泰勒级数理解

泰勒级数理解 关于泰勒级数的一些理解

对于泰勒级数，其实大部分时候都不是很了解它其中的含义，怎么来的，其实大部分人都不是很清楚。（包括作者 ）

泰勒级数最多应用其实在计算机科学上，因为对于很多函数，我们不可能直接带值求解，比如 f ( x ) = e x f(x)=e^x f(x)=ex,比如我带个2进去，你最多只能求得它的近似值，而且计算量还很大，而且还不是很精确，那么有人就想了，能不能用一个近似的函数，或者换句话说尽可能的去逼近这个函数的一个带有x的多项式呢，因为这样的话，比如说一个多项式 f ( x ) = x + x 2 + x 3 f(x)=x+x^2+x^3 f(x)=x+x2+x3你带一个2进去就可以算得一个比较精确的值14对吧。怎么去逼近呢。
先把公式摆出来再解释。

f ( x ) = ∑ i = 0 ∞ f ′ ( i ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) i i ! f(x)=sum_{i=0}^{infty }frac{{f'^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i}}{i!} f(x)=i=0∑∞​i!f′(i)(x0​)(x−x0​)i​

我们先对分子着部分进行解释，可以看到这里是关于高阶求导的一个式子，其实我们可以看到，当i等于0的时候，式子就变成了 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0​),也就是可以这么理解，这个函数其实是从原函数 x 0 x_0 x0​时开始逼近，，那么我们就以 x 0 x_0 x0​为起点看一看怎么逼近的，首先我们得设一个 Δ x Delta x Δx,这个 Δ x → 0 Delta x rightarrow 0 Δx→0那么我们就可以通过导函数算出来 f ( x 0 + Δ x ) = f ′ ( x 0 ) ∗ ( Δ x ) + f ( x 0 ) f(x_0+Delta x)=f'(x_0)*(Delta x)+f(x_0) f(x0​+Δx)=f′(x0​)∗(Δx)+f(x0​)因为 Δ x → 0 Delta x rightarrow 0 Δx→0，根据 ε − δ varepsilon-delta ε−δ极限的定义，这一等式显然成立，那么实际上知道了 f ( x + Δ x ) f(x+Delta x) f(x+Δx)那么实际上也可以通过同样的道理求出 f ( x + 2 Δ x ) f(x+2Delta x) f(x+2Δx),然后自己尝试着只用 x 0 和 x x_0和x x0​和x进行表示，那么我们就可以得到上面分子的部分，但这里会存在误差，这也是接下来要讲的。

观察这个公式，我们可以看到，当这个式子展开的时候，其实这个式子正走向越来越高阶的导数函数(趋向于高阶无穷小)，（不太严谨的说法），这其实稍微理解一下也可以知道，对于一个有规律的函数，就例如幂函数， s i n x ， c o s x sinx，cosx sinx，cosx其实都可以表达成类似这样的形式。

f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + . . . + a N x N f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...+a_Nx^N f(x)=a0​+a1​x+a2​x2+a3​x3+...+aN​xN

那我们对于这个函数进行一个求导。

进行连续的几次求导

图片来源（戳这里）

可以发现和原函数相比是不是多出了 i ！ i！ i！这个数，那么我们就要除去。

那这不就可以高高兴兴的去求 f ( x ) = e x f(x)=e^x f(x)=ex

很明显这个无论是几阶导数都不就是 f ′ n = e x f'^{n}=e^x f′n=ex

然后让上式的 x 0 = 0 x_0=0 x0​=0，把泰勒公式往里套，那不就是

f ( x ) = ∑ i = 0 ∞ x i i ! f(x)=sum_{i=0}^{infty }frac{x^i}{i!} f(x)=i=0∑∞​i!xi​

展开后的式子大家就很熟悉了。

f ( x ) = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! . . . + x N N ! f(x)=1+x+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}...+frac{x^N}{N!} f(x)=1+x+2!x2​+3!x3​...+N!xN​

很明显（bushi） 这里可以看到是从x=0开始逼近的（理论上，看到图片我也尴尬了）。