信号与系统单边指数信号频谱函数计算

这个频谱函数是以分数的形式给出，所以
幅度=分子幅度/分母幅度，相位=分子相位-分母相位
1的幅度是1，相位是0
α+jw的幅度是根号α平法加w平方，相位是arctan(w/α)
带进去就是结果

直接看相加之后的频谱来计算频率。
频谱就是频率的分布曲线，复杂振荡分解为振幅不同和频率不同的谐振荡，这些谐振荡的幅值按频率排列的图形叫做频谱。设一个能量信号为s（t），则它的频谱密度S（w）可以由傅里叶变换求得。
频谱分析，是信号分析技术中的经典部分。尤其是自FFT信号分析仪得以应用以来，频谱分析技术曾作为信号分析的主流技术而得到空前的发展，在工程领域被广泛应用，解决了大量工程实际问题，即使现代信号分析技术大大发展，频谱分析仍作为传统和经典的信号分析技术而继续被广泛应用，并经常成为其他分析技术的参照。

绝大部分信号都可以分解为若干不同频率的正弦波。
这些正弦波中，频率最低的称为信号的基波，其余称为信号的谐波。
基波只有一个，可以称为一次谐波，谐波可以有很多次，每次谐波的频率是基波频率的整数倍。谐波的大小可能互不相同。
以谐波的频率为横坐标，幅值（大小）为纵坐标，绘制的系列条形图，称为频谱。频谱能够准确反映信号的内部构造。

由信号频谱图可以观察到一个信号所包含的频率成分。信号的频率变化范围越大，信号的带宽就越宽。带宽有以下几种，需要具体分析：

1、3dB带宽

3dB--指的是比峰值功率小3dB（就是峰值的50％）的频谱范围的带宽；3dB带宽指幅值等于最大值的二分之根号二倍时对应的频带宽度；

幅值的平方即为功率，平方后变为1/2倍，在对数坐标中就是 -3dB的位置了，也就是半功率点了，对应的带宽就是功率在减少至其一半以前的频带宽度，表示在该带宽内集中了一半的功率。

2、 6dB带宽

同上，6dB对应的是峰值功率的25％。

3、噪声等效带宽

频率响应幅值平方对频率的积分与最大频率响应幅值平方的比值，用来度量频谱泄漏的程度，频谱泄漏越严重，噪声等效带宽越大。

4、必要带宽：

对给定的发射类别而言，其恰好足以保证在相应速率及在指定条件下具有所要求质量的信息传输的所需带宽。业余电台单边带话音通信SSB、低速莫尔斯电码通信CW、调频话音通信FM和业余电视ATV的必要带宽分别是： 3000Hz、400Hz、125kHz、5MHz（ATV 5MKz）

5、占用带宽

指在它的频率下限之下或频率上限之上的带外所发射的平均功率各等于某一给定发射的总平均功率的05%的一种宽带。一般来说如果占用的宽度过大，会导致自身信道功率超标，占用宽度不够信道功率就会过小，从而实现不了产品的通信功。

