大学数学中浮点数要怎么计算啊？

请耐心看完：
浮点数运算
假定有两个浮点数 X=Mx 2Ex ， Y=My 2Ey
（1）加减运算
实现X±Y运算,需要如下五步:
11 对阶 *** 作,即比较两个浮点数的阶码值的大小求△E=Ex-Ey。当其不等于零时,首先应使两个数取相同的阶码值。其实现方法是,将原来阶码小的数的尾数右移|△E|位,其阶码值加上|△E|,即每右移一次尾数要使阶码加1,则该浮点数的值不变(但精度变差了)。尾数右移时,对原码形式的尾数,符号位不参加移位,尾数高位补0;对补码形式的尾数,符号位要参加右移并使自己保持不变。为减少误差,可用另外的线路,保留右移过程中丢掉的一到几位的高位值,供以后舍入 *** 作使用。
12 实现尾数的加(减)运算,对两个完成对阶后的浮点数执行求和(差) *** 作。
13 规格化处理,若得到的结果不满足规格化规则,就必须把它变成规格化的数，规格化处理规则如下:
 当结果尾数的两个符号位的值不同时,表明尾数运算结果溢出。此时应 使结果尾数右移一位,并使阶码的值加1,这被称为向右规格化,简称右规。
 当尾数的运算结果不溢出,但最高数值位与符号位同值,表明不满足规格化规则,此时应重复地使尾数左移、阶减减1,直到出现在最高数值位上的值与符号位的值不同为止,这是向左规格化的 *** 作,简称左规。
14 舍入 *** 作。在执行对阶或右规 *** 作时,会使尾数低位上的一位或多位的数值被移掉,使数值的精度受到影响,可以把移掉的几个高位的值保存起来供舍入使用。舍入的总的原则是要有舍有入,而且尽量使舍和入的机会均等,以防止误差积累。常用的办法有"0"舍"1"入法,即移掉的最高位为1时 则在尾数末位加1;为0时则舍去移掉的数值。该方案的最大误差为2-（n+1）。这样做可能又使尾数溢出,此时就要再做一次右规。另一种方法 "置1"法,即右移时,丢掉移出的原低位上的值,并把结果的最低位置成1。该方案同样有使结果尾数变大或变小两种可能。即舍入前尾数最低位已为0,使其变1,对正数而言,其值变大,等于最低位入了个1。若尾数最低位已为1,则再对其置1无实际效用,等于舍掉了丢失的尾数低位值。
15 判结果的正确性,即检查阶码是否溢出。浮点数的溢出是以其阶码溢出表现出来的。在加减运算真正结束前,要检查是否产生了溢出,若阶码正常，加(减)运算正常结束；若阶码下溢,要置运算结果为浮点形式的机器零,若上溢,则置溢出标志。
例15：某浮点数阶码6位（含1位符号位：阶符），补码表示，尾数10位（含1位符号位，数符），补码表示， X=2010B 011011011B, Y=2100B (-010101100B)，求 X+Y
解： 由已知条件，Ex=+010B，Mx = 011011011 B，
Ey=+100B，My =-010101100 B
对应补码分别为
[Ex]补=[+010B] 补=[+00010B] 补=000010B
[Mx]补= [+011011011 B]补=[0110110110 B] 补=0, 110110110 B
[Ey]补=[+100B] 补=[+00100B] 补=000100B
[-Ey]补=111100B
[My]补= [-010101100 B]补=[-0101011000 B] 补=1, 010101000 B
浮点表示分别为：
　数符 阶码 尾数数值
　 [X]浮 = 0 000010110110110
　[Y]浮 = 1 000100010101000
　15_（1）对阶
　 [△ E]补= [Ex]补+[-Ey]补= 00 00010B + 11 11100B = 11 11110B
△E =-00010B=-2，说明X的阶码小,应使Mx右移两位,Ex加2
所以修正[X]浮 = 0 000100 001101101 10
15_（2）尾数求和
　00 001101101 10
+ 11 010101000
11 100010101 10
15_（3）尾数规格化
尾数运算结果的符号位与最高数值位均为1,应执行左规处理,具体为：将尾数左移一位，符号位1位，结果为1000101011, 阶码减1变为000011。
15_（4）尾数移出位的舍入处理
左规已将对阶移出的1位有效1移入，尾数不用做舍入处理。
15_（5）判溢出，写结果
尾数已规格化且阶码符号位为00，没有溢出,最终结果为
[Ex+y]补=000011 Ex+y=+00011B
[Mx+y]补=1000101011 Mx+y=-0111010101B
