一元一次方程的四种求解方法

1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程,其解为x=±根号下n+m
例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11
分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做,（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解
(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=
当b^2-4ac≥0时,x+ =±
∴x=(这就是求根公式)
例2．用配方法解方程 3x^2-4x-2=0 (注：X^2是X的平方）
将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2
将二次项系数化为1：x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2
配方：(x-)2=
直接开平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) ,(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根
例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5
将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0
∴a=2,b=-8,c=5
b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)
∴原方程的解为x1=,x2=
4．因式分解法：把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学）
(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解
2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0,x2=-是原方程的解
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解
6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=,x2=- 是原方程的解
x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解
小结：
一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数
直接开平方法是最基本的方法
公式法和配方法是最重要的方法公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法）,在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解
配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法
解一元二次方程但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好（三种重要的数学方法：换元法,配方法,待定系数法）
这些既是学法，又可从中找到题和答案。

一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。那么如何解一元一次方程呢？下面就和我一起了解一下吧，供大家参考。

一元一次方程解法的基本步骤

1去分母：在观察方程的构成后，在方程左右两边乘以各分母的最小公倍数；

2去括号：仔细观察方程后，先去掉方程中的小括号,再去掉中括号,最后去掉大括号；

3移项：把方程中含有未知数的项全部都移到方程的另外一边,剩余的几项则全部移动到方程的另一边；

4合并同类项：通过合并方程中相同的几项，把方程化成ax=b(a≠0)的形式；

5把系数化成1：通过方程两边都除以未知数的系数a，使得x前面的系数变成1，从而得到方程的解。

一元一次方程等式的性质

（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。a=b←→a+c=b+c

（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。a=b←→ac=bc(c≠0)

一元一次方程的解法口诀记忆

先和方程照个面，看看方程长啥样？去分母，剥括号，分母括号要去掉。

去分母，莫急躁，先把分母倍数找。两边同乘公倍数，谨防漏乘某一处。

约去分母括号补，再去括号障碍除。去括号，有讲道，确定是否要变号？

正括号，白去掉，括号里面要照抄。负括号，要变号，里边各项都变到。

分母括号全没了，考虑移项是首要。未知移到左边来，常数右边去报到。

移项一定要变号，不动各项要照抄。两边分别合并好．未知系数再除掉。

第一步：列方程式

就像我们刚学一元一次方程解应用题一样，首先把方程式列出来。

第二步：移项

移项就是把含有未知数的放在等式的一边，另一边放常数，这样有利于我们解方程组。

第三步：将未知系数化为1

我们解出方程式，如果最后的形式是"x= ";为了化出这个等式，把系数去掉，需要在等式两边同时除以系数，这里相当于等式两边同时乘以一个数，等式两边保持不变。

第四步：解出方程式

最终得到的结果的形式是“x=  ”

第五步：练习

学会解一元一次方程式后，要多加练习，熟练应用，能够举一反三，融会贯通，切记不可偷懒，多多练习！

解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，最后得到x=a的形。不过，要详细了解，最好是从最简单的一元一次方程入手。

比如化系数为一，或者说系数化为一，它依据的是等式的性质2中，等式两边同时除以一个非0的数，等式仍成立的法则。举个简单的例子，2x=4，等式两边除以2，就可以得到x=2

然后继续了解稍微复杂点的方程，比如2x+x=6，这时就不能直接化系数为一了。可以把方程左边的同类项合并起来，得到3x=6，再把系数化为一，就可以得到方程的解为x=2了。有些方程看起来比这个方程复杂一点，如x+2x+3x=6+3, 不过它们是同一类形的方程。都是方程两边同时合并同类项，得到6x=9，然后再将系数化为一，就得到x=15了。

再比如方程2x+3=5，这个方程不能直接合并同类项，我们就要运用等式的性质一，等式两边同时加或减去一个数或式子，等式仍成立。在等式两边同时减去3，或加负3，就可以得到2x=5-3，然后合并同类项、化系数为一，就可以得到方程的解x=1了。再比如2x+3=6-x，只要运用两次等式的性质就可以了。而结果过就相当于把3移到右边，得到-3，把-x移到右边，得到x，变成2x+x=6-3，这就是移项了。

