数学三角函数常用公式

常用的诱导公式有以下几组：
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
(以上k∈Z)
一般的最常用公式有:
Sin(A+B)=SinACosB+SinBCosA
Sin(A-B)=SinACosB-SinBCosA
Cos(A+B)=CosACosB-SinASinB
Cos(A-B)=CosACosB+SinASinB
Tan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanATanB)
Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanATanB)
平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·积的关系：
sinα=tanαcosα
cosα=cotαsinα
tanα=sinαsecα
cotα=cosαcscα
secα=tanαcscα
cscα=secαcotα
·倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
三角函数恒等变形公式
·两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·辅助角公式：
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中
sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)
cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
·三倍角公式：
sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)
cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα
·半角公式：
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
·降幂公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2
tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
· 万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
·积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
·其他：
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π2/n)+sin(α+2π3/n)+……+sin[α+2π(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π2/n)+cos(α+2π3/n)+……+cos[α+2π(n-1)/n]=0 以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
部分高等内容
·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)
cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…
此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
·三角函数作为微分方程的解：
对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明
Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。
补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。
特殊三角函数值
a 0` 30` 45` 60` 90`
sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1
cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0
tana 0 √3/3 1 √3 None
cota None √3 1 √3/3 0
三角函数的计算
幂级数
c0+c1x+c2x2++cnxn+=∑cnxn (n=0∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2++cn(x-a)n+=∑cn(x-a)n (n=0∞)
它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,cn及a都是常数, 这种级数称为幂级数
泰勒展开式(幂级数展开法):
f(x)=f(a)+f'(a)/1!(x-a)+f''(a)/2!(x-a)2+f(n)(a)/n!(x-a)n+
实用幂级数：
ex = 1+x+x2/2!+x3/3!++xn/n!+
ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-(-1)k-1xk/k+ (|x|<1)
sin x = x-x3/3!+x5/5!-(-1)k-1x2k-1/(2k-1)!+ (-∞<x<∞)
cos x = 1-x2/2!+x4/4!-(-1)kx2k/(2k)!+ (-∞<x<∞)
arcsin x = x + 1/2x3/3 + 13/(24)x5/5 + (|x|<1)
arccos x = π - ( x + 1/2x3/3 + 13/(24)x5/5 + ) (|x|<1)
arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - (x≤1)
sinh x = x+x3/3!+x5/5!+(-1)k-1x2k-1/(2k-1)!+ (-∞<x<∞)
cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+(-1)kx2k/(2k)!+ (-∞<x<∞)
arcsinh x = x - 1/2x3/3 + 13/(24)x5/5 - (|x|<1)
arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + (|x|<1)
--------------------------------------------------------------------------------
傅立叶级数(三角级数)
f(x)=a0/2+∑(n=0∞) (ancosnx+bnsinnx)
a0=1/π∫(π-π) (f(x))dx
an=1/π∫(π-π) (f(x)cosnx)dx
bn=1/π∫(π-π) (f(x)sinnx)dx
注意：正切也可以表示为“Tg” 如：TanA=TgA
Sin2a=2SinaCosa
Cos2a=Cosa^2-Sina^2
=1-2Sina^2
=2Cosa^2-1
Tan2a=2Tana/1-Tana^2

构造一个直角三角形φ就是其中的一个锐角，再利用三角函数的展开公式得到的。

举例说明：

asinx+bcosx

=√(a^2+b^2){sinx（a/√(a^2+b^2)+cosx(b/√(a^2+b^2)}

=√(a^2+b^2)sin(x+φ)

cosφ=a/√(a^2+b^2)

或者 sinφ=b/√(a^2+b^2)

或者 tanφ=b/a（φ=arctanb/a ）

该公式的主要作用是将多个三角函数的和化成单个函数。

扩展资料：

从代数意义上讲，辅助角公式是为了对几个同频率的正弦型函数（  ）求和，转化为一个单独的正弦型函数而诞生的。频率相同意味着  相同，所以对于辅助角公式而言，为了方便起见，我们只讨论  时的特殊情况。

在这种情况下，对于一个正弦型函数，我们只有  （增大的倍数）与  （初相） 两个量需要讨论。我们可以把  看作大小，把  看作角度。而角度和大小恰是极坐标系确定位置的两个要素。

举例：π/6≤a≤π/4 ,求sin²a+2sinacosa+3cos²a的最小值

解：令f(a)=sin²a+2sinacosa+3cos²a

=1+sin2a+2cos²a

=1+sin2a+(1+cos2a)(降幂公式)

=2+(sin2a+cos2a)

=2+（√2）sin(2a+π/4)(辅助角公式)

因为7π/12≤2a+π/4≤3π/4

所以f(a)min=f(3π/4)=2+(√2)sin(3π/4)=3

参考资料：

百度百科——辅助角公式

asinx+bcosx

=√(a²+b²)[sinx（a/√(a²+b²)+cosx (b/√(a²+b²)]

=√(a²+b²)sin(x+φ)

这个公式在实际运用中是要用到反三角函数的，但是考试出题往往都是给一个特殊角。

扩展资料

解析几何中F(x+k，y+h)=0与F(x，y)=0两曲线之间的关系联合在一起。

反正联合。把具有某种相反意义的两个记忆目标联合在一起。如把查对数表的方法与查反对数表的方法联合在一起;把充分条件的定义与必要条件的定义联合在一起;把三垂线定理与其逆定理联合在一起等。

反正弦函数

正弦函数y=sinx在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。定义域[-1，1]，值域[-π/2，π/2]。

反余弦函数

绿的为y=arccos(x)红的为y=arcsin(x)

余弦函数y=cosx在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。定义域[-1，1]，值域[0，π]。

参考资料来源：百度百科-反三角函数

γ=B/（√A^2+B^2 ）。

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数，本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。

推导三角函数公式和计算数值的时候，正弦和余弦使用的最广泛（因为正弦定理和余弦定理）必须要有，而且这两个通常都是成对出现，正切的和差公式里都只包含正切，而且其他三角函数都可以完全用正切来表示（万能公式），这样用正切来做数值计算会有一定的优势。

扩展资料：

注意事项：

1、三角函数化简时，在题设的要求下，首先应合理利用有关公式，还要尽量减少角的种数，尽量减少三角函数种数，尽量化同角、化同名等其他思想还有：异次化同次、高次化低次、化弦或化切、化和差为乘积、化乘积为和差、特殊角三角函数与特殊值互化等。

2、三角函数的求值问题，主要有两种类型 一关是给角求值问题；另一类是给值求角问题它们都是通过恰当的变换，设法再与求值的三角函数式、特殊角的三角函数式、已知某值的三角函数式之间建立起联系选用公式时应注意方向性、灵活性，以造成消项或约项的机会，简化问题

3、关于三角函数式的简单证明 三角恒等证明分不附加条件和附加条件两种，证明方法灵活多样一般规律是从化简入手，适当变换，化繁为简，不过这里的变换目标要由所证恒等式的特点来决定。

参考资料来源：百度百科-三角函数合一变形

参考资料来源：百度百科-三角函数公式

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