所以，X+Y = 2+0011B (-0111010101B)
（2）乘法运算
实现XY运算,需要如下三步:
21 尾数相乘（两个定点小数相乘）
22 阶码求和
23 结果左规、舍入
例16：某浮点数阶码3位（含1位符号位：阶符），补码表示，尾数3位（含1位符号位，数符），原码表示， X=210B 01101B, Y=2-01B (-01011B)，求 XY
解：由已知条件，Ex=+10B，Mx = 01101 B，
Ey=-01B，My =-01011 B
对应机器数分别为：
[Ex]补=[+10B]补=010B
[Mx]原= [+01101 B]原=0, 1101 B
[Ey]补=[-01B]补=111B
[My]原= [-01011B]原=1, 1011B
机内浮点表示分别为：
　数符 阶码 尾数数值
　 [X]浮 = 0 010 1101
　[Y]浮 = 1 111 1011
　16_（1）尾数相乘（Mx My）
　 11 [ | Mx | ]原= [+01101 B]原=0, 1101 B
[|My | ]原= [+01011B]原=0, 1011B
12 高 位 积 乘数/低位积
Y0
00 0000 1 0 1 1
+[ Y0|X| ]补 00 1101
00 1101
右移 00 0110 1 1 0 1
+[ Y0|X| ]补 00 1101
01 0011
右移 00 1001 1 1 1 0
+[ Y0|X| ]补 00 0000
00 1001
右移 00 0100 1 1 1 1
+[ Y0|X| ]补 00 1101
01 0001
右移 00 1000 1 1 1 1
13 [Mx My] 符号=[ Mx ]符号⊕[My]符号=0⊕1=1
14 [Mx My] 原=1，100011110B
16_（2）阶码求和
　00 10
+ 11 11
00 01
16_（3）结果左规、舍入
尾数已为规格化形式，由于数值部分职能保存4位，需对小数点后第5位进行0设1入,最终尾数原码为1，1001B
最终运算结果为：1 001 1001
所以，XY = 2+01B (-01001B)
（3）除法运算
实现X/Y运算,需要如下三步:
31 尾数相除（两个定点小数相除）
32 阶码相减
33 结果规格化及舍入
例17：某浮点数阶码3位（含1位符号位：阶符），补码表示，尾数3位（含1位符号位，数符），原码表示， X=210B 00011B, Y=2-01B 01011B，求 X/Y
解：由已知条件，Ex=+10B，Mx = 00011 B，
Ey=-01B，My =-01011 B
对应机器数分别为
[Ex]补=[+10B]补=010B
[Mx]原= [+00011 B]原=0, 0011B
[Ey]补=[-01B]补=111B
[My]原= [-01011B]原=1, 1011B
机内浮点表示分别为：
　数符 阶码 尾数数值
　 [X]浮 = 0 010 0011
　[Y]浮 = 1 111 1011
　17_（1）尾数相除（Mx/ My）
　 11 [ | Mx | ]原= [+000110000 B]原=0, 00110000 B
[|My | ]原= [+01011B]原=0, 1011B
[-|My | ]补= 1, 0101B
12 被除数高位/余数 被除数低位/商
00 0011 00000
+[-|My |]补 11 0101
11 1100 00000
左移 11 1000 00000
+[ |My |]补 00 1011
00 0011 00001
左移 00 0110 00010
+[-|My |]补 11 0101
11 1011 00010
左移 11 0110 00100
+[|My |]补 00 1011
00 0001 00101
左移 00 0010 01010
+[-|My |]补 11 0101
11 0111 01010
+[|My |]补 00 1011
00 0010
13 [Mx /My] 商符号=[ Mx ]符号⊕[My]符号=0⊕0=0
14 [Mx / My] 商原=0，1010B
17_（2）阶码相减
[-Ey]补=[+01B]补=001B
　00 10
+ 00 01
00 11
17_（3）结果规格化、舍入
尾数已为规格化形式，余数过小，结果也不必舍入,
最终运算结果为：0 011 1010
所以，XY = 2+11B (+01010B)

