总的来说，梯度的定义是为了研究方向导数的大小更方便而定义的。
（ps：那些偏导公式不好打，不然可以解释得很清楚的！！！求采纳啊亲）(x1+y1)+(x2+y2)=d。垂直是指一条线与另一条线成直角，这两条直线互相垂直。一次函数坐标轴垂直于另外一个坐标轴的函数计算公式是(x1+y1)+(x2+y2)=d，坐标系是理科常用辅助方法。首先，我们可以计算出向量a和向量b在z轴方向上的投影为0，即它们与z轴垂直。具体来说，向量a在z轴的投影为-1，向量b在z轴的投影为2，因此它们在z轴方向上的投影和为-1+2=1-1=0。
然后，我们可以设向量λa+μb与z轴的夹角为θ，则有：
cosθ = (λa+μb)·(0,0,1) / |λa+μb|
其中，· 表示点乘，|λa+μb| 表示向量 λa+μb 的模长。
由于向量 a 和向量 b 不共线，因此向量 λa+μb 与向量 a 和向量 b 都不共线。因此，向量 λa+μb 不为零向量，即 |λa+μb| ≠ 0。又因为向量 λa+μb 与 z 轴垂直，因此它在 z 轴方向上的分量为 0，即 (λa+μb)·(0,0,1) = 0。
因此，我们可以得到：
cosθ = 0 / |λa+μb| = 0
因此，θ = π/2 或其倍数。也就是说，向量 λa+μb 与 z 轴的夹角为 90 度或其倍数。
综上所述，向量 λa+μb 与 z 轴垂直的充分必要条件是 λa+μb 与向量 a 和向量 b 线性无关。也就是说，λa+μb 不能表示成 a 和 b 的线性组合，即它们之间不存在线性关系。
设 λa+μb=k(1,0,0)，则由于向量 a 和向量 b 不在 x 轴上，因此 λa+μb 不能表示成 a 和 b 的线性组合，因此 k=0，即 λa+μb=(0,y,z)，其中 y 和 z 是非零实数。
因此，λa+μb 与 z 轴垂直的充分必要条件是：
λa+μb 不能表示成 a 和 b 的线性组合，即它们之间不存在线性关系。
向量 λa+μb 在 x 轴方向上的分量为 0，即 λa+μb=(0,y,z)，其中 y 和 z 是非零实数。
首先介绍中间梯度法。中间梯度法(以下简称为中梯法)是电阻率剖面法中一种常用的重要方法。由于中梯法两个供电电极A、B相距很远、固定不动，而观测是在其中间1/3地段进行，在地下岩石为均匀各向同性的情况下，该地段电场可近似地看作均匀电场。因而，计算中梯法的视电阻率异常，可归结为研究均匀电流场中赋存有电性不均体时所产生的视电阻率异常。
给定地电断面，求解视电阻率的理论值或理论曲线就是电法勘探中的正演问题。只有认识了大量不同条件下的正演结果，才能掌握不同变种方法解决地质问题的能力和特点。由于只有某些理想形体具有解析解，因此我们首先讨论几种典型地电断面上的视电阻率异常特征。
1221 球体上视电阻率异常
自然界中存在的近等轴状地质体(如囊状矿体、地下溶洞等)，可近似地看作为球体。研究球体的视电阻率异常，不仅有实质的地质意义，而且有助于对电场空间分布规律的认识。
(1)视电阻率表达式
图122 均匀电流场中的球体
如图122所示，设在均匀各向同性、电阻率为ρ1无限岩石中，有一电阻率为ρ2、半径为r0的球形矿体，均匀电流场的电流密度为j0。有球体存在时，球内和球外电位均由两部分电位叠加而成，即
电法勘探
式中：U0为均匀电流场的正常电位； 为球内一次场的异常电位； 为球外一次场的异常电位。
选取球极坐标系，取原点于球心，使极轴x和均匀电流场j0方向一致。当取球心电位为零时，均匀电流场的正常电位表达式可写为
U0=-j0ρ1rcosθ
于是，以下问题便归结为如何求得一次场的异常电位 、 。由于球内、外的电位具有轴对称性，故其分布与φ角无关，且满足球坐标系的拉普拉式方程
电法勘探
用分离变量法求解(1215)，得异常电位U1a(r，θ)的通解为
电法勘探
式中：Pn(cosθ)为cosθ的n阶勒让德多项式；An和Bn为待定系数。
根据异常电位U1a(r，θ)应满足的极限条件，即球内电位 (r，θ)处处有限；球外 (r，θ) =0。由式(1216)可知：球内异常电位 (r，θ)应取Bn=0；球外异常电位 (r，θ)应取An=0。这样球内、球外异常电位一般解可写为
