程序中的时间复杂度是怎么计算的？

http://baike.baidu.com/view/7527.htm

时间复杂度

时间频度

一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

计算方法

1. 一般情况下，算法的基本 *** 作重复执行的次数是模块n的某一个函数f（n），因此，算法的时间复杂度记做：T（n）=O（f（n））

分析：随着模块n的增大，算法执行的时间的增长率和f（n）的增长率成正比，所以f（n）越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。

2. 在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本 *** 作，然后根据相应的各语句确定它的执行次数，再找出T（n）的同数量级（它的同数量级有以下：1，Log2n ，n ，nLog2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n！），找出后，f（n）=该数量级，若T(n)/f(n)求极限可得到一常数c，则时间复杂度T（n）=O（f（n））

例：算法：

for（i=1i<=n++i）

{

for(j=1j<=n++j)

{

c[ i ][ j ]=0//该步骤属于基本 *** 作 ，执行次数：n的平方 次

for(k=1k<=n++k)

c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]//该步骤属于基本 *** 作 ，执行次数：n的三次方 次

}

}

则有 T（n）= n的平方+n的三次方，根据上面括号里的同数量级，我们可以确定 n的三次方 为T（n）的同数量级

则有f（n）= n的三次方，然后根据T（n）/f（n）求极限可得到常数c

则该算法的 时间复杂度：T（n）=O（n^3） 注：n^3即是n的3次方。

3.在pascal中比较容易理解，容易计算的方法是：看看有几重for循环，只有一重则时间复杂度为O（n）,二重则为O（n^2），依此类推，如果有二分则为O(logn)，二分例如快速幂、二分查找，如果一个for循环套一个二分，那么时间复杂度则为O(nlogn)。

分类

按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：

常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n),

线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n^2)，立方阶O(n^3),...，

k次方阶O(n^k), 指数阶O(2^n) 。随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

关于对其的理解

《数据结构（C语言版）》------严蔚敏 吴伟民编著 第15页有句话"整个算法的执行时间与基本 *** 作重复执行的次数成正比。"

基本 *** 作重复执行的次数是问题规模n的某个函数f(n)，于是算法的时间量度可以记为：T(n) = O( f(n) )

如果按照这么推断，T(n)应该表示的是算法的时间量度，也就是算法执行的时间。

而该页对“语句频度”也有定义：指的是该语句重复执行的次数。

如果是基本 *** 作所在语句重复执行的次数，那么就该是f(n)。

上边的n都表示的问题规模。

以下来自百度知道：

对于这些算法

(1) for(i=1i<=ni++)

for(j=1j<=nj++)

s++

(2) for(i=1i<=ni++)

for(j=ij<=nj++)

s++

(3) for(i=1i<=ni++)

for(j=1j<=ij++)

s++

(4) i=1k=0

while(i<=n-1){

k+=10*i

i++

}

(5) for(i=1i<=ni++)

for(j=1j<=ij++)

for(k=1k<=jk++)

x=x+1

对应的时间复杂度为：

1.时间复杂度O(n^2)

2.时间复杂度O(n^2)

3.时间复杂度O(n^2)

4.时间复杂度O(n)

5.时间复杂度O(n^3)

一般来说，时间复杂度是总运算次数表达式中受n的变化影响最大的那一项(不含系数)

比如：一般总运算次数表达式类似于这样：

a*2^n+b*n^3+c*n^2+d*n*lg(n)+e*n+f

a<>0时，时间复杂度就是O(2^n)

a=0,b<>0 =>O(n^3)

a,b=0,c<>0 =>O(n^2)依此类推

那么，总运算次数又是如何计算出的呢？

一般来说，我们经常使用for循环，就像刚才五个题，我们就以它们为例

1.循环了n*n次，当然是O(n^2)

2.循环了(n+n-1+n-2+...+1)≈(n^2)/2，因为时间复杂度是不考虑系数的，所以也是O(n^2)

3.循环了(1+2+3+...+n)≈(n^2)/2,当然也是O(n^2)

4.循环了n-1≈n次，所以是O(n)

5.循环了(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6(这个公式要记住哦)≈(n^3)/3，不考虑系数，自然是O(n^3)

另外，在时间复杂度中，log(2,n)(以2为底)与lg(n)(以10为底)是等价的，因为对数换底公式：

log(a,b)=log(c,b)/log(c,a)

所以，log(2,n)=log(2,10)*lg(n),忽略掉系数，二者当然是等价的

算法的复杂性是算法效率的度量，是评价算法优劣的重要依据。一个算法的复杂性的高低体现在运行该算法所需要的计算机资源的多少上面，所需的资源越多，我们就说该算法的复杂性越高；反之，所需的资源越低，则该算法的复杂性越低。

计算机的资源，最重要的是时间和空间（即存储器）资源。因而，算法的复杂性有时间复杂性和空间复杂性之分。

不言而喻，对于任意给定的问题，设计出复杂性尽可能低的算法是我们在设计算法时追求的一个重要目标；另一方面，当给定的问题已有多种算法时，选择其中复杂性最低者，是我们在选用算法适应遵循的一个重要准则。因此，算法的复杂性分析对算法的设计或选用有着重要的指导意义和实用价值。

简言之，在算法学习过程中，我们必须首先学会对算法的分析，以确定或判断算法的优劣。

1.时间复杂性：

例1：设一程序段如下（为讨论方便，每行前加一行号）

(1) for i:=1 to n do

(2) for j:=1 to n do

(3) x:=x+1

......

试问在程序运行中各步执行的次数各为多少？

解答：

行号 次数(频度)

(1) n+1

(2) n*(n+1)

(3) n*n

可见，这段程序总的执行次数是：f(n)=2n2+2n+1。在这里，n可以表示问题的规模，当n趋向无穷大时，如果 f(n)的值很小，则算法优。作为初学者，我们可以用f(n)的数量级O来粗略地判断算法的时间复杂性，如上例中的时间复杂性可粗略地表示为T(n)=O(n2)。

2.空间复杂性:

例2:将一一维数组的数据(n个)逆序存放到原数组中,下面是实现该问题的两种算法:

算法1:for i:=1 to n do

b[i]:=a[n-i+1]

for i:=1 to n do

a[i]:=b[i]

算法2:for i:=1 to n div 2 do

begin

t:=a[i]a[i]:=a[n-i-1]a[n-i-1]:=t

end

算法1的时间复杂度为2n,空间复杂度为2n

算法2的时间复杂度为3*n/2,空间复杂度为n+1

显然算法2比算法1优，这两种算法的空间复杂度可粗略地表示为S(n)=O(n)

信息学比赛中，经常是：只要不超过内存，尽可能用空间换时间。