求给定数值的补码表示分以下两种情况:
(1)正数的补码
与原码相同。
例1+9的补码是00001001。(备注:这个+9的补码说的是用8位的2进制来表示补码的，补码表示方式很多，还有16位2进制补码表示形式，以及32位2进制补码表示形式等。)
(2)负数的补码
负数的补码是对其原码逐位取反，但符号位除外;然后整个数加1。
同一个数字在不同的补码表示形式里头，是不同的。比方说-15的补码，在8位2进制里头是11110001，然而在16位2进制补码表示的情况下，就成了1111111111110001。在这篇补码概述里头涉及的补码转换默认了把一个数转换成8位2进制的补码形式，每一种补码表示形式都只能表示有限的数字。
例2求-7的补码。
因为给定数是负数，则符号位为“1”。
后七位:-7的原码(10000111)→按位取反(11111000)(负数符号位不变)→加1(11111001)
所以-7的补码是11111001。
已知一个数的补码，求原码的 *** 作分两种情况:
(1)如果补码的符号位为“0”，表示是一个正数，其原码就是补码。
(2)如果补码的符号位为“1”，表示是一个负数，那么求给定的这个补码的补码就是要求的原码。
再举一个例子:求-64的补码
+64:01000000
11000000
例3已知一个补码为11111001，则原码是10000111(-7)。
因为符号位为“1”，表示是一个负数，所以该位不变，仍为“1”。
其余七位1111001取反后为0000110;
再加1，所以是10000111。
在“闲扯原码、反码、补码”文件中，没有提到一个很重要的概念“模”。我在这里稍微介绍一下“模”
的概念:
“模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也可以看成一个计量机器，它也有一个计量范
围，即都存在一个“模”。例如:
时钟的计量范围是0~11，模=12。
表示n位的计算机计量范围是0~2^(n)-1，模=2^(n)。
“模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的
余数。任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。
例如:
假设当前时针指向10点，而准确时间是6点，调整时间可有以下两种拨法:
一种是倒拨4小时，即:10-4=6
另一种是顺拨8小时:10+8=12+6=6
在以12模的系统中，加8和减4效果是一样的，因此凡是减4运算，都可以用加8来代替。
对“模”而言，8和4互为补数。实际上以12模的系统中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有这个特
性。共同的特点是两者相加等于模。
对于计算机，其概念和方法完全一样。n位计算机，设n=8，
所能表示的最大数是11111111，若再
加1称为100000000(9位)，但因只有8位，最高位1自然丢失。又回了00000000，所以8位二进制系统的
模为2^8。
在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题，只需把减数用相应的补数表示就可以
了。把补数用到计算机对数的处理上，就是补码。
另外两个概念
一的补码(one's
complement)
指的是正数=原码,负数=反码
而二的补码(two's
complement)
指的就是通常所指的补码。
小数补码求法:一种简单的方式，符号位保持1不变，数值位从右边数第一个1及其右边的0保持不变，左边按位取反。
(3)补码的绝对值(称为真值)
例4-65的补码是10111111
若直接将10111111转换成十进制，发现结果并不是-65，而是191。
事实上，在计算机内，如果是一个二进制数，其最左边的位是1，则我们可以判定它为负数，并且是用补码表示。
若要得到一个负二进制数的绝对值(称为真值)，只要各位(包括符号位)取反，再加1，就得到真值。
