Heap —— Priority Queue 【堆优先队列】

Heap —— Priority Queue 【堆优先队列】,第1张

Heap —— Priority Queue 【堆 / 优先队列】

文章目录

前言 - 为堆的学习做准备

二叉树的顺序存储

存储方式下标关系 堆 【heap】

概念 *** 作-向下调整

实战 - 将一组 记录完全二叉树数据 的 数组 转换成 大根堆。

向下调整 - 结论 问题

1、如何找到最后一棵子树2、如何将所有树的调整成大根堆 【遍历 每棵 树的 根结点,因为向下调整需要知道根结点的】每棵树的调整结束的位置,如何判定?如何构造一个 向下调整的函数 - 重点

附图 模拟实现 堆 - 程序框架

模拟实现 堆 的 时间复杂度 堆的应用 - 优先级队列

概念直接调用 优先级队列,系统默认生成是 小根堆。优先级队列 - 入队 和 出队 过程

大根堆情况 (向上调整)

模拟实现 堆 - offer 功能 - 入队模拟实现 堆 - poll 功能 - 出队

分析代码如下 模拟实现 堆 - peek 功能 - 返回队头元素 模拟实现 堆 【总程序】堆的其他应用-TopK 问题

思路一 :整体排序思路二 : 利用堆来实现 【这还不是Topk 问题,这里只是打底】思路二 :Topk思路

总结:在做实战题之前,我们需要先学习这篇文章[Java 对象 的 比较](https://blog.csdn.net/DarkAndGrey/article/details/122778354)

模拟topK问题【求一组数据的前k个最小值】,并解决它[实战题 - LeetCode - 373. 查找和最小的 K 对数字](https://leetcode-cn.com/problems/find-k-pairs-with-smallest-sums/)题目分析解题 思维代码如下 堆排序

总结

实战 - 堆排序 本文结束

前言 - 为堆的学习做准备 二叉树的顺序存储

前面所讲的二叉树,什么孩子表示法呀,还有 孩子双亲表示法啊,都是链式存储。
而现在讲的是:顺序存储一棵二叉树。


存储方式

使用数组保存二叉树结构,方式即将二叉树用层序遍历的方式放入数组中。
一般只适合表示完全二叉树,因为 非完全二叉树会有空间的浪费。【也就是说:如果使用顺序存储来存储一棵二叉树,那么,最好是完全二叉树,这样就不会有太多的空间被浪费】
这种方式的主要用法就是堆的表示。


下标关系

已知双亲(parent)的下标,则:
左孩子(left)下标 = 2 * parent + 1;
右孩子(right)下标 = 2 * parent + 2;
已知孩子(不区分左右)(child)下标,则:
双亲(parent)下标 = (child - 1)/ 2;
就是我在 二叉树那篇 文章 所讲的 二叉树的第五个性质


堆 【heap】 概念

1、堆在逻辑上是一棵完全二叉树
2、堆在物理上是保存在数组中。
3、满足任意节点的值 都大于 自身所在树中根结点的值,叫做小堆,或者小根堆,或者是最小堆。【每棵二叉树的根结点 都小于 左右孩子结点 - 小堆 / 小根堆 / 最小堆】

4. 满足任意节点的值 都小于 自身所在树中根结点的值,叫做大堆,或者大根堆,或者是最大堆。【每棵二叉树的根结点 都大于 左右孩子结点 -大堆 / 大根堆 / 最大堆】

5. 堆的基本作用是,快速找集合中的最值
无论是 大根堆还是小根堆, 它们的 最值【最大值 和 最小值】都处于 二叉树的 根结点处。要想获得 最值,直接 peek 方法,就能获得 树 的 根结点值 / 最值。
这也是为什么说: 堆 是 优先级队列。
所谓优先级队列:存入一个数据,是按照某种特殊规定来存储的。
而这种规则就是刚刚讲的 大小根堆的特性。将最值放在最容易获取的位置。
也就是说: 优先级队列 其 底层 是 一棵 完全二叉树 / 堆。


