图论算法的教材

我想很多学习图论的人都知道JA Bondy和USR Murty著的《Graph Theory with Application》(Elsevier,1976)是图论教材中的经典，时至今日，仍不失为初学者较好的入门书。还记得兰州交通大学的张忠辅教授说过，国内第一届图论学会就是把大家集中起来学习邦迪的《Graph Theory with Application》，由此可见这本书对国内图论届的影响是如此之大。吴望名等人将其译成中文版本《图论及其应用》（北京：科学出版社，1984），1988年张克民等人编写了该书的参考答案《图论及其应用习题解答》（清华大学出版社，1988）。

在2008年JA Bondy和USR Murty出了新书《Graph Theory》(GTM 244, Springer, 2008), 大家可不妨将其看成是《Graph Theory with Application》的第二版，这本书在内容上做了重新调整，毕竟在第一版出版后的近30年里涌现出了很多新的结果，所以《Graph Theory》在内容上加进了一些新的结果，这本书我只是读了其中的几章，觉得写的非常棒，建议大家能够读读，这里也值得一提的是将第一版最后提出的50个问题进行了更新，并补充了一些新的问题。总之，我个人认为，《Graph Theory》的确是一部很优秀的图论教材。

中国科学技术大学出版社出版的《图论及其算法》，融有向图和无向图为一整体，系统地阐述了图论的基本概念、理论、方法及其算法，内容包括图的基本概念、Euler图与Hamilton图、图论算法、树及其应用、平面图、独立集与匹配、网络流和Petri网。 书中附有大量例题和习题，而且大部分习题有详细解答。 该书选材精炼全面，内容处理恰当且有新意，立论严谨，叙述条理清晰，语言流畅。 该书可用作高校计算机、电子、信息、管理、数学等专业本科生必修课教材，也可供相关专业的研究人员、教师及图论工作者参考。

本书共分9章：图与网络的基本概念、树及其算法、连通性、路径算法、匹配、行遍性问题、平面图、图的着色及网络流问题。其中包含较丰富的实际应用案例与算例，每章末均附有较多难易程度不同的习题，另外还附有少量涉及网络建模与计算的大型综合应用题。

本书以有向图为着眼点，系统地阐述了图论的基本概念、理论和方法以及基本应用，内容

包括Euler图与Hamilton图、树与图空问、平图与平面图、网络流与连通度、匹配与独立集、染

色理论、图与群，以及它们在矩阵论、组合数学、组合优化、运筹学、线性规划、科学管理、电子学以及通讯和计算机科学等多方面的应用，本书选材颇具特点，内容处理很有新意，立论严

谨，叙述条理清晰，语言流畅，书中附有大量习题和有价值的参考文献。

本书既可用作高校数学系、计算机科学系、电子学系、管理科学系等专业高年级本科生和研究生的必修课或选修课教材；也可用作高校教师、图论工作者的参考书；同时也为数学爱好者、科学管理工作者和工程技术人员提供一本自学图论的读本

1 最短路问题（SPP－shortest path problem）

一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。

2 公路连接问题

某一地区有若干个主要城市，现准备修建高速公路把这些城市连接起来，使得从其中任何一个城市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市。假定已经知道了任意两个城市之间修建高速公路的成本，那么应如何决定在哪些城市间修建高速公路，使得总成本最小？

3 指派问题（assignment problem）

一家公司经理准备安排 名员工去完成 项任务，每人一项。由于各员工的特点不同，不同的员工去完成同一项任务时所获得的回报是不同的。如何分配工作方案可以使总回报最大？

4 中国邮递员问题（CPP－chinese postman problem）

一名邮递员负责投递某个街区的邮件。如何为他（她）设计一条最短的投递路线（从邮局出发，经过投递区内每条街道至少一次，最后返回邮局）？由于这一问题是我国管梅谷教授1960年首先提出的，所以国际上称之为中国邮递员问题。

5 旅行商问题（TSP－traveling salesman problem）

一名推销员准备前往若干城市推销产品。如何为他（她）设计一条最短的旅行路线（从驻地出发，经过每个城市恰好一次，最后返回驻地）？这一问题的研究历史十分悠久，通常称之为旅行商问题。

6 运输问题（transportation problem）

某种原材料有 个产地，现在需要将原材料从产地运往 个使用这些原材料的工厂。假定 个产地的产量和 家工厂的需要量已知，单位产品从任一产地到任一工厂的运费已知，那么如何安排运输方案可以使总运输成本最低？

7最短路已有成熟的算法：迪克斯特拉（Dijkstra）算法

8计算赋权图中各对顶点之间最短路径，显然可以调用Dijkstra算法。具体方法是：每次以不同的顶点作为起点，用Dijkstra算法求出从该起点到其余顶点的最短路径，反复执行n次这样的 *** 作，就可得到从每一个顶点到其它顶点的最短路径。这种算法的时间复杂度为O(n^3)。第二种解决这一问题的方法是由Floyd R W提出的算法，称之为Floyd算法。(可以解决第一个问题)

9prim算法、Kruskal算法构造最小生成树（使所有点连通）

10匈牙利算法、Kuhn-Munkres算法解决人员分配问题

11Euler回路的Fleury算法（中国邮递员问题）

12最大流的一种算法—标号法（用标号法寻求网络中最大流的基本思想是寻找可增广轨，使网络的流量得到增加，直到最大为止。）

我的计算机不好，用的是MATLAB，网上很多资料可以百度到。程序好直接百度对应算法搞成C的吧……

算法很多百度能到……

算法 Algorithm

算法是在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明确的规则。通俗点说，就是计算机解题的过程。在这个过程中，无论是形成解题思路还是编写程序，都是在实施某种算法。前者是推理实现的算法，后者是 *** 作实现的算法。