如:二进制值:10111111(-65的补码)
各位取反:01000000
加1:01000001(+65的补码)
编辑本段代数加减运算
1、补码加法
[X+Y]补
=
[X]补
+
[Y]补
例5X=+0110011,Y=-0101001，求[X+Y]补
[X]补=00110011
[Y]补=11010111
[X+Y]补
=
[X]补
+
[Y]补
=
00110011+11010111=00001010
注:因为计算机中运算器的位长是固定的，上述运算中产生的最高位进位将丢掉，所以结果不是
100001010，而是00001010。
2、补码减法
[X-Y]补
=
[X]补
-
[Y]补
=
[X]补
+
[-Y]补
其中[-Y]补称为负补，求负补的方法是:负数的绝对值的原码所有位按位取反;然后整个数加1。
(恢复本来解释。请路人真正理解并实际验证后再修改。以免误导大众。另外，例6不具典型性，新增例7。)
例61+(-1)
[十进制]
1的原码00000001
转换成补码:00000001
-1的原码10000001
转换成补码:11111111
1+(-1)=0
00000001+11111111=00000000
00000000转换成十进制为0
0=0所以运算正确。
例7增-7-(-10)
[十进制]
-7的补码:11111001
-10的补码:11110110
-(-10):按位取反再加1实际上就是其负值的补码，为00001010
-7
-
(-10)=
-7
+
10
=
3
11111001+00001010
=
00000011
转换成十进制为3
3、补码乘法
设被乘数X补=X0X1X2……Xn-1，乘数Y补=Y0Y1Y2……Yn-1,
XY补=X补×Y补，即乘数(被乘数)相乘的补码等于补码的相乘。
编辑本段补码的代数解释
任何一个数都可以表示为-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a;
这个假设a为正数，那么-a就是负数。而根据二进制转十进制数的方法，我们可以把a表示为:a=k02^0+k12^1+k22^2+……+k(n-2)2^(n-2)，第(n-1)位为符号位不计算在内。
这里k0,k1,k2,k(n-2)是1或者0，而且这里设a的二进制位数为n位，即其模为2^(n-1),而2^(n-1)其二项展开是:1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)，而式子:-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，2^(n-1)-a代入a=k02^0+k12^1+k22^2+……+k(n-2)2^(n-2)和2^(n-1)=1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)两式，2^(n-1)-a=(1-k(n-2))2^(n-2)+(1-k(n-3))2^(n-3)+……+(1-k2)2^2+(1-k1)2^1+(1-k0)2^0+1,而这步转化正是取反再加1的规则的代数原理所在。因为这里k0,k1,k2,k3……不是0就是1，所以1-k0,1-k1,1-k2的运算就是二进制下的取反，而为什么要加1，追溯起来就是2^(n-1)的二项展开式最后还有一项1的缘故。而-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，还有-2^(n-1)这项未解释，这项就是补码里首位的1，首位1在转化为十进制时要乘上2^(n-1)，这正是n位二进制的模。
不能贴公式，所以看起来很麻烦，如果写成代数式子看起来是很方便的。
注:n位二进制，最高位为符号位，因此表示的数值范围-2^(n-1)
--2^(n-1)
-1,所以模为2^(n-1)。上面提到的8位二进制模为2^8是因为最高位非符号位，表示的数值范围为0--2^8-1。