*** 作-向下调整

前提:左右子树必须已经是一个 堆 / 逻辑上是一棵完全二叉树。


实战 - 将一组 记录完全二叉树数据 的 数组 转换成 大根堆。


向下调整 - 结论

1. 调整是从最后一棵子树触发的
2、每棵子树的调整都是向下调整。
3、之所以称为向下调整,是因为 在 调整的过程中,根结点 是 跟 左右子树 进行交换,那么根结点是不是就下来了。所以才称为 向下调整【根结点的值,向下移动 / 与左右子树的值进行交换】。


问题 1、如何找到最后一棵子树

因为 堆 在 逻辑 上 是 一 棵 完全二叉树,物理上 其数据 是由数组保存的。
两者的共同点:完全二叉树的编号 与 数组下标 一致。
也就是说:我们只要获取数组的长度 len,那么 len -1 ,不就是 最后一棵子树的下标。
此时,我们是不是得到了一个 孩子结点 的 下标【child】?
根据 下标关系,我们就可以通过 孩子结点的下标,来获取 双亲节点 / 父 节点 的下标
parent == (child - 1)/ 2 》》parent == ((len - 1) - 1)/ 2


2、如何将所有树的调整成大根堆 【遍历 每棵 树的 根结点,因为向下调整需要知道根结点的】

很简单,既然我们通过 数组的长度,间接获取到了最后一棵子树的根结点【parent】,那么,我们直接 parent - - ,就可以获取所有子树,包括整棵树的根结点。

通过 双亲节点 parent 和 下标关系,我们就可以获取 其 左右子树的下标。
【 左子树:parent * 2 + 1;右子树:parent * 2 + 2】


每棵树的调整结束的位置,如何判定?

得出结论:其实每棵树的调整结束位置 都是一样的 :不能超过 数组长度。【细品】


如何构造一个 向下调整的函数 - 重点
    // 向下调整
    public void shiftDown(int parent,int len){
        int child = parent * 2 + 1;// 左孩子
        // 能进入该循环,说明 这个 parent 只少有一个孩子。
        while(child < len){
            // 获取 左右孩子的最大值
            if(child+1 < len &&this.elements[child] < this.elements[child+1]){
                child++;
            }
            // 判断 孩子最大值 是否 比  双亲节点 val 值 大
            // 如果大,就需要进行交换
            if(this.elements[child] > this.elements[parent]){
                int tmp = elements[child];
                elements[child] = elements[parent];
                elements[parent] = tmp;
                
                // 见附图
                parent = child;
                child = parent * 2 + 1;
            }else{
                break;
            }
        }
    }

附图


模拟实现 堆 - 程序框架
import java.util.Arrays;

public class Heap {
    public int[] elements;// 底层数组
    public int usedSize;// 有效元素个数
    // 构造方法
    public Heap(int[] elements){
        // 数组初始化容量
        this.elements = new int[10];
    }
     // 创建堆,获取 输入数组 的 数据
    public void creationHeap(int[] array){
        this.usedSize += array.length;
        if(isFull()){
            this.elements = Arrays.copyOf(this.elements,this.elements.length*2);
        }
        this.elements = Arrays.copyOf(array,array.length);

        for(int parent = (this.usedSize -1 - 1)/2 ;parent >= 0;parent--){
            // 向下调整
            shiftDown(parent,this.usedSize);
        }
    }
    // 向下调整
    public void shiftDown(int parent,int len){
        int child = parent * 2 + 1;// 左孩子
        // 能进入该循环,说明 这个 parent 只少有一个孩子。
        while(child < len){
            // 获取 左右孩子的最大值
            if(child+1 < len &&this.elements[child] < this.elements[child+1]){
                child++;
            }
            // 判断 孩子最大值 是否 比  双亲节点 val 值 大
            // 如果大,就需要进行交换
            if(this.elements[child] > this.elements[parent]){
                int tmp = elements[child];
                elements[child] = elements[parent];
                elements[parent] = tmp;

