Java - 二叉树

Java - 二叉树 1.树型结构（了解） 1.1概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m)又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2概念（重要）

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为6
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为6
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4(最大的深度才是树的高度)

树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：

非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G…等节点为分支结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.3树的表示形式（了解）

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。最常用的是孩子兄弟表示法和孩子双亲表示法。
以下位孩子兄弟表示法的简单介绍：

class Node {
   int value; //树中存储的数据
   NodefirstChild; //第一个孩子引用
   Node nextBrother; //下一个兄弟引用
}

1.4树的应用

文件系统管理（目录和文件）

2.二叉树（重点） 2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
1.或者为空
2.或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
从上图可以看出：
1.二叉树不存在度大于2的结点
2.二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 两种特殊的二叉树

1.满二叉树:一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1，则它就是满二叉树。
2.完全二叉树:完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3 二叉树的性质

1.若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) (i>0)个结点
2.若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k-1(k>=0)
3.对任何一棵二叉树,如果其叶结点个数为 n0,度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4.具有n个结点的完全二叉树的深度k为log2(n+1)上取整
5.对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点若2i+11.某二叉树共有 399个结点，其中有 199个度为 2的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（） A不存在这样的二叉树 B 200 C 198 D 199 2.在具有 2n个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（） A n B n+1 C n-1 D n/2 3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（） A 383 B 384 C 385 D 386 4.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ ） A 11 B 10 C 8 D 12 答案： 1.B 2.A 3.B 4.B