算术平均值的均方根误差公式怎么推出来的

导读：
本文介绍均方根法的计算、逻辑以及确保其有效性的注意事项。
01
统计分析法
均方根法是统计分析法的一种，在了解均方根法之前，需要了解什么是统计分析法。
统计分析法是如何产生的
极值法是考虑尺寸链中的所有尺寸均同时处于最大值或最小值，即最差或最坏的情况。
但是，一般我们认为在零部件实际加工后的尺寸分布是符合正态分布，请参考文章：
干货 | 要做好公差分析，必须了解零件加工的尺寸分布形态
均方根法的计算及其背后逻辑：其实也不难
均方根法的计算及其背后逻辑：其实也不难
▲正态分布
即，绝大多数的零件尺寸分布都是靠近平均值，离平均值越近，分布数量越多；离平均值越远，分布数量越少。
那么可以看出，尺寸链中的一个尺寸处在最大值或最小值的几率本身就非常小；多个尺寸同时处在最大值或最小值的几率那就更加小了。
所以，极值法发生的可能性非常小，与真实状况严重不符合。
统计分析法就是在这样的情况下产生的。
统计分析法是考虑零件加工过程中尺寸的真实分布，运用概率统计理论进行公差计算，不要求100%的良率（允许失效发生），适当放大尺寸链中尺寸公差，降低零件精度要求，从而降低制造成本。
统计分析法的假设
统计分析法是基于以下假设：
1）尺寸链中的各个尺寸符合正态分布；
2）正态分布的平均值与设计名义值重合，没有偏移；
3）尺寸链中的各个尺寸都是独立的，互不关联；
4）尺寸链中各个尺寸都需要进行SPC制程管控；如果实际实际加工后的尺寸分布与假设的不符，那么统计分析法的结果就会存在偏差；
5）使用统计分析法，不能保证100%的有效性，可能会有较小几率的失效发生。
02
均方根法简介和计算
什么是均方根法
顾名思义，均方根法（Root Sum Square , 简称RSS）是把尺寸链中的各个尺寸公差的平方之和再开根即得到目标尺寸的公差。
均方根法的计算及其背后逻辑：其实也不难
均方根法的计算
1）名义值的计算
目标尺寸的名义值为尺寸链上尺寸的名义值之和：
均方根法的计算及其背后逻辑：其实也不难
式中Dasm是目标尺寸的名义值，Di是尺寸链上各尺寸的名义值。
2）公差的计算
目标尺寸的公差为尺寸链上各个尺寸的公差平方之和再开根：
均方根法的计算及其背后逻辑：其实也不难
式中Tasm是目标尺寸的公差，Ti是尺寸链上各尺寸的公差。
均方根法计算实例
例1：如图所示，尺寸A为10±02mm，尺寸B为15±03mm，请计算尺寸AB累积后的名义值和公差。
均方根法的计算及其背后逻辑：其实也不难
解：
名义值为：10+15=25mm
公差为：
均方根法的计算及其背后逻辑：其实也不难
即尺寸A和B累积后的尺寸为25±036mm。
同极值法一样，均方根法的计算也是很简单。
03
赶飞机的均方根法计算
假设你经常要从家里出发到打车去机场坐飞机,按照过往的经验统计：
从打开滴滴下单到司机接单时间为5±2分钟
等待司机上门的时间为10±3分钟
到飞机场时间为50±20分钟
机场安检以及从安检口登机为30±10分钟
那么，使用均方根法，从滴滴下单到登机口的最快时间和最慢时间是多少？
均方根法的计算及其背后逻辑：其实也不难
首先计算名义值：
假设每一个环节都没有误差，那么到达机场的时间为：
5+10+50+30=95分钟
即使用均方根法到达机场的名义值为95分钟，这一点与极值法、蒙特卡洛法等均相同
然后计算累积公差:
累积公差为每一环节的公差平方之和再开根
均方根法的计算及其背后逻辑：其实也不难
使用均方根法，从滴滴下单到到达机场的时间为95±2265分钟，即最快7235分钟，最慢11765分钟。
04
均方根法计算的背后逻辑
均方根法的计算结果能够满足几σ水平
如果尺寸链中每一个尺寸公差均满足±4σ的制程能力，那么均方根法分析的结果也满足±4σ的制程能力。
均方根法的计算及其背后逻辑：其实也不难
▲均方根法的计算实质
同样的，如果尺寸链中每一个尺寸公差均满足±1σ、±2σ、±3σ、±6σ的制程能力，那么均方根法分析的结果也就相应的满足±1σ、±2σ、±3σ、±6σ的制程能力。
如何提高均方根法有效性
有些时候，我们通过均方根法进行尺寸公差累积的计算，结果符合要求。但是在实际生产过程中，却依然有失效的情况发生。
例如，在赶飞机的案例中，按照均方根法的计算结果，到达机场的时间最慢为11765分钟。但是，如果我们每次都仅仅提前11765分钟滴滴下单，次数多了会免不了会有赶不上飞机的情况发生，因为真的有可能每一个环节最差状况发生了。
均方根法的计算及其背后逻辑：其实也不难
如果我们希望减小失效，能够达到4σ的水平，那么我们需要进行SPC制程管控，确保做到以下几点：
1）尺寸链中的各个尺寸都符合正态分布；
2）正态分布的平均值与设计名义值重合，没有偏移；实际生产时，我们经常发现尺寸中心值偏离设计名义值；那么这个时候我们就需要通过修改模具或者调整工艺参数等方法来减小偏移。
3）各个尺寸的制程能力满足Cpk≥133，即4σ水平。当制程能力较低时，需要提高制程能力。
—END—
作者简介：钟元，著有书籍《面向成本的产品设计：降本设计之道》和《面向制造和装配的产品设计指南》
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1、首先，打开SPSS软件，导入需要进行聚类分析的数据文件。
2、选择“Analyze”菜单中的“Classify”选项，并在d出的菜单中选择“K-MeansCluster”进行k均值聚类分析。
3、在“K-MeansCluster”对话框中，设置要进行聚类的变量和聚类数量，然后点击“OK”按钮进行计算。
4、在聚类完成后，可以在SPSS菜单栏中选择“Utilities”-“SaveDistanceVariables…”菜单，将每个变量到其所属聚类中心的距离保存为一个新的变量，以便后续计算SSE和轮廓系数。
5、计算SSE：选择“Transform”-“ComputeVariable”菜单，在d出的“ComputeVariable”对话框中，输入一个新变量名，然后在表达式框中输入“$sysmis(Distance_var_name)^2”，其中Distance_var_name为第4步中保存的距离变量名。点击“OK”按钮即可计算并生成一个新的变量，该变量即为SSE。
6、计算轮廓系数：选择“Analyze”-“Classify”-“K-MeansCluster”菜单，然后在d出对话框中选择“Clusterinfo”选项卡，在“Outputoptions”区域中勾选“Silhouettecoefficients”，然后点击“OK”按钮进行计算。计算完成后，SPSS会自动在输出结果中显示每个样本的轮廓系数。

标准误也称标准误差。标准误的计算公式是标准差的平方/N的结果再开根号。均方根误差亦称标准误差，其定义为，i=1，2，3，…n时，在有限测量次数中，均方根误差常用下式表示：√[∑di^2/n]=Re。均方根误差是预测值与真实值偏差的平方与观测次数n比值的平方根，在实际测量中，观测次数n总是有限的，真值只能用最可信赖（最佳）值来代替。

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