                // 见附图
                parent = child;
                child = parent * 2 + 1;
            }else{
                break;
            }
        }
    }
}


模拟实现 堆 的 时间复杂度


堆的应用 - 优先级队列 概念

在很多应用中,我们通常需要按照优先级情况 对待处理对象 进行处理,比如说首先处理优先级最高的对象,然后处理 次高的对象。
举个最简单的例子就是:


直接调用 优先级队列,系统默认生成是 小根堆。

下面我们就来实践。首先创建一个 优先级队列 / 堆。

按住 Ctrl ,左键点击框选部分,进入该类的内部。
按一下 alt + 7,就会d出功能菜单,如下图所示:【现在先关注队列的功能】

利用 offer 来给 优先级队列 / 堆 提供数据。再来通过 peek 方法 来观察 队头元素 / 堆的根结点,如果为 最小值,那么说 优先级队列默认是小根堆,反之,就是大根堆。

所谓优先级队列:不管是出队,还是入队。都得保证当前是大根堆 或者 小根堆。


优先级队列 - 入队 和 出队 过程 大根堆情况 (向上调整)

1、 首先按尾插方式放入数组
2、 比较其 和 其双亲的值 的 大小,如果双亲的值大,则满足堆的性质,插入结束
3、 否则,交换其和双亲位置的值,重新进行 2、3 步骤
4.、直到根结点

我们将其过程称为 向上调整。
向上调整:只需要一个参数【需要调整的 child 下标】


模拟实现 堆 - offer 功能 - 入队
    // 入队 *** 作
    public void offer(int val){
        if(isFull()){
            // 扩容
            this.elements = Arrays.copyOf(this.elements,this.elements.length * 2);
        }
        elements[usedSize++] = val;
        //usedSize++;
        shiftUp(usedSize-1);// 有效元素个数 是 usedSize,最后一个元素的下标是 usedSize -1
    }
    private void shiftUp(int child){
        int parent = (child - 1)/2;
        while(child > 0){
            if(this.elements[child] > this.elements[parent]){
                int tmp = this.elements[child];
                this.elements[child] = this.elements[parent];
                this.elements[parent] = tmp;
                child = parent;
                parent = (child - 1) / 2;
            }else{
                break;
            }
        }
    }
    public boolean isFull(){
        return this.usedSize >= this.elements.length;
    }


模拟实现 堆 - poll 功能 - 出队 分析


代码如下
    // 出队 *** 作
    public int poll(){
        if(isEmpty()){
            throw new RuntimeException("优先级队列为空!");
        }
        int tmp = this.elements[0];
        this.elements[0] = this.elements[this.usedSize -1];
        this.elements[this.usedSize - 1] = tmp;
        this.usedSize--;
        shiftDown(0,usedSize);
        return tmp;
    }

    // 判断队列 空不空
    public boolean isEmpty(){
        return this.usedSize == 0;
    }


模拟实现 堆 - peek 功能 - 返回队头元素
    // 判断队列 空不空
    public boolean isEmpty(){
        return this.usedSize == 0;
    }
    public int peek(){
        if(isEmpty()){
            throw new RuntimeException("优先级队列为空!");
        }
        return this.elements[0];
    }


模拟实现 堆 【总程序】
import java.util.Arrays;

public class Heap {
    public int[] elements;// 底层数组
    public int usedSize;// 有效元素个数
    // 构造方法
    public Heap(){
        // 数组初始化容量
        this.elements = new int[10];
    }
     // 创建堆,获取 输入数组 的 数据
    public void creationHeap(int[] array){
        this.usedSize += array.length;
        if(isFull()){
            this.elements = Arrays.copyOf(this.elements,this.elements.length*2);
        }
        this.elements = Arrays.copyOf(array,array.length);

        for(int parent = (this.usedSize -1 - 1)/2 ;parent >= 0;parent--){
            // 向下调整
            shiftDown(parent,this.usedSize);
        }
    }
    // 向下调整
    public void shiftDown(int parent,int len){
        int child = parent * 2 + 1;// 左孩子
        // 能进入该循环,说明 这个 parent 只少有一个孩子。
        while(child < len){
            // 获取 左右孩子的最大值
            if(child+1 < len &&this.elements[child] < this.elements[child+1]){
                child++;
            }
            // 判断 孩子最大值 是否 比  双亲节点 val 值 大
            // 如果大,就需要进行交换
            if(this.elements[child] > this.elements[parent]){
                int tmp = elements[child];
                elements[child] = elements[parent];
                elements[parent] = tmp;