电法勘探
根据式(1214)，可将球内、球外电位的一般表达式写成
电法勘探
为了确定待定系数An和Bn，将式(1218)代入球体与围岩分界面上电位和电流密度法线分量连续的衔接条件
电法勘探
便可求出待定系数
电法勘探
将An和Bn代入式(1218)便可得到均匀场中球内、球外电位表达式
电法勘探
式中第二项为球内、球外异常电位和。
以上讨论的是全空间情况。由于地面电法勘探的供电和测量工作均在地面进行，讨论半无限空间的电场分布，特别是球外的电场分布更有实际意义。
如图123 所示，在地下半空间条件下，可按镜像法原理将半空间映射为全空间，用地面上方的一个镜像球代替地面影响。若球心深度(h0)相对球体半径(r0)较大，即球体埋藏比较深时，可忽略球体与地面以上镜像的相互作用。于是，利用全空间球外电位表达式中异常部分简单加倍的方法，可求得地面电位(为简单起见，以下用U1表示)的一级近似解为
图123 地下半空间均匀电流场中的球体
电法勘探
式中：r为地面观察点M与球心的距离。
若以球心在地面投影点O为原点，Z轴垂直向下，地面观察点坐标为M(x，y，0)，球心坐标为(0，0，h0)。则(1220)的第一式中r和cosθ分别为
电法勘探
经简单计算可得地面上任一点M(x，y，0)的电场强度x分量为
电法勘探
根据ρs= 的关系式(视电阻率与AB/3中间段测点处的电位梯度成正比，中梯法由此得名)，中间梯度法在球体上的视电阻率解析表达式为
电法勘探
当上式中的y=0时，可得主剖面上的ρs表达式的相对变化形式为
电法勘探
式中：μ2=ρ2/ρ1。
(2)视电祖率剖面曲线
A视电阻率剖面曲线特征
图124为按式(1224)计算的球体主剖面上中梯法ρs曲线。球体的半径为r0，埋深为h0=2r0，相对于围岩的电阻率分别为μ2=01和μ2=10。
由图可见：当球体为低阻(μ2=01)时，在球心正上方ρs有极小值，两侧则有ρs＞ρ1的极大值；当球体为高阻时(μ2=10)，在球心正上方ρs有极大值，两侧有ρs＜ρ1的极小值。无论高阻还是低阻球体，其上方的视电阻率剖面曲线皆左右对称。因此，根据ρs主极值点的坐标，可确定球心在地面的投影位置。
视电阻率的变化，反映了地下不均匀岩石电场分布的情况。我们可以依据“高阻吸引、低阻排斥”的方法不难用关系式ρs= 定性地说明ρs异常特征。
Bρs异常与相对电阻率μ2的关系
当x=0时，根据式(1224)可写出曲线主极值处的相对视电阻率表示式
电法勘探
当r0/h0一定时，按上式可计算出如图125所示的ρs/ρ1与μ2的关系曲线。
由式(1225)和图125可见：当μ2＜1时，ρs＜ρ1，Δρs/ρ1=(ρs-ρ1)/ρ1相对异常为负，且当μ2→0时，Δρs/ρ1=-025；当μ2=1 时，ρs=ρ1无异常；而当μ2＞1 时，ρs＞ρ1，Δρs/ρ1相对异常为正，且当μ2→∞时，Δρs/ρ1=0125。
图124 球体主剖面上中梯法的ρs曲线
a—μ2 =10；b—μ2 =01，h0=2r0
图125 球顶上中梯法ρs异常与μ2的关系曲线
以上情况表明，无论是高阻球体还是低阻球体，其ρs异常均不随电阻率差的增大而无限变大。两者最后均达渐近值或饱和值。且理想导电球体(μ2→0)的异常(Δρs/ρ1)为绝缘球体(μ2→∞)异常幅值的2 倍。因此，用中间梯度法找寻良导电球体比找寻高阻球体有利。
计算结果还表明，球体与围岩电阻率的差异不需很大，视电阻率的相对异常便已接近饱和值。如当μ2=10时，Δρs/ρ1约为μ2→∞时的086倍；μ2=01时，Δρs/ρ1约为μ2→0时的075倍。由此可见，只要矿体与围岩有一个级次以上的电阻率差异，用中梯法即可获得明显异常，电阻率差异再大，异常不再有显著增加。
C利用ρs曲线确定球心深度的方法
为了确定球心深度，可利用图124中所示ρs曲线的下述特征参数作定量解释。这种反演解释方法称为“特征参数法”。特征参数包括特征点、线、线段以及半极值、极值等。
a用ρs曲线与背景(ρ1)线两交点间距(Δx)求h0
如图124所示，由于两点的坐标位置为x=± ，故h0与Δx有关系
电法勘探
在对实测曲线作解释时，量出Δx后代入式(1226)便可求得球心深度h0。