熟练之后，我们就会把移项、合并同类项，综合成一个步骤，比如上面的例子，2x+3=6-x，我们可以直接得到3x=3，然后系数化为一，就得到x=1了。

再比如方程2(x-2)=6, 这个方程中含有括号，显然无法移项或者合并同类项，因此我们可以先去括号。去括号有去括号的法则，这在学习有理数的乘法时有介绍，这里就不再累述了。去括号后，得到2x-4=6，然后进行移项合并同类项，再化系数为一，就可以得到x=5这个解了。

最后，如果方程中含有分母，比如2(x-2)/3=2, 那么，我们就可以运用等式的性质2，等式两边同时乘以分母3，把分母去掉，就得到上面的方程2(x-2)=6了。有时会有两个分母，比如2(x-2)/3=2/5, 那么等式两边就要乘以这两个分母的最小公倍数，比如这个方程，两边要乘以15，就可以得到方程10(x-2)=6，然后去括号，移项合并同类项，再化系数为一，就可以得到方程的解是x=26了。

当然，有些方程，去完分母，未必要去括号，比如x/3-1=x/2，去分母后得到2x-6=3x，直接移项合并同类项，就可以得到x=-6 只要运算得当，连系数化为一都不必了。所以，解方程时，还是要灵活运用步骤，不能太过刻板。

最后以解问题图中的方程为例：

另外两道题作为练习自行完成。最后，解方程都是要检验的，以(2)为例检验如下：

一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。一元一次方程只有一个根。接下来给大家分享一元一次方程的6种解法。

6种解一元一次方程的方法

（1）一般方法

①去分母：去分母是指等式两边同时乘以分母的最小公倍数。

②去括号：

括号前是"+",把括号和它前面的"+"去掉后,原括号里各项的符号都不改变。

括号前是"-",把括号和它前面的"-"去掉后,原括号里各项的符号都要改变。

③移项：把方程两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，就相当于把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。

④合并同类项：通过合并同类项把一元一次方程式化为最简单的形式：ax=b(a≠0)。

⑤系数化为1：设方程经过恒等变形后最终成为ax=b型(a≠1且a≠0)，那么过程ax=b→x=b/a叫做系数化为1。

（2）求根公式法

对于关于x的一元一次方程ax+b=0(a≠0)，其求根公式为：x=-b/a。

（3）去括号方法

①方程两边同时乘以一个数，去掉方程的括号；

②移项；

③合并同类项；

④系数化为1。

（4）约分方法

例如：（7/2）2=21/4（x-4/3）

解法：两边同时除以21/4,得到7/3=x-4/3,

求解：x=11/3。

（5）比例性质法

根据比例的基本性质，去括号，移项，合并同类项，系数化为1。

（6）图像法

对于关于x的一元一次方程ax+b=0(a≠0)，可以通过做出一次函数f(x)=ax+b来解决。一元一次方程ax+b=0(a≠0)的根就是它所对应的一次函数f(x)=ax+b函数值为0时，自变量x的值，即一次函数图象与x轴交点的横坐标。

打开干净的草稿纸，和小编老师一起来看看常见几种类型的一元一次方程：
题型一：无括号、无分母类型
题型二：有括号类型
题型三：有分母类型1——(分母为整数)类型
题型四：有分母类型2——(分母为小数)类型
题型一：最简单方程——无括号、无分母类型
这一类题目类似小学基础题，是最基本也是最简单的题型。
解题步骤：
1移项(未知数移到等号的左边,数字移到等号的右边,移项之前先变符号)
2合并同类项(俗称"找朋友")
3化未知数系数为1（注意两边同时乘除同一个数以及符号是否需要变化）
请仔细看中的例题，错解和正解的比较！
错解原因：
移项：把一项从等式的一边移动到另一边的过程叫做移项
移项之前要先变符号，错解中没有变符号所以错了。
题型二：有括号类型
解题步骤：
1去括号
2移项
3合并同类项
4化未知数系数为1
错解原因：
去括号最容易犯得两类错误：
1、括号前面有倍数的，忘记利用乘法分配律把括号外倍数和括号里面的每一项相乘
2、括号前面是负号的，括号里面每一项要改变符号

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