                // 见附图
                parent = child;
                child = parent * 2 + 1;
            }else{
                break;
            }
        }
    }

    // 入队 *** 作
    public void offer(int val){
        if(isFull()){
            // 扩容
            this.elements = Arrays.copyOf(this.elements,this.elements.length * 2);
        }
        elements[usedSize++] = val;
        //usedSize++;
        shiftUp(usedSize-1);// 有效元素个数 是 usedSize,最后一个元素的下标是 usedSize -1
    }
    private void shiftUp(int child){
        int parent = (child - 1)/2;
        while(child > 0){
            if(this.elements[child] > this.elements[parent]){
                int tmp = this.elements[child];
                this.elements[child] = this.elements[parent];
                this.elements[parent] = tmp;
                child = parent;
                parent = (child - 1) / 2;
            }else{
                break;
            }
        }
    }
    // 判断队列满没满
    public boolean isFull(){
        return this.usedSize >= this.elements.length;
    }

    // 出队 *** 作
    public int poll(){
        if(isEmpty()){
            throw new RuntimeException("优先级队列为空!");
        }
        int tmp = this.elements[0];
        this.elements[0] = this.elements[this.usedSize -1];
        this.elements[this.usedSize - 1] = tmp;
        this.usedSize--;
        shiftDown(0,usedSize);
        return tmp;
    }

    // 判断队列 空不空
    public boolean isEmpty(){
        return this.usedSize == 0;
    }
    public int peek(){
        if(isEmpty()){
            throw new RuntimeException("优先级队列为空!");
        }
        return this.elements[0];
    }

}


堆的其他应用-TopK 问题

给我们一百万个数据,让你找到前10个最大的元素。
目前来说:我们知道堆排序时间复杂度 最快: log2 N * N;最慢: N


思路一 :整体排序

对整体进行排序,输出前10个最大的元素。
对整体排序这不是一个非常好的思路!
99%的人都能想出来:直接对底层数组进行排序,输出前10个最大的元素。
这样做,出这题的意义就不大。


思路二 : 利用堆来实现 【这还不是Topk 问题,这里只是打底】

用堆来解决。
思路:将数据建成大根堆。
假设,建好的大根堆如下图所示:

假设,我们要在这个堆上找到 前三个 最大值,该怎么做?


思路二 :Topk思路

还是跟思路二一样,去求一组数据的前三个最大值。


总结:

1、如果求前K个最大的元素,要建一个小根堆。
2、如果求 前K个最小的元素,要建一个大根堆。
3、如果是求第k大的元素,建一个小堆,小根堆 堆顶的元素就是第k大的元素。
4、如果是求第k小的元素,建一个大堆,大根堆 堆顶的元素就是第k小的元素。


在做实战题之前,我们需要先学习这篇文章Java 对象 的 比较

模拟topK问题【求一组数据的前k个最小值】,并解决它
import java.util.Arrays;
import java.util.Comparator;
import java.util.PriorityQueue;

public class TopK {
    
    public static int[] topK(int[] array,int k){
        // 创建一个大小为 k 的 大根堆
        PriorityQueue maxHeap = new PriorityQueue<>(k, new Comparator() {
            @Override
            public int compare(Integer o1, Integer o2) {
                return o2 - o1;
            }
        });
        for(int i = 0;i  array[i]){
                    maxHeap.poll();// 先将堆顶元素d出,优先级队列会自行调整一下
                    maxHeap.offer(array[i]);// 后面入队也是一样,也会自行调整一下
                }
            }
        }
        // 此时 maxHeap 堆里,存储的是 前 k  个最小的 值
        // 现在要做的是 将其 转换称是数组,返回
        int[] tmp =  new int[k];
        for(int i = 0;i < k;i++){
            tmp[i] = maxHeap.poll();
        }
        return tmp;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] array = {18,21,8,10,34,12};
        int[] tmp =topK(array,3);// 求前三个最小值
        System.out.println(Arrays.toString(tmp));
    }
}


