将一个三角形转换为另一个三角形

将一个三角形转换为另一个三角形

我假设您在这里谈论2D。仿射变换矩阵中有9个值：

    | a1 a2 a3 |A = | a4 a5 a6 |    | a7 a8 a9 |

有3个顶点输入

x1

，

x2

和

x3

，当其转化应该成为

y1

，

y2

，

y3

。然而，由于我们在齐次坐标的工作，应用

A

到

x1

不一定给

y1

-它给人的倍数

y1

。所以，我们也有未知的乘法器

k1

，

k2

以及

k3

，用公式：

A * x1 = k1 * y1A * x2 = k2 * y2A * x3 = k3 * y3

每一个都是一个向量，因此我们实际上有12个未知数中的9个方程，因此解决方案将受到约束。如果我们要求

a7=0

，

a8=0

以及

a9=1

，然后将溶液将是唯一的（这种选择是自然的，因为这意味着如果输入点为（

x

，

y

，1），则输出点总是有齐次坐标1，因此所得到的变换是只是2x2转换和翻译）。

因此，这将等式简化为：

a1 * x11 + a2 * x12 + a3 = k1 * y11a4 * x11 + a5 * x12 + a6 = k1 * y12        1 = k1a1 * x21 + a2 * x22 + a3 = k2 * y21a4 * x21 + a5 * x22 + a6 = k2 * y22        1 = k2a1 * x31 + a2 * x32 + a3 = k3 * y31a4 * x31 + a5 * x32 + a6 = k3 * y32        1 = k3

因此，

k1

=

k2

=

k3

=1。将其插入并转换为矩阵形式可得出：

| x11 x12 1 0 0 0 | | a1 | | y11 || x21 x22 1 0 0 0 | | a2 | | y21 || x31 x32 1 0 0 0 | * | a3 | = | y31 || 0 0 0 x11 x12 1 | | a4 | | y12 || 0 0 0 x21 x22 1 | | a5 | | y22 || 0 0 0 x31 x32 1 | | a6 | | y32 |

解决此6x6方程组可得出仿射变换矩阵

A

。当且仅当源三角形的3个点不是共线时，它将具有唯一的解决方案。