设
x^2/a^2=sin^2t
则
∫[0:a]|sqr(b^2-b^2x^2/a^2)|dx=∫[0:pi/2]bcost
d(asint)
pi=圆周率
∫[0:pi/2]bcost
d(asint)=∫[0:pi/2]bacos^2t
dt
cos^2t=1-sin^2t
∫[0:pi/2]bacos^2t
dt
=[abt](0:pi/2)-∫[0:pi/2]basin^2t
dt
这里需要用到一个公式：∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[0:pi/2]f(cosx)dx
证明如下
sinx=cos(pi/2-x)
设u=pi/2-x
则
∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[pi/2:0]f(cosu)d(pi/2-u)=
-∫[0:pi/2]f(sinu)d(pi/2-u)=∫[0:pi/2]f(sinu)du=∫[0:pi/2]f(sinx)dx
则∫[0:pi/2]bacos^2t
dt
=[abt](0:pi/2)-∫[0:pi/2]basin^2t
dt=ab（pi/2）-∫[0:pi/2]bacos^2t
dt
那么
2∫[0:pi/2]bacos^2t
dt=ab（pi/2)
则s=ab(pi/4)
椭圆面积s_c=abpi
可见椭圆面积与坐标无关，所以无论椭圆位于坐标系的哪个位置，其面积都等于半长轴长乘以半短轴长乘以圆周率
证完

椭圆面积算法如下：

S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长)或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴，短轴的长)。

定理内容：

如果一条固定直线被甲乙两个封闭图形所截得的线段比都为k，那么甲面积是乙面积的k倍。

那么椭圆的面积为πab。

因为两轴焦点在0点，所以椭圆的面积可以分为4个相等的部分，分别是+x+y、-x+y、-x-y、+x-y四个区域，所以只要求出一个象限间所夹的面积，然后再乘以4就可以得到整个椭圆的面积。拣最简单的来吧，先求第一象限所夹部分的面积。

根据定积分的定义及图形的性质，我们可以把这部分图形无限分为底边在x轴上的小矩形，整个图形的面积就等于这些小矩形面积和的极限。

现在应用元素法，在图 形中任找取一点，然后再取距这点距离无限近的另一个点，这两点间的距离记做dx，然后取以dx为底边，两点分别对应的y为高，与曲线相交够成的封闭的小矩 形的面积s，显然，s=ydx 现在求s的定积分，即大图形的面积S，S=∫[0:a]ydx 意思是求0 到 a上y关于x的定积分 步骤：（第一象限全取正，后面不做说明）。

S=∫[0:a]ydx=∫[0:a]|sqr(b^2-b^2x^2/a^2)|dx 设 x^2/a^2=sin^2t 则 ∫[0:a]|sqr(b^2-b^2x^2/a^2)|dx=∫[0:pi/2]bcost d(asint) pi=圆周率 ∫[0:pi/2]bcost 。d(asint)=∫[0:pi/2]bacos^2t dt cos^2t=1-sin^2t ∫[0:pi/2]bacos^2t dt =[abt](0:pi/2)-∫[0:pi/2]basin^2t dt 这里需要用到一个公式：

∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[0:pi/2]f(cosx)dx 证明如下 sinx=cos(pi/2-x) 设u=pi/2-x 则 ∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[pi/2:0]f(cosu)d(pi/2u)=∫[0:pi/2]f(sinu)d(pi/2u)=∫[0:pi/2]f(sinu)du=∫[0:pi/2]f(sinx)dx 则∫[0:pi/2]bacos^2t dt =[abt](0:pi/2)-∫[0:pi/2]basin^2t dt=ab（pi/2）-∫[0:pi/2]bacos^2t dt 那么 2∫[0:pi/2]bacos^2t dt=ab（pi/2) 。

椭圆面积S_c=abpi 可见椭圆面积与坐标无关，所以无论椭圆位于坐标系的哪个位置，其面积都等于半长轴长乘以半短轴长乘以圆周率。

椭圆面积是椭圆在第一象限的部分与坐标轴所围成面积的四倍
[0,a] 4 ∫ b√(1-x²/a²) dx （令 x = a sint）
=[0,π/2] 4b ∫ √(1-a²sin²t/a²) a cost dt
=[0,π/2] 4ab ∫ cos²t dt
=[0,π/2] 2ab ∫ (1+cos2t) dt
= ab(2t+sin2t) | [0,π/2]
= πab

其实就是把一个圆形压扁了，所以:
πRR→πaa→πaa(b/a)→πab
也就是说，可以看成是一个半径为半长轴a的圆的“高度”被压缩为半短轴b了，所以高度压缩比例为b/a，那么面积也压缩为原来圆面积的b/a了。

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ，其在第一象限内部分的面积=∫ydx，由于dx=-asinθdθ，所以积分=-∫ab(sinθ)^2dθ（积分限π/2到0）=-ab∫(1-cos2θ)dθ/2,=πab/4，根据对称性，知椭圆面积=πab。

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