三阶矩阵的范数怎么求

三阶矩阵的范数怎么求,第1张

方法/步骤分步阅读
(1)在求矩阵的范数之前,我们首先要清楚我们要求得是那一类矩阵范数,通常我们常用的矩阵范数可以分为:1范数,2范数,无穷范数,和Frobenius范数。
(2)上面介绍了几种常用的范数表示形式了,那么下面来看下怎么求具体的范数值。当然,我们可以根据定义来求每个范数的值,这样只针对于矩阵维度较小的矩阵适用,下面我们来看下当矩阵维数较大时我们怎么通过matlab来求矩阵的不同范数。
(3)首先,我们来看下矩阵的1范数怎么通过matlab来求。
先在matlab命令窗口中生成一个希尔伯特矩阵a=hilb(4),然后,在命令窗口中输入nm1=norm(a,1) ,其中norm就是求矩阵范数的函数,1表示的是1范数。程序运行结果如下图所示,显然红色圈中部分就是所求的结果对应的列。
(4)其次,看下怎么求矩阵的2范数。
先在matlab命令窗口中生成一个希尔伯特矩阵a=hilb(4),然后,在命令窗口中输入nm2=norm(a,2) ,其中norm就是求矩阵范数的函数,2表示的是2范数。程序运行结果如下图所示,当然这里不能向1范数那样,一眼看出结果。
(5)下面看下怎么求矩阵的无穷范数。(相信聪明的同学已经想到了)
先在matlab命令窗口中生成一个希尔伯特矩阵a=hilb(4),然后,在命令窗口中输入nm3=norm(a,inf) ,其中norm就是求矩阵范数的函数,inf表示的是无穷范数。程序运行结果如下图所示。
(6)最后我们看下怎么求矩阵的Frobenius范数。
先在matlab命令窗口中生成一个希尔伯特矩阵a=hilb(4),然后,在命令窗口中输入nm4=norm(a,'for') ,其中norm就是求矩阵范数的函数,for表示的是Frobenius范数,就是前三个字母嘛。程序运行结果如下图所示。
至此几种常用的矩阵范数都求出来了,大家可以试试了!

matlab中使用norm函数求向量或矩阵的范数,可以求解1范数、2范数、无穷范数和p范数
NORM(X) is the largest singular value of X, max(svd(X))
NORM(X,2) is the same as NORM(X)
NORM(X,1) is the 1-norm of X, the largest column sum,
= max(sum(abs(X)))
NORM(X,inf) is the infinity norm of X, the largest row sum,
= max(sum(abs(X')))
NORM(X,'fro') is the Frobenius norm, sqrt(sum(diag(X'X)))
NORM(X,P) is available for matrix X only if P is 1, 2, inf or 'fro'

A的转置矩阵与A乘积的最大特征值开方。

矩阵的1范数(norm(A,1)):在矩阵的各个列中,指绝对值之和最大的那个列(的绝对值之和),举例子一目了然:

A=[0 1 0;1 0 0;-1 0 0]

A =

0 1 0

1 0 0

-1 0 0

>> norm(A,1)

ans =2

p-范数诱导出的矩阵范数:

范数:║A║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } (列和范数,A每一列元素绝对值之和的最大值)(其中∑|ai1|第一列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+|an1|,其余类似);

范数:║A║2 = A的最大奇异值 = ( max{ λi(A^HA) } ) ^{1/2} (欧几里德范数,谱范数,即A^HA特征值λi中最大者λ1的平方根,其中A^H为A的转置共轭矩阵);

矩阵论、数值分析、高等代数的内积空间、泛函分析的赋范空间里面都有讲到。
首先看清楚,X是向量还是矩阵,这决定了范数是向量范数还是矩阵范数。
其次看下标,一般有1,2,p,无穷,F等,分别代表1范数,2范数,P范数,无穷范数,F范数。
如果省略下标,就表明书上并不是十分强调这种范数的类型,对于 1,2,p,无穷,F等范数,这个命题都成立。
有关1,2,p,无穷,F等范数的定义,可参看下面网址:
>

矩阵范数的计算如下:

计算矩阵的范数可以使用各种数值方法,例如幂迭代法、反幂迭代法、QR分解等等。在实际应用中,一般会根据问题的特点和数据的规模选择合适的计算方法。

矩阵的范数是一种用于度量矩阵大小的方法,通常用于矩阵的估计、优化和求解问题。矩阵的范数有多种定义方式,常见的有1范数、2范数和无穷范数。

1范数是矩阵列向量绝对值之和的最大值,即 ||A||1 = \max_j \sum{i=1}^n |a_{ij}|。

2范数是矩阵的特征值的平方和的平方根,即 ||A||2 = \sqrt{\lambda{\max}(A^TA)},其中 lambda_{\max} 表示矩阵的最大特征值。

1-范数:是指向量(矩阵)里面非零元素的个数。类似于求棋盘上两个点间的沿方格边缘的距离。
||x||1 = sum(abs(xi));
2-范数(或Euclid范数):是指空间上两个向量矩阵的直线距离。类似于求棋盘上两点见的直线距离 (无需只沿方格边缘)。
||x||2 = sqrt(sum(xi^2));
∞-范数(或最大值范数):顾名思义,求出向量矩阵中其中模最大的向量。
||x||∞ = max(abs(xi));
PS由于不能敲公式,所以就以伪代码的形式表明三种范数的算法,另外加以文字说明,希望楼主满意。相互学习,共同进步~


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原文地址: http://outofmemory.cn/yw/13124033.html

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