b用ρs曲线半极值点间的弦长(q)求h0
如图124所示，设x=± q/2时，ρs值与ρ1之差等于ρs极值与ρ1差值的1/2，即
电法勘探
将ρs表示式(1224)代入上式，经整理后可得
电法勘探
求解上式，可得
h0≈13q (1227)
值得注意的是，由于野外ρs异常曲线往往是不规则的，条件好时这种推断球心埋深的方法也只能作为半定量解释。
1222 板状体上视电阻率异常
板状体虽是规则形体，但不是理想形体，没有解析解，需要通过数值计算方法或实验模拟获得ρs值。
(1)高阻板状体上的中梯ρs异常
图126 给出了不同产状高阻板状体上，中梯装置剖面ρs曲线的水槽模型实验结果。由图可见，在高阻板状体上，不论产状如何均有大于背景值(ρ水)的高阻异常，但以直立高阻板上的异常为最大。这是因为对高阻板来说，当板的产状为直立时，均匀外电流场的方向与板的走向方向垂直，因而排斥电流的能力最强。当高阻板为倾斜产状时，由于排斥电流的能力减弱，所以ρs异常变小。曲线不对称且在倾斜方向上ρs下降较快，有明显低于ρ水的极小值。依此可判断高阻板倾斜方向并能说明异常源为高阻体。当高阻板的产状为水平时，由于排斥电流的能力最差，所以ρs异常最小。若板的厚度很薄时，甚至将观测不到ρs异常。因此，用中梯装置寻找高阻直立板最有利，而寻找高阻水平板最不利。
为了对板状体上的ρs异常作半定量解释，仍可利用ρs剖面曲线的半极值点间弦长q。对直立高阻薄板而言，求其顶端埋深h时，可利用由模型实验总结出的近似关系式：h=05 q。
图126 不同产状高阻浸染石墨板上中间梯度法的实验曲线
(2)低阻板状体上的中梯ρs异常
图127给出了不同产状铜板上中梯装置ρs剖面的模型实验结果(实验是在大水槽中进行的)。对于均匀电流中不同产状的低阻板状体，由于它对电流j0具有不同程度吸引作用，在其上方将会出现小于背景值ρ1的低阻异常。由图127 可见：①对直立铜板来说，在当前条件下，由于均匀电流场的方向与模型走向方向垂直，故在矿顶上视电阻率(曲线1)的变化不明显，近于和围岩(水)电阻率值(约为20Ω·m)相等；②当矿体倾斜时，则ρs出了明显异常(曲线2)，其特点是在倾斜方向上ρs明显降低，在反倾斜方则ρs有所升高，曲线呈不对称状；③ 当良导电板状矿体的产状变为水平时，此时矿体上方出现了较宽的明显低阻ρs异常(曲线3)，中心处有极小，两侧有极大，曲线对称。水平产状的良导电板状体，由于板的水平宽度方向与均匀外电流场的方向一致，夹角等于零，所以吸引电流的能力最强，ρs异常最大。
图127 不同产状铜板上中梯装置的ρs实验曲线
AB=100cm；h=2cm；MN=2cm
铜板大小为30cm×15cm×02cm
图128很好地展现了水平均匀电场中存在不同产状的高、低板状板体时地下电场的变化特征。从图中可以看出，用中间梯度法寻找高阻直立板状体和低阻水平或缓倾斜良导板状体最有利，而寻找高阻水平板和直立良导板状体则不利。
图128 不同产状的高、低阻板体上的中梯曲线及地中电流场的变化
a—直立高阻板状体；b—水平高阻板状体；c—倾斜高阻板状体；d—直立低阻板状体；e—水平低阻板状体
梯度grad(f)=(fx,fy,fz)=fx·i+fy·j+fz·k(fx表示f关于x的偏导)。
则rota=(δfz/δy-δfy/δz)i+(δfx/δz-δfz/δx)j+(δfy/δx-δfx/δy)k，δfz/δy-δfy/δz=fzy-fyz=0，δfx/δz-δfz/δx=fxz-fzx=0，δfy/δx-δfx/δy=fyx-fxy=0（δ为偏导的符号）。梯度，散度，旋度，是微积分最后的内容了，主要要熟练它们的定义。
相关介绍：
高数（Higher Mathematics），又称高等数学，是比初等数学更高深的数学，是理、工科院校一门重要的基础学科，该课程的主要内容有，极限理论、常微分方程、多元微积分学与空间解析几何等，在其教材中，以微积分学和级数理论为主体，其他方面的内容为辅，各类课本略有差异。
学习高数有利于培养学生的运算能力、抽象思维及逻辑推理等能力，从而使学生有更强的解决实际问题的能力。
欢迎分享，转载请注明来源：内存溢出
微信扫一扫
支付宝扫一扫
评论列表（0条）