利用逐步逼近法可以得到平方根的近似值，求6的算术平方根的近似值

2^2<6<3^2
21^2<6<25^2
24^2<6<25^2
244^2<6<245^2
2449^2<6<245^2
24494^2<6<24495^2
6的算术平方根的近似值为24494

√101=√(100+1)=10√(1+001)
构造函数f(x)=√(1+x),
利用高数中的泰勒公式,
在x0=0处展开成级数,
f(x)=√(1+x)＝1+x/2-x²/8+x³/16+O(x⁴)
取二阶近似,精度就已经很高了√101≈10(1+001/2-001²/8)≈100499

平方根计算方法一：能简化的根式先尽量简化。再将根数相乘，得出结果。最后把任何可以简化为完全平方数的数分离出来。方法二：能简化的根式先尽量简化。开始简化根数。再把根数进行相乘。然后因式分解出完全平方数。最后将系数相乘得出结果。

平方根

平方根，又叫二次方根，表示为〔±√￣〕，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根。一个正数有两个实平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0。

算术平方根

一般地说，若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，则这个数x叫做a的算术平方根。

算术平方根与平方根的联系

1、前提条件相同：算术平方根和平方根存在的前提条件都是“只有非负数才有算术平方根和平方根”。

2、存在包容关系：平方根包含了算术平方根，因为一个正数的算术平方根只是其两个平方根中的一个。

3、0的算术平方根和平方根相同，都是0。

简单方法是 背下一百以内的质数的开放
然后将要开的数 分解因式 例如 根号13=根号十三
根号123=根号431=2倍根号31
根号1500= 根号10015=10倍根号15=10倍根号5乘根号3
繁琐方法：
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先一起来研究一下，怎样求 ，这里1156是四位数，所以它的算术平方根的整数部分是两位数，且易观察出其中的十位数是3．于是问题的关键在于；怎样求出它的个位数a？为此，我们从a所满足的关系式来进行分析． 根据两数和的平方公式，可以得到 1156=(30+a)2＝302＋2×30a＋a2， 所以 1156-302＝2×30a＋a2， 即 256=(3×20+a)a， 这就是说， a是这样一个正整数，它与 3×20的和，再乘以它本身，等于256． 为便于求得a，可用下面的竖式来进行计算： 根号上面的数3是平方根的十位数．将 256试除以20×3，得4．由于4与20×3的和64，与4的积等于256，4就是所求的个位数a．竖式中的余数是0，表示开方正好开尽．于是得到 1156＝342,或 上述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根，它的计算步骤如下： 1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开(竖式中的11’56)，分成几段，表示所求平方根是几位数； 2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数(竖式中的3)； 3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(竖式中的256)； 4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商(3×20除256，所得的最大整数是 4，即试商是4)； 5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试(竖式中(20×3+4)×4=256，说明试商4就是平方根的第二位数)； 6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数． 按照上面步骤求 ，可得到下面左边的竖式： 于是得到 如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值．例如求 的近似值（精确到001），可列出上面右边的竖式，并根据这个竖式得到 笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值． 我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了上述笔算开平方法．据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍．这表明，古代对于开方的研究我国在世界上是遥遥领先的．

答案如下：

√2= 1414

√3= 1732

√4= 2000

√5= 2236

√6= 2449

√7= 2646

√8= 2828

√9= 3000

√10= 3162

“四舍五入”方法：

比保留的位数多看一位，该位上的数字是“5”或者比“5”大，向前进一，该位上的数字是“4”或者比“4”小，就舍去。

例如：656，保留一位小数，就是66。而654，保留一位小数，就是65。

在取小数 近似数的时候，如果尾数的最高位数字是4或者比4小，就把尾数去掉。如果尾数的最高位数是5或者比5大，就把尾数舍去并且在它的前一位进"1"，这种取近似数的方法叫做四舍五入法。

《 九章算术》里也采用“四舍五入”的方法，在用比例法求各县应出的车辆时，因为车辆是整数，他们就采用四舍五入的方法对演算结果加以处理。

计算步骤如下：

1、将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段,表示所求平方根是几位数；

2、根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数；

3、从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数；

4、把求得的最高位数乘以具体的数再去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商；

5、用商的最高位数的倍数加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数,试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数,就把试商减小再试；

6、用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。

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