关于矩阵2-范数和无穷范数的证明

使用向量2-范数和无穷范数的如下不等式(证明都很容易):
① ║X║_∞ ≤ ║X║_2,
② ║X║_2 ≤ √n·║X║_∞
于是对任意向量X, 有:
║AX║_∞
≤ ║AX║_2 (由①)
≤ ║A║_2·║X║_2 (由2-范数的定义)
≤ √n·║A║_2·║X║_∞ (由②)
再由无穷范数的定义即得║A║_∞ ≤ √n·║A║_2

方法/步骤分步阅读
（1）在求矩阵的范数之前，我们首先要清楚我们要求得是那一类矩阵范数，通常我们常用的矩阵范数可以分为：1范数，2范数，无穷范数，和Frobenius范数。
（2）上面介绍了几种常用的范数表示形式了，那么下面来看下怎么求具体的范数值。当然，我们可以根据定义来求每个范数的值，这样只针对于矩阵维度较小的矩阵适用，下面我们来看下当矩阵维数较大时我们怎么通过matlab来求矩阵的不同范数。
（3）首先，我们来看下矩阵的1范数怎么通过matlab来求。
先在matlab命令窗口中生成一个希尔伯特矩阵a=hilb(4)，然后，在命令窗口中输入nm1=norm(a,1) ，其中norm就是求矩阵范数的函数，1表示的是1范数。程序运行结果如下图所示，显然红色圈中部分就是所求的结果对应的列。
（4）其次，看下怎么求矩阵的2范数。
先在matlab命令窗口中生成一个希尔伯特矩阵a=hilb(4)，然后，在命令窗口中输入nm2=norm(a,2) ，其中norm就是求矩阵范数的函数，2表示的是2范数。程序运行结果如下图所示，当然这里不能向1范数那样，一眼看出结果。
（5）下面看下怎么求矩阵的无穷范数。（相信聪明的同学已经想到了）
先在matlab命令窗口中生成一个希尔伯特矩阵a=hilb(4)，然后，在命令窗口中输入nm3=norm(a,inf) ，其中norm就是求矩阵范数的函数，inf表示的是无穷范数。程序运行结果如下图所示。
（6）最后我们看下怎么求矩阵的Frobenius范数。
先在matlab命令窗口中生成一个希尔伯特矩阵a=hilb(4)，然后，在命令窗口中输入nm4=norm(a,'for') ，其中norm就是求矩阵范数的函数，for表示的是Frobenius范数,就是前三个字母嘛。程序运行结果如下图所示。
至此几种常用的矩阵范数都求出来了，大家可以试试了！

矩阵范数的计算如下：

计算矩阵的范数可以使用各种数值方法，例如幂迭代法、反幂迭代法、QR分解等等。在实际应用中，一般会根据问题的特点和数据的规模选择合适的计算方法。

矩阵的范数是一种用于度量矩阵大小的方法，通常用于矩阵的估计、优化和求解问题。矩阵的范数有多种定义方式，常见的有1范数、2范数和无穷范数。

1范数是矩阵列向量绝对值之和的最大值，即 ||A||1 = \max_j \sum{i=1}^n |a_{ij}|。

2范数是矩阵的特征值的平方和的平方根，即 ||A||2 = \sqrt{\lambda{\max}（A^TA）}，其中 lambda_{\max} 表示矩阵的最大特征值。

matlab中使用norm函数求向量或矩阵的范数，可以求解1范数、2范数、无穷范数和p范数
NORM(X) is the largest singular value of X, max(svd(X))
NORM(X,2) is the same as NORM(X)
NORM(X,1) is the 1-norm of X, the largest column sum,
= max(sum(abs(X)))
NORM(X,inf) is the infinity norm of X, the largest row sum,
= max(sum(abs(X')))
NORM(X,'fro') is the Frobenius norm, sqrt(sum(diag(X'X)))
NORM(X,P) is available for matrix X only if P is 1, 2, inf or 'fro'

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