[置顶] LCA的树链剖分实现

这篇本来是要在树链剖分小节中写的，但是我感觉这只是树链剖分的一个衍生物，所以另开了一篇，如果对树链剖分部分还不是太了解，请看上面的链接。

计算树中两个节点的最近公共祖先，我们一般有爬山法，Tarjan离线算法，或者是将LCA转换成RMQ来解，这里讲一讲一种新的求LCA的算法，它是基于树链剖分的。

我们先来复习一下树链剖分中各个节点所维护的信息：

1:siz[v]表示以v为根的子树的节点总数。

2:dep[v]表示v的深度。

3:son[v]表示与v在同一重链上的v的儿子节点。

4:fa[v]表示v的父亲节点。

5:top[v]表示v所在链的顶端节点。

（其实还有w[v]，不过在这里我们不需要）

我们先来看看树链剖分求LCA的代码，然后再来看算法的原理。

int LCA(int a, int b)
{
    while (1) 
    {
        if (top[a] == top[b])
        return dep[a] <= dep[b] ? a : b;
        else if (dep[top[a]] >= dep[top[b]]) 
        a = fa[top[a]]; 
        else b = fa[top[b]];
    }
}

是不是非常简短呢。下面来分析这个算法。

1:如果top[a]==top[b]，说明a和b在同一条重链上，显然它们中深度较小的点即为它们的最近公共祖先。

2：若果top[a]!=top[b],（说明a,b在不同的重链上）且a的深度较大，则此时a，b的LCA不可能在a所在的重链上。

因为如果a，b的LCA在a所在重链上，那么top[a]显然也为a，b的公共祖先，则若dep[up[a]]]>dep[b],则显然不可能，若dep[up[a]]]<=dep[b]，则设dep[up[a]]]为d，因为d>=dep[b],所以我沿着b向上搜索，在深度d处也可以找到一个点C为b的祖先，又因为a，b不在同一条重链上，所以top[a]!=C,这就意味着在同一深度，b有两个不同的祖先，这是不可能的（因为是一棵树），所以，LCA不可能在a所在的重链上。所以我们可以将a上升到up[a]的父节点，这时a,b的LCA没有变化。

3：若果top[a]!=top[b],且b的深度较大，同理我们可将b上升到up[b]的父节点。

4: a，b不停地上升，所以一定可以找到a,b的LCA。

因为我们知道，在树中任意一点到根的路径上，重链数不会超过(logn),所以我们可以在O(logn)的时间复杂度内，将a，b的LCA求出来。

因为我们求LCA都是在重链上进行，所以结合线段树，我们可以维护树中任意两点间路径的信息了，比如两点间的最大边最小边，边权和等等，这里就不一一举例了。