关于SN、EbN0 、EsN0 的关系

关于S/N、Eb/N0 、Es/N0 的关系 一、从“数据比特”到“符号”再到“采样点”

探讨题目中SNR、Eb/N0 、Es/N0 的关系，必须要对“数据比特”到“符号”再到“采样点”这数据的三种形态有清楚的认知，明白各个参量在发送端处于什么样的位置/状态。

首先是数据比特（信息比特），就是我们想要传输的二进制数据 ，速率（信息速率）为 R b R_{b} Rb​

数据比特需要经过信道编码、多进制映射变成一个个 符号（信道符号），速率（符号速率）为 R s R_{s} Rs​

这些符号经过 （上）采样（采样速率往往是符号速率的整数倍）得到采样点，速率为采样速率 f s f_{s} fs​

下图为三种数据状态的关系

由图可知，三种数据状态存在一定的数学转换关系

（1）、数据比特 到 符号：
我们定义 变量 k k k 为：一个符号对应的数据比特的数量 。 即 k = R b R s k=frac{R_{b}}{R_{s}} k=Rs​Rb​​

如果数据比特到符号要经过码率为 R R R的信道编码，以及 M M M进制的调制，易得 k = R ⋅ l o g 2 M k=Rcdot log_{2}M k=R⋅log2​M
如：数据比特经过了码率为4/7的汉明码，以及4进制的QPSK调制，那么 k = 4 7 ⋅ l o g 2 4 = 8 7 k=frac{4}{7}cdot log_{2}4=frac{8}{7} k=74​⋅log2​4=78​

（2）、符号 到 采样点：
定义变量：sps（sample per symbol）为，每个 符号 对应的采样点数，或者说每个符号采几次样。 即 s p s = f s R s sps=frac{f_{s}}{R_{s}} sps=Rs​fs​​

则易得： f s R b = s p s k frac{f_{s}}{R_{b}}=frac{sps}{k} Rb​fs​​=ksps​

二、S/N、Eb/N0 、Es/N0 的关系

在模拟通信中SNR是一个衡量信噪比常用的指标，但在数字通信系统中，我们将传输的数据分割成一个个码元，用码元能量 E s E_{s} Es​，码元速率 R s R_{s} Rs​来描述一个离散的数据系统更为妥当。鉴于不同系统采用的编码方式以及调制方式不同，为了统一，在 比特级（比特能量 E b E_{b} Eb​，比特速率 R b R_{b} Rb​） 角度来分析信噪比更为“公平”。

（1）、S/N 到 Es/N0
根据定义S/N是信号功率与 E s ⋅ R s E_{s}cdot R_{s} Es​⋅Rs​ 噪声功率 N 0 ⋅ W N_{0}cdot W N0​⋅W之比,即
S N = E s ⋅ R s N 0 ⋅ W frac{S}{N}=frac{E_{s}cdot R_{s}}{N_{0}cdot W} NS​=N0​⋅WEs​⋅Rs​​ 注意：

（1） N 0 N_{0} N0​为高斯白噪声功率谱密度，这是相对于复信号来说的；对于实信号，功率谱密度为 N 0 / 2 N_{0}/2 N0​/2。（2） W W W为信号带宽，常常用 f s f_{s} fs​替代，（这是为什么？有知道的小伙伴可以在评论区留言）

那么；
S N = E s ⋅ R s N 0 ⋅ f s = E s N 0 ⋅ 1 s p s frac{S}{N}=frac{E_{s}cdot R_{s}}{N_{0}cdot f_{s}}=frac{E_{s}}{N_{0}}cdot frac{1}{sps} NS​=N0​⋅fs​Es​⋅Rs​​=N0​Es​​⋅sps1​

(2)、 Es/N0 到 Eb/N0
由于一个信号的功率S可以表示为
S = E s ⋅ R s = E b ⋅ R b S=E_{s}cdot R_{s}=E_{b}cdot R_{b} S=Es​⋅Rs​=Eb​⋅Rb​
由第一节中Rs与Rb的关系，则可以得到
E s E b = k frac{E_{s}}{E_{b}}=k Eb​Es​​=k
E s N 0 = E b N 0 ⋅ k frac{E_{s}}{N_{0}}=frac{E_{b}}{N_{0}}cdot k N0​Es​​=N0​Eb​​⋅k