通过查询可以知道，计算方法如下，假设有一个时域信号是由两个时域信号相乘所得：
i \left( t \right) = y \left( t \right) \times v \left( t \right)
根据时域乘法和频域卷积的关系可知，该信号的傅里叶变换为：
感谢评论区的 @歪比叭啵 指出原等式中漏了常数 \frac{1}{2 \pi} 的错误，本文针对这一问题已完成修正
F \left[ i \left( t \right) \right] = F \left[ y \left( t \right) \times v \left( t \right) \right] = \frac{1}{2 \pi} F \left[ y \left( t \right) \right] \ast F \left[ v \left( t \right) \right] 即，
I \left( \omega \right) = \frac{1}{2 \pi} Y \left( \omega \right) \ast V \left( \omega \right)
其中运算符号 \ast 表示卷积运算，其定义如下
Y \left( \omega \right) \ast V \left( \omega \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} Y \left( \omega -\tau \right) \times V \left( \tau \right) d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} V \left( \omega -\tau \right) \times Y \left( \tau \right) d\tau
即卷积运算是满足交换律的，则 I \left( \omega \right) 等价为
\left( 1 \right) \ \ I \left( \omega \right) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} Y \left( \omega -\tau \right) \times V \left( \tau \right) d\tau
也就是说时域信号的乘法转换到频域中，等于这两个信号的卷积。接下来来看看具体应该怎么运算。
假设已经知道 y \left( t \right) 和 v \left( t \right) 可以表示为：
y \left( t \right) = \sum_{n=0}^{N}{A_{n}cos \left( 2 \pi n f_{0} t + \beta_{n} \right) }, \ \ v \left( t \right) = \sum_{h=0}^{H}{B_{n}cos \left( 2 \pi h f_{0} t + \alpha_{h} \right) }
这里需要注意的是，我们可能会直接根据上式，得到如下的频谱，如：
V' \left( 2 \pi f_{0} \right) = B_{1} e^{i \alpha_{1}}, \ \ V' \left( 2 \pi \left( 2f_{0} \right) \right) = B_{2} e^{i \alpha_{2}}, \ \ V' \left( 2 \pi \left( 3f_{0} \right) \right) = B_{3} e^{i \alpha_{3}}, \ \ \cdot \cdot \ \cdot
Y' \left( 2 \pi f_{0} \right) = A_{1} e^{i \beta_{1}}, \ \ Y' \left( 2 \pi \left( 2f_{0} \right) \right) = A_{2} e^{i \beta_{2}}, \ \ Y' \left( 2 \pi \left( 3f_{0} \right) \right) = A_{3} e^{i \beta_{3}}, \ \ \cdot \cdot \ \cdot
这可能是比较一目了然的形式，但是在参与式 (1) 的计算时，将会产生错误。比如，假设信号 v \left( t \right) 只含有基波成分，那么计算式 (1) 时可得：
\begin{align} \left( 2 \right) \ \ I' \left( \omega \right) & = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} Y' \left( \omega -\tau \right) \times V' \left( \tau \right) d\tau = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} Y' \left( \omega -\tau \right) \times V' \left( \tau \right) \times \sigma \left( \tau - 2 \pi f_{0} \right) d\tau \\ & = \frac{1}{2 \pi} Y' \left( \omega -2 \pi f_{0} \right) \times V' \left( 2 \pi f_{0} \right) \end{align}
然而，根据 Daniel Chen：关于傅里叶变换的浅谈 这篇文章的分析可知：
y \left( t \right) = \sum_{n=-N}^{N}{a_{n}e^{i2 \pi n f_{0} t} }, \ \ v \left( t \right) = \sum_{h=-H}^{H}{b_{h}e^{i2 \pi h f_{0} t} }
经过傅里叶变换后应该是得到双侧频谱，即：
\cdot \cdot \cdot \ \ , \ \ V \left( 2 \pi \left( -f_{0} \right) \right) = \frac{B_{1}}{2} e^{-i \alpha_{1}}, \ \ V \left( 2 \pi \left( 0 \times f_{0} \right) \right) = B_{0} e^{i 0}, \ \ V \left( 2 \pi \left( f_{0} \right) \right) = \frac{B_{1}}{2} e^{i \alpha_{1}}, \ \ \cdot \cdot \ \cdot
\cdot \cdot \cdot \ \ , \ \ Y \left( 2 \pi \left( -f_{0} \right) \right) = \frac{A_{1}}{2} e^{-i \beta_{1}}, \ \ Y \left( 2 \pi \left( 0 \times f_{0} \right) \right) = A_{0} e^{i 0}, \ \ Y \left( 2 \pi \left( f_{0} \right) \right) = \frac{A_{1}}{2} e^{i \beta_{1}}, \ \ \cdot \cdot \ \cdot
