问一下坐标系里求三角形面积的公式

不是矩阵，而是行列式形式，
在平面内三角形面积公式：
||x1 y1 1|
S△= (1/2) |x2 y2 1|
|x3 y3 1|
在空间，则用向量的叉积（向量积）的模的1/2，
S△ABC=|（1/2）|向量AB×向量AC|
= |i j k|
(1/2) |(x2-x1 y2-y1 z2-z1|
|x3-x1 y3-y1 z3-z1|
其中i,j k是x,y,z三个 方向的单位向量。
两个向量积仍是向量，方向右手螺旋规则，其模是以二向量为邻边的平行四边形面积，其一半就是三角形面积，A（x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)

1、最简单方法的就是向量积：面积=(1/2)|a×b|；
2、使用数量积大致有2种方法,一种是先求出夹角,再套公式；另一种是直接使用公式面积=(1/2)[根号下（a·a）(b·b)-(a·b)(a·b)]；
3、由三边向量求出三边边长：一是直接使用海伦公式,二是使用余弦定理可以把三个角都求出来,当然只需要求出两边夹角就可以了,然后套公式；
4、根据向量坐标可以求出三顶点的坐标,一是写出任意一边的直线方程,使用点到直线的距离公式求出该边上的高；二是写出两条边的方程,使用夹角公式求夹角
其实这些方法本质都一样

先求得向量AB=（-1,1,0）、向量AC=（2,0,-1）
ABAC=|AB||AC|cosa
-2=√2√5cosa,cosa=-2/√10
sina=√15/5
三角形面积=(1/2)|AB||AC|sina=(1/2)√2√5√15/5=√6/2

三角形的面积计算方法如下：

关于三角形的面积计算，常见方法是“三角形的面积等于二分之一底乘高”，它由矩形面积公式推导而来，我们经常将四边形问题转化为三角形问题，早期三角形这一面积公式推导，则反之。

这得从《周髀》讲起，开篇商高答周公时有“矩出九九八十一”，意指矩形（边长为整数）的面积可以借助乘法口诀计算。3000多年前的华夏祖先就知道“矩形的面积=长×宽”。

至魏晋时期，数学家刘徽在《九章算术注》中提及推导过程：“半广者，以盈补虚为直田也，亦可半正从以乘广。按半广乘从，以取中平之数，故广从相乘为积步。”这里，“广”指的是三角形的底边，“正从”指的是高（“从”念“zong”）。

具体 *** 作是这样的：取三角形两边中点，作底边垂线，可将三角形割补成矩形（即直田）。

“亦可半正从以乘广。”则是另一种方法，取高的一半，同样可以割补成矩形。

这是刘徽的“出入相补之术”，也就是割补法，得出了三角形的面积公式：

只需测量三角形的一边长以及这条边上的高，即可求得三角形的面积。

如果我们仅知道三角形的三边长，如何求其面积呢？2000年前亚历山大城的海伦（Hero，约公元62年-150年，科学家、发明家）给出了公式：

公式相传为阿基米德所发现，因为这个公式最早出现在古希腊海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式。关于海伦公式，很可能是用勾股定理求出高的方式进行推导而得。如图，在三角形ABC中，过A点作BC的垂线，垂足为D。

对照两个三角形全等的判定定理，此公式可对应边角边定理（SAS），事实上，海伦-秦九韶公式对应的便是SSS，联想另几个判定定理，ASA、AAS以及直角三角形的HL，每一个全等判定似乎都对应有一个三角形面积公式？答案是肯定的，因为判定中的三角形边角元素确定了三角形的形状与大小，利用尺规即可作出全等的三角形，而全等三角形的面积一定相等。

以下方法可以提供参考（我只讲思路，具体计算省略）：
1、最简单的是用海伦公式，只要不断利用勾股定理算出边长，然后带入海伦面积公式就可以了。
2、其次可以考虑用点到直线的距离公式，这样可以利用底乘高的面积公式。
3、利用两直线的夹角公式，得到夹角，然后利用勾股定理计算出两条边的长度，这样就可以利用正弦定理求面积了。
4、如果学过向量，把第1点作为起点，到第2点为一个向量，到第3点为一个向量，得到两个向量，这两个向量的外积（也叫叉乘积）的一半就是三角形的面积了。
5、取这个三角形的在一个平面上的投影，再求出这三点所在平面于投影面的夹角（只要求发向夹角就可以了），利用投影面积是原面积与夹角余弦的乘积可以求出三角形面积。
6、以已知某一点（不妨设第1点）作为坐标原点，另一点（不妨设第2点）为x轴上一点，建立新的直角坐标系，确定新坐标与旧坐标的变换关系（是平移+旋转，而且很好确定），在新坐标中就非常容易求得第3点坐标，这样只要求新坐标上的平面三角形面积就可以了。
7、如果学过仿射坐标，那把6中的直角坐标变成仿射坐标，第3点在y标架上，就非常容易求得面积了。
注：
前三种方法是初等的，比较简单易懂；
第四种方法对于学过向量的人来说是最简单的；
第五中方法需要知道空间平面的表示；过程比较麻烦，但对于锻炼空间想象力比较好；
第六和第七种方法需要掌握高等数学（空间几何）的一些知识，而且处理起来会麻烦一些，但可以作为空间变换的练习用。

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