学了原码反码补码，就被这句话误导了：〖带符号数在计算机中，是用补码存储的。〗
这句话，对于整数，还是适用的。
对于小数，还有一种浮点数形式，更为通用。
　
计算机中的各种代码，内容都是 1 和 0，并没有小数点。
那么，小数的小数点，它在何处呢？　这就需要人为的规定。
所以，存放小数，有定点数、浮点数两种格式。
　
浮点数实用，但是，结构复杂，一般，都不深入讨论。
定点数虽然简单，但是，表达能力有限，所以，几乎没有人使用。
　
有些教材，把定点小数作为教学内容，还布置许多的习题！
这都是误导。
　
特别是，这些教材，都把定点小数，规定为纯小数，不包括整数部分！
那么，运算时，出现整数部分，它该怎么办？
　
一般来说，小数，应该用浮点数格式来存放，不能用补码表示。
　
建议题主，不要迷恋补码这些没有用的东西。
若考试出这些题，纯属老师无知。

补码：1101101。

首位 1，既代表负号，也代表数值－16。

再加上其它数值位，即可：

　－16 + 8 + 2 + 1 + 025 = －475。

　

补码：1110101。

首位 1，既代表负号，也代表数值－8。

再加上其它数值位，即可：

　－8 + 4 + 2 + 05 + 025 = －1375。

用定点补码表示纯小数，采用8位字长。编码10000000和11111111表示的十进制数分别是多少？用定点补码表示纯小数，采用8位字长，最高位为符号为。编码10000000表示-1。因为：编码0000000的反码是1111111，再加1为：10000000，是1。用定点补码表示纯小数，采用8位字长，最高位为符号为。编码11111111表示-00078125。因为：编码1111111的反码是0000000，再加1为：0000001，是00078125。

1、正数的补码表示：

正数的补码 = 原码

负数的补码 = {原码符号位不变} + {数值位按位取反后+1}    or

= {原码符号位不变} + {数值位从右边数第一个1及其右边的0保持不变,左边安位取反}

以十进制整数+97和-97为例：

+97原码 = 0110_0001b

+97补码 = 0110_0001b

-97原码  = 1110_0001b

-97补码  = 1001_1111b

2、纯小数的原码：

纯小数的原码如何得到呢？方法有很多，在这里提供一种较为便于笔算的方法。

以064为例，通过查阅可知其原码为01010_0011_1101_0111b。

*** 作方法：

将064 2^n 得到X，其中n为预保留的小数点后位数（即认为n为小数之后的小数不重要），X为乘法结果的整数部分。

此处将n取16，得

X = 41943d = 1010_0011_1101_0111b

即064的二进制表示在左移了16位后为1010_0011_1101_0111b，因此可以认为064d = 01010_0011_1101_0111b 与查询结果一致。

再实验n取12，得

X = 2621d = 1010_0011_1101b 即 064d = 01010_0011_1101b，在忽略12位小数之后的位数情况下，计算结果相同。

3、纯小数的补码：

纯小数的补码遵循的规则是：在得到小数的源码后，小数点前1位表示符号，从最低(右)位起,找到第一个“1”照写,之后“见1写0,见0写1”。

以-064为例，其原码为11010_0011_1101_0111b

则补码为：10101_1100_0010_1001b

当然在硬件语言如verilog中二进制表示时不可能带有小数点（事实上不知道哪里可以带小数点）。

4、一般带小数的补码

一般来说这种情况下先转为整数运算比较方便

-9764为例，经查询其原码为1110_00011010_0011_1101_0111b

笔算过程：

-9764 2^16 = -6398935 = 1110_0001_1010_0011_1101_0111b，其中小数点在右数第16位，与查询结果一致。

则其补码为1001_1110_0101_1100_0010_1001b，在此采用 负数的补码 = {原码符号位不变} + {数值位按位取反后+1}  方法

5、补码得到原码：

方法:符号位不动，幅度值取反+1 or符号位不动，幅度值-1取反

-9764补码 = 1001_1110()0101_1100_0010_1001b

取反      = 1110_0001()1010_0011_1101_0110b

+1         = 1110_0001()1010_0011_1101_0111b 与查询结果一致

6、补码的拓展：

在运算时必要时要对二进制补码进行数位拓展，此时应将符号位向前拓展。

-5补码 = 4'b1011 = 6'b11_1011

ps原码的拓展是将符号位提到最前面，然后在拓展位上部0

-5原码 = 4‘b’1101 = 6'b10_0101，对其求补码得6'b11_1011，与上文一致。

扩展资料：

计算机中的符号数有三种表示方法，即原码、反码和补码。三种表示方法均有符号位和数值位两部分，符号位都是用0表示“正”，用1表示“负”，而数值位，三种表示方法各不相同。

在计算机系统中，数值一律用补码来表示和存储。原因在于，使用补码，可以将符号位和数值域统一处理；同时，加法和减法也可以统一处理。此外，补码与原码相互转换，其运算过程是相同的，不需要额外的硬件电路。

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