重新考虑上面的假设情况，即信号 v \left( t \right) 只含有基波成分，那么
\begin{align} \left( 3 \right) \ \ I \left( \omega \right) & = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} Y \left( \omega -\tau \right) \times V \left( \tau \right) d\tau \\ & = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} Y \left( \omega -\tau \right) \times V \left( \tau \right) \times \left[ \sigma \left( \tau - 2 \pi f_{0} \right) + \sigma \left( \tau + 2 \pi f_{0} \right)\right] d\tau \\ & = \frac{1}{2 \pi} \left( Y \left( \omega -2 \pi f_{0} \right) \times V \left( 2 \pi f_{0} \right) + Y \left( \omega +2 \pi f_{0} \right) \times V \left( - 2 \pi f_{0} \right) \right) \end{align}
比较式 (2) 和 (3) 可见，式 (3) 还多了一项，为了更加直观地理解，比如现在要计算 \omega = 2 \pi \left( 2f_{0} \right) ，那么由上面两个式子分别可得：
\left( 4 \right) \ \ I' \left( 2 \pi \left( 2f_{0} \right) \right) = \frac{1}{2 \pi} Y' \left( 2 \pi \left( 2f_{0} \right) -2 \pi f_{0} \right) \times V' \left( 2 \pi f_{0} \right) = \frac{1}{2 \pi} Y' \left( 2 \pi f_{0} \right) \times V' \left( 2 \pi f_{0} \right)
\left( 5 \right) \ \ I \left( 2 \pi \left( 2f_{0} \right) \right) = \frac{1}{2 \pi} \left( Y \left( 2 \pi f_{0} \right) \times V \left( 2 \pi f_{0} \right) + Y \left( 2 \pi \left( 3 f_{0} \right) \right) \times V \left( - 2 \pi f_{0} \right) \right)
可见，除了第一项比较相似外，式 (5) 还多了 Y \left( 2 \pi \left( 3 f_{0} \right) \right) 。因此在计算中需要特别注意这一点。
那么既然存在双侧频谱，那么通过式 (1) 计算出来的结果也满足相关性质吗？（关于双侧频谱的相关特点可参考 Daniel Chen：关于傅里叶变换的浅谈 ）继续以上述的例子为例进行分析（即使不存在只含基频的假设，下面的结论也是成立的，应用叠加定理证明即可，后面会提到）。当 \omega = 2 \pi \left( -2f_{0} \right) 时，
\left( 6 \right) \ \ I \left( 2 \pi \left( -2f_{0} \right) \right) = \frac{1}{2 \pi} \left( Y \left( 2 \pi \left( - 3 f_{0} \right) \right) \times V \left( 2 \pi f_{0} \right) + Y \left( -2 \pi f_{0} \right) \times V \left( - 2 \pi f_{0} \right) \right)
由于
Y^{\ast} \left( 2 \pi \left( - 3 f_{0} \right) \right) = Y \left( 2 \pi \left( 3 f_{0} \right) \right), \ \ Y^{\ast} \left( - 2 \pi f_{0} \right) = Y \left( 2 \pi f_{0} \right), \ \ V^{\ast} \left( - 2 \pi f_{0} \right) = V \left( 2 \pi f_{0} \right)
其中， Y^{\ast} 表示取共轭，那么
\begin{align} I^{\ast} \left( 2 \pi \left( -2f_{0} \right) \right) & = \frac{1}{2 \pi} \left( Y^{\ast} \left( 2 \pi \left( - 3 f_{0} \right) \right) \times V^{\ast} \left( 2 \pi f_{0} \right) + Y^{\ast} \left( -2 \pi f_{0} \right) \times V^{\ast} \left( - 2 \pi f_{0} \right) \right) \\ & = \frac{1}{2 \pi} \left( Y \left( 2 \pi \left( 3 f_{0} \right) \right) \times V \left( - 2 \pi f_{0} \right) + Y \left( 2 \pi f_{0} \right) \times V \left( 2 \pi f_{0} \right) \right) \end{align}
此式与式 (5) 相等，这意味着卷积后得到的双侧频率仍然是对称共轭的。
关于这种时频域间的转换计算，最大的一个用处就是方便计算。像式 (1) 中的情况，如果已知的是 y \left( t \right) 和 v \left( t \right) 的频谱信息，那么可以根据
i \left( t \right) = F^{-1} \left[ I \left( \omega \right) \right] = F^{-1} \left[ \frac{1}{2 \pi} Y \left( \omega \right) \ast V \left( \omega \right) \right]
反变换得到 i \left( t \right) 。

---