实战题 - LeetCode - 373. 查找和最小的 K 对数字


题目分析

给了我们两个升序(元素顺序:从小到大)数组 num1 和 num2,让我们分别从 num1 和 num2 中,各自选取 一个 数据,让其 组成 k 个 两个数之和最小 的 组合。
选取的数可以重复利用。


解题 思维


代码如下
class Solution {
    public List> kSmallestPairs(int[] nums1, int[] nums2, int k) {
    // 创建 一个大小为 k 的 大根堆
        PriorityQueue> maxHeap = new PriorityQueue<>(k,new Comparator>(){
            @Override
            public int compare(List o1,List o2){
                return ((o2.get(0) + o2.get(1)) - (o1.get(0) + o1.get(1)));
            }
        }); 
        // 我们不需要将数组 num1 和 num2 遍历完
        // 因为 这两个数组是升序,前k个最小数对,一定是 有 num1 和 num2 前k 个元素 组成的。
        for(int i = 0;i < Math.min(nums1.length,k);i++){
            for(int j = 0;j < Math.min(nums2.length,k);j++){
                  // 先放入 k 个 数对
                if(maxHeap.size()< k){
                    List tmpList = new ArrayList<>();
                    tmpList.add(nums1[i]);
                    tmpList.add(nums2[j]);
                    maxHeap.offer(tmpList);
                }else{// 从 k +1 个 数对,开始判断
                    int top = maxHeap.peek().get(0) +maxHeap.peek().get(1);
                    if(top >(nums1[i] + nums2[j])){
                        // d出
                        maxHeap.poll();
                        List tmpList = new ArrayList<>();
                        tmpList.add(nums1[i]);
                        tmpList.add(nums2[j]);
                        
                        // 入队
                        maxHeap.offer(tmpList);
                    }
                }
            }
        }
        // 为返回值做准备
        List> result = new ArrayList<>();
        // 循环判断条件,需要加上 一个判断 堆是不是为空
        // 根据示例三:两个数组元素 可能存在 不足以构成 k 个最小数对 的情况
        for(int i = 0; i < k && !maxHeap.isEmpty();i++ ){
            result.add(maxHeap.poll());
        }
        return result;
    }
}


堆排序


总结

1、将数据调整为 大根堆、
2、0 下标 与 最后一个未排序的元素进行交换即可。
3、循环上述两个 *** 作,直至 最后一个未排序的元素 下标为 0.。


实战 - 堆排序
    public void heapTraversal(){
        // 最后一个未排序元素的下标
        int last = this.elements.length - 1;
        while(last > 0){
            int tmp = this.elements[0];
            this.elements[0] = this.elements[last];
            this.elements[last] = tmp;
            shiftDown(0,last);
            last--;
        }
    }
        // 向下调整
    public void shiftDown(int parent,int len){
        int child = parent * 2 + 1;// 左孩子
        // 能进入该循环,说明 这个 parent 只少有一个孩子。
        while(child < len){
            // 获取 左右孩子的最大值
            if(child+1 < len &&this.elements[child] < this.elements[child+1]){
                child++;
            }
            // 判断 孩子最大值 是否 比  双亲节点 val 值 大
            // 如果大,就需要进行交换
            if(this.elements[child] > this.elements[parent]){
                int tmp = elements[child];
                elements[child] = elements[parent];
                elements[parent] = tmp;

                // 见附图
                parent = child;
                child = parent * 2 + 1;
            }else{
                break;
            }
        }
    }

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