则易得： S N = E b N 0 ⋅ k s p s frac{S}{N}=frac{E_{b}}{N_{0}} cdot frac{k}{sps} NS​=N0​Eb​​⋅spsk​

至此我们得到了S/N与Eb/N0的关系；

三、在仿真工作中如何应用？(以matlab为例)

仿真过程中一般画的都是Eb/N0(dB)为横轴的误码率曲线图，如图

这里的应用就是将Eb/N0(dB)转化为S/N在添加，再根据S/N添加高斯白噪声。
在matlab中添加高斯白噪声的方式有两种：
无论哪种都得先将Eb/N0转化为S/N：
由于 S N = E b N 0 ⋅ k s p s frac{S}{N}=frac{E_{b}}{N_{0}} cdot frac{k}{sps} NS​=N0​Eb​​⋅spsk​所以，
S N ( d B ) = E b N 0 ( d B ) + 10 ⋅ l o g 10 k s p s frac{S}{N} (dB)=frac{E_{b}}{N_{0}}(dB)+10cdot log_{10} frac{k}{sps} NS​(dB)=N0​Eb​​(dB)+10⋅log10​spsk​

matlab实现

snrdB=ebn0dB+10*log10(k/sps);

1 matlab自带awgn()函数
具体用法我就不详细说了，大家 用help awgn命令看看就好

signal_addnoise=awgn(your_signal,snrdB,'measured');

注意：这里的yoursignal 是采样过后的信号，下同。

2 用随机序列模拟
由S/N （dB）的定义 s n r ( d B ) = 10 ⋅ l g S N snr(dB)=10cdot lg frac{S}{N} snr(dB)=10⋅lgNS​易得：
N = σ 2 = S × 1 0 − S N ( d B ) 10 N=sigma ^{2}=S×10^{-frac{frac{S}{N} (dB)}{10}} N=σ2=S×10−10NS​(dB)​

N=(sum(yoursignal.^2)/length(yoursignal)) *  10^(-snrdB/10); 

S是采样点的平均能量,N是采样点平均噪声能量，求得N以后，可以按照以下代码添加噪声

signal_addnoise=your_signal+randn(size(your_signal)).*sqrt(N/2)+1i*randn(size(your_signal)).*sqrt(N/2);

注意，这里我都是默认信号为复信号，如果是实信号，实现方式又是怎样呢？

附加：实信号推导

实信号的话，推导应该从哪里开始变化的呢？
我其实已经在文章中写了，在第二节，第一小节中，实信号功率谱密度应该把 N 0 N_0 N0​替换为 N 0 2 frac{N_0}{2} 2N0​​,那么
S N = E s N 0 ⋅ 2 s p s = E b N 0 ⋅ 2 ⋅ k s p s frac{S}{N}=frac{E_{s}}{N_{0}}cdot frac{2}{sps}=frac{E_{b}}{N_{0}}cdot frac{2cdot k}{sps} NS​=N0​Es​​⋅sps2​=N0​Eb​​⋅sps2⋅k​
所以，
S N ( d B ) = E b N 0 ( d B ) + 10 ⋅ l o g 10 2 ⋅ k s p s frac{S}{N} (dB)=frac{E_{b}}{N_{0}}(dB)+10cdot log_{10} frac{2 cdot k}{sps} NS​(dB)=N0​Eb​​(dB)+10⋅log10​sps2⋅k​

snrdB=ebn0dB+10*log10(2*k/sps);

1 matlab 自带awgn函数

signal_addnoise=awgn(your_signal,snrdB,'measured');

2 用随机序列模拟
由S/N （dB）的定义 s n r ( d B ) = 10 ⋅ l g S N snr(dB)=10cdot lg frac{S}{N} snr(dB)=10⋅lgNS​易得：
N = σ 2 = S × 1 0 − S N ( d B ) 10 N=sigma ^{2}=S×10^{-frac{frac{S}{N} (dB)}{10}} N=σ2=S×10−10NS​(dB)​

N=(sum(yoursignal.^2)/length(yoursignal)) *  10^(-snrdB/10); 

S是采样点的平均能量,N是采样点平均噪声能量，求得N以后，可以按照以下代码添加噪声

signal_addnoise=your_signal+randn(size(your_signal)).*sqrt(N);