算法复习之分治与贪心（1）

算法复习之分治与贪心（1） 经典算法回顾 问题一：归并排序 题目描述

        给定一组数，将其从小到大排序，要求时间复杂度为。

分析

        比较朴素的归并排序算法，本质思想就是将数组不断折半，最后将数组全部拆分为长度为1或2的子数组，然后进行排序后再合并到一起

解决方法

void merge(vector& data, int start, int end) {
	int mid = start + (end - start) / 2;
	vector left(mid - start, 0);
	vector right(end - mid + 1, 0);
	for (int i = start; i < end; i++) {
		i < mid ? left.push_back(data[i]) : right.push_back(data[i]);
	}
	int i, j = 0;
	int index = start;
	while (i < left.size() && j < right.size()) {
		if (left[i] > right[j]) {
			data[index++] = right[j++];
		}
		else {
			data[index++] = left[i++];
		}
	}
	while (i < left.size()) {
		data[index++] = left[i++];
	}
	while (j < right.size()) {
		data[index++] = right[j++];
	}
}

void mergeSort(vector& data, int start, int end) {
	if (start >= end) {
		return;
	}
	int mid = start + (end - start) / 2;
	mergeSort(data, start, mid);
	mergeSort(data, mid + 1, end);
	merge(data, start, end);
}

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问题二：逆序对个数 题目描述

        给定一个数组，求其中所有的逆序对个数。

分析

        其实本质上还是进行归并排序，只不过在比较合并的过程中，如果前半个数组中存在某一个值比后半个数组中的值大，需要计数，最后求和即可。

解决方法

int merge(vector& data, int start, int end, int sum) {
	int mid = start + (end - start) / 2;
	vector left(mid - start, 0);
	vector right(end - mid + 1, 0);
	for (int i = start; i < end; i++) {
		i < mid ? left.push_back(data[i]) : right.push_back(data[i]);
	}
	int i, j = 0;
	int index = start;
	while (i < left.size() && j < right.size()) {
		if (left[i] > right[j]) {
			sum += left.size() - i;
			data[index++] = right[j++];
		}
		else {
			data[index++] = left[i++];
		}
	}
	while (i < left.size()) {
		data[index++] = left[i++];
	}
	while (j < right.size()) {
		data[index++] = right[j++];
	}
	return sum;
}

int mergeSort(vector& data, int start, int end, int sum) {
	if (start >= end) {
		return;
	}
	int mid = start + (end - start) / 2;
	sum += mergeSort(data, start, mid, sum);
	sum += mergeSort(data, mid + 1, end, sum);
	return merge(data, start, end, sum);
}

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问题三：快速排序 题目描述

        给定一个数组，通过快速排序的方法将数组进行排序。

分析

        使用最基本的快速排序算法即可实现。（注意双指针的使用以及标准值的确定）

解决方法

void quickSort(vector data, int start, int end) {
	if (start >= end) {
		return;
	}
	int leftPointer = start;
	int rightPointer = end + 1;
	int key = data[start];
	while (1) {
		while (data[++leftPointer] < key) {
			if (leftPointer == end) {
				break;
			}
		}
		while (data[--rightPointer] > key) {
			if (rightPointer == start) {
				break;
			}
		}
		if (leftPointer >= rightPointer) {
			break;
		}
		swap(data[leftPointer], data[rightPointer]);
	}
	data[start] = data[rightPointer];
	data[rightPointer] = key;
	quickSort(data, start, rightPointer - 1);
	quickSort(data, rightPointer + 1, end);
}

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问题四：第k大数 问题描述

        给定一个数组，找出其中第k大的数。

分析

        选用不同的排序方法可以以不同的时间复杂度解决该问题

解决方法 冒泡排序

int findKthLargestByBubble(vector data, int k) {
	bool flag = true;
	for (int i = 0; i < k && flag; i++) {
		flag = false;
		for (int j = data.size() - 2; j >= i; j--) {
			if (data[j] < data[j + 1]) {
				swap(data[j], data[j + 1]);
				flag = true;
			}
		}
	}
	return data[k - 1];
}

        其时间复杂度可以较为容易的判断出，为。

选择排序

int findKthLargestBySelection(vector data, int k) {
	bool flag = true;
	for (int i = 0; i < k && flag; i++) {
		flag = false;
		for (int j = i + 1; j < data.size(); j++) {
			if (data[j] > data[i]) {
				swap(data[j], data[i]);
				flag = true;
			}
		}
	}
	return data[k - 1];
}

        其时间复杂度与冒泡排序相同。但是这两种排序算法在数据量巨大时（即k和n规模相近），时间复杂度就会变为，计算效率将会大打折扣。

快速排序

int findKthLargestByQuickSort(vector data, int k) {
	return find(data, 0, data.size(), k);
}

int find(vector data, int start, int end, int k) {
	int key = data[start];
	int leftPointer = start;
	int rightPointer = end + 1;
	while (1) {
		while (data[++leftPointer] < key) {
			if (leftPointer == end) {
				break;
			}
		}
		while (data[--rightPointer] > key) {
			if (rightPointer == start) {
				break;
			}
		}
		if (leftPointer >= rightPointer) {
			break;
		}
		swap(data[leftPointer], data[rightPointer]);
	}
	data[start] = data[rightPointer];
	data[rightPointer] = key;
	if (rightPointer == k - 1) {
		return key;
	}
	else if (rightPointer > k - 1) {
		return find(data, start, rightPointer - 1, k);
	}
	else {
		return find(data, rightPointer + 1, end, k);
	}
}

        由于最差也只是经过一次对数组的完整搜索，所以其时间复杂度为。

        还有其余的排序方法，例如堆排序、归并排序等，其时间复杂度均为。