牛顿-拉夫逊法 原理讲解以及python算例实现

牛顿-拉夫逊法 原理讲解以及python算例实现

文章目录

• 一、基本原理
• 二、原理深入讲解
• • 1 、切线是曲线的线性逼近
  • 2、 牛顿-拉夫逊法
  • 3 、牛顿-拉夫逊法是否总是收敛（总是可以求得足够近似的根）？
• 三、pythons实例
• 总结

---

一、基本原理

    对于一个方程 f ( x ) = 0 ，我们将函数 f ( x )单独考虑。
    若函数 f ( x ) (n+1)阶可导，则我们在初始值 x = x 0 处进行泰勒展开，可得：

    令 x − x 0= Δ x ，然后将上述泰勒公式一阶展开，忽略余项可得：

   令其等于 f ( x ) = 0，可得：

   从而求出：

二、原理深入讲解 1 、切线是曲线的线性逼近

   要讲牛顿迭代法之前我们先说一个关键问题：切线是曲线的线性逼近。
   这个是什么意思呢？我们来看一看，下面是 f(x)=x^2 的图像：

   我们随便选一点f(x) 上的一点(a,f(a))作它的切线：

   我们在A点处放大图像：

   上图中，红色的线是f(x)，黑色的是A点处的切线，可以看出放大之后切线和f(x)非常接近了。很明显，如果我们进一步放大图像，A点切线就越接近f(x)。

   因为切线是一条直线（也就是线性的），所以我们可以说，A点的切线是f(x)的线性逼近。离A点距离越近，这种逼近的效果也就越好，也就是说，切线与曲线之间的误差越小。所以我们可以说在A点附近，“切线约等于 f(x) ”。

2、 牛顿-拉夫逊法

   牛顿-拉夫逊法提出来的思路就是利用切线是曲线的线性逼近这个思想。
   牛顿、拉夫逊们想啊，切线多简单啊，研究起来多容易啊，既然切线可以近似于曲线，我直接研究切线的根不就成了。
然后他们观察到这么一个事实：

   随便找一个曲线上的A点（为什么随便找，根据切线是切点附近的曲线的近似，应该在根点附近找，但是很显然我们现在还不知道根点在哪里），做一个切线，切线的根（就是和x轴的交点）与曲线的根，还有一定的距离。牛顿、-拉夫逊们想，没关系，我们从这个切线的根出发，做一根垂线，和曲线相交于B点，继续重复刚才的工作：

   之前说过，B点比之前A点更接近曲线的根点，牛顿、拉弗森们很兴奋，继续重复刚才的工作：

   第四次就已经很接近曲线的根了

   经过多次迭代后会越来越接近曲线的根（下图进行了50次迭代，哪怕经过无数次迭代也只会更接近曲线的根，用数学术语来说就是，迭代收敛了）：

3 、牛顿-拉夫逊法是否总是收敛（总是可以求得足够近似的根）？

我们来看看收敛的充分条件：
若
f(x)
二阶可导，那么在待求的零点
x
周围存在一个区域，只要起始点
x_0
位于这个邻近区域内，那么牛顿-拉弗森方法必定收敛。

   也就是说，在这个区域内，用切线代替曲线这个直觉是合理的。但是，因为我们不知道根点到底在哪里，所以起始点 x_0 选择就不一定在这个区域内，那么这个直觉就不可靠了。
驻点

   起始点不幸选择了驻点，从几何上看切线根本没有根。
从代数上看，x{n+1}=xn-f(xn)/f’(xn)没有意义。
越来越远离的不收敛

循环震荡的不收敛

不能完整求出所有的根

三、pythons实例

   以 x 2 − 4 x - 4 = 0 为例，设计 Python 程序：

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot  as plt

def fun(x):
    y = x ** 2 - 4 * x - 1
    return y


def fun_diff(x):
    y = 2 * x - 4
    return y


def Netwon(x0, func, dfunc):
    # 迭代条件
    e = 1e-5
    x = np.zeros(2)
    x[0] = x0
    x[1] = x0 - func(x[0]) / dfunc(x[0])
    while abs(func(x[0])) > e:#在0附近
        x[0] = x[1]
        x[1] = x[0] - func(x[0]) / dfunc(x[0])
    return x[1]


if __name__ == '__main__':
    x=np.arange(-5,5,0.1)
    y=fun(x)
    x1=Netwon(0, fun, fun_diff) #牛拉法求得的点

    plt.plot(x,y)
    plt.xlim(-5, 5)
    plt.ylim(-10, 50)
    plt.scatter(x1,fun(x1),color='red')
    plt.show()
    

总结

应用牛顿-拉夫逊方法，要注意以下问题：
函数在整个定义域内最好是二阶可导的
起始点对求根计算影响重大，可以增加一些别的判断手段进行试错

作者：电气-余登武