已知A、B是抛物线X2=2PY（P》0）上的两个动点，O为坐标原点，非零向量OA、OB满足|OA+OB|=|OA

原题应该是这个样子吧：
已知A、B是抛物线x²=2py(p>0)上的两个动点，O为坐标原点，非零向量OA、OB满足|OA+OB|=|OA-OB|, 求证：直线AB经过一定点。
解非零向量OA、OB满足|OA+OB|=|OA-OB|,
说明以向量OA,OB为邻边作平行四边形，它的两条对角线长相等。
即该四边形是矩形，则OA⊥OB
设直线AB方程为y=mx+n, 与抛物线x²=2py联立消去x得：
x²-2pmx-2pn=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)则 x1+x2=2pm，x1x2=-2pn
因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0
即x1x2 + (mx1+n)(mx2+n) =0
(m²+1)x1x2+mn(x1+x2)+n²=0
∴(m²+1) •（-2pn）+mn•2pm+n²=0
∴n²-2pn =0，n=2p
所以直线AB方程y=mx+n可化为y=mx+2p,
显然直线AB经过定点(0,2p)

解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则O1（-2，0），O2（2，0），
由已知PM=

2

PN，得PM2=2PN2．
因为两圆的半径均为1，所以PO12-1=2（PO22-1）．
设P（x，y），则（x+2）2+y2-1=2[（x-2）2+y2-1]，
即（x-6）2+y2=33，
所以所求轨迹方程为（x-6）2+y2=33．（或x2+y2-12x+3=0）．

---