一个算法应该具有以下五个重要的特征：

1、有穷性： 一个算法必须保证执行有限步之后结束；

2、确切性： 算法的每一步骤必须有确切的定义；

3、输入：一个算法有0个或多个输入，以刻画运算对象的初始情况，所谓0个输入是指算法本身定除了初始条件；

4、输出：一个算法有一个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。没有输出的算法是毫无意义的；

5、可行性： 算法原则上能够精确地运行，而且人们用笔和纸做有限次运算后即可完成。

算法的设计要求

1）正确性（Correctness）

有4个层次：

A．程序不含语法错误；

B．程序对几组输入数据能够得出满足规格要求的结果；

C．程序对精心选择的、典型的、苛刻的、带有刁难性的几组输入数据能够得出满足规格要求的结果；

D．程序对一切合法的输入数据都能产生满足规格要求的结果。

2）可读性（Readability）

算法的第一目的是为了阅读和交流；

可读性有助于对算法的理解；

可读性有助于对算法的调试和修改。

3）高效率与低存储量

处理速度快；存储容量小

时间和空间是矛盾的、实际问题的求解往往是求得时间和空间的统一、折中。

算法的描述 算法的描述方式（常用的）

算法描述 自然语言

流程图 特定的表示算法的图形符号

伪语言 包括程序设计语言的三大基本结构及自然语言的一种语言

类语言 类似高级语言的语言，例如，类PASCAL、类C语言。

算法的评价 算法评价的标准：时间复杂度和空间复杂度。

1）时间复杂度 指在计算机上运行该算法所花费的时间。用“O（数量级）”来表示，称为“阶”。

常见的时间复杂度有： O（1）常数阶；O（logn）对数阶；O（n）线性阶；O（n＾2）平方阶

2）空间复杂度 指算法在计算机上运行所占用的存储空间。度量同时间复杂度。

时间复杂度举例

（a） X：=X+1 ； O（1）

（b） FOR I：=1 TO n DO

X：= X+1； O（n）

（c） FOR I：= 1 TO n DO

FOR J：= 1 TO n DO

X：= X+1； O（n＾2）

“算法”一词最早来自公元 9世纪 波斯数学家比阿勒·霍瓦里松的一本影响深远的著作《代数对话录》。20世纪的 英国 数学家 图灵 提出了著名的图灵论点，并抽象出了一台机器，这台机器被我们称之为 图灵机 。图灵的思想对算法的发展起到了重要的作用。

算法是 计算机 处理信息的本质，因为 计算机程序 本质上是一个算法，告诉计算机确切的步骤来执行一个指定的任务，如计算职工的薪水或打印学生的成绩单。 一般地，当算法在处理信息时，数据会从输入设备读取，写入输出设备，可能保存起来以供以后使用。

这是算法的一个简单的例子。

我们有一串随机数列。我们的目的是找到这个数列中最大的数。如果将数列中的每一个数字看成是一颗豆子的大小 可以将下面的算法形象地称为“捡豆子”：

首先将第一颗豆子（数列中的第一个数字）放入口袋中。

从第二颗豆子开始检查，直到最后一颗豆子。如果正在检查的豆子比口袋中的还大，则将它捡起放入口袋中，同时丢掉原先的豆子。 最后口袋中的豆子就是所有的豆子中最大的一颗。

下面是一个形式算法，用近似于 编程语言 的 伪代码 表示

给定：一个数列“list"，以及数列的长度"length(list)" largest = list[1] for counter = 2 to length(list): if list[counter] > largest: largest = list[counter] print largest

符号说明:

= 用于表示赋值。即：右边的值被赋予给左边的变量。

List[counter] 用于表示数列中的第 counter 项。例如：如果 counter 的值是5，那么 List[counter] 表示数列中的第5项。

<= 用于表示“小于或等于”。

算法的分类

（一）基本算法 :

1枚举

2搜索:

深度优先搜索

广度优先搜索

启发式搜索

遗传算法

（二）数据结构的算法

（三）数论与代数算法

（四）计算几何的算法：求凸包

（五）图论 算法：

1哈夫曼编码

2树的遍历

3最短路径 算法

4最小生成树 算法

5最小树形图

6网络流 算法

7匹配算法

（六）动态规划

（七）其他：

1数值分析

2加密算法

3排序 算法

4检索算法

5随机化算法

图论图的表示：邻接矩阵，邻接表，边表

传递闭包和floyd

最小生成树算法(至少会一种)

单源最短路dijkstra（O(n2)）或者bellman（spfa优化，O(km)）

拓扑排序

树 树的先序、中序、后序遍历

树中的最长路（两遍bfs或者dfs）

并查集

有能力的话：

Dijkstra算法的堆优化、求割点、求割边、强连通分量、欧拉路（边一次）、汉密尔顿回路（点一次）、差分约束系统

匹配算法（最大匹配，最小点覆盖，最小路径覆盖，最大独立集)

网络流算法（最大流dinic，最小费用流spfa）

动态规划动态规划的优化（快速幂，改变状态，优化转移，单调性，四边形不等式）

归并树(逆序对)平衡树（sbt、treap、splay）后缀数组