什么是商集

商集是集合论的基本概念之一，指由集合和该集合上的等价关系导出的集合。设～是非空集合A的一个等价关系，若把以A关于～的全部等价类作为元素组成一个新的集合B，则把集合B叫做A关于～的商集合，简称为商集，记作B=A/～。

利用选择公理，在S/R的每个元素Am中取出一个元素am∈Am，称为等价类Am的代表，而{am}m∈M称为商集的代表集。集S对它上面的不同的等价关系R和G有不同的商集。

扩展资料：

假定已定义整数集Z，直观上取a∈Z,b∈Z，则有a/b可定义为有理数。但新定义的数需符合整数的运算性质才可称为数系的一次扩充。

首要问题在于形式上不同的两个a/b相对于运算可能是相同的，例如2/4=1/2。一个朴素的处理方式是宣称分数可以约分，并称分子分母互质的为最简分数，满足最简分数形式的才是有理数。这一过程的数学处理正是商集的一个例子。

A={a,b,c,d,e,f}={某大学宿舍的大学生}；

R是A上的同乡关系[不难证明同乡关系是等价关系]，

若a,b是北京人，c是广东人，d,e,f南京人，

则R={(a,a)(a,b)(b,a)(b,b)(c,c)(d,d)(d,e)(d,f)(e,d)(e,e)(e,f)(f,d)(f,e)(f,f)}

A中各元素关于R的等价类分别是：

[a]R=[b]R={a,b}

[c]R={c}

[d]R=[e]R=[f]R={d,e,f}

A关于R的商集A/R={[a]R,[c]R,[d]R}={{a,b},{c},{d,e,f}}

参考资料：离散数学

商集与划分有什么关系？商集是所有的等价类组成的集合。根据等价关系R的定义，A的任意两个子集如果元素个数相同，这两个子集就有关系R。所以等价类是：

含有0个元素的子集有1个，等价类是[Φ]={Φ}；

含有1个元素的子集有4个，等价类是[{1}]={1,2,3,4}=A；

含有2个元素的子集有6个，等价类是[{1,2}]={{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}}；

含有3个元素的子集有4个，等价类是[{1,2,3}]={1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}}；

含有4个元素的子集有1个，等价类是[{1,2,3,4}]={{1,2,3,4}}={A}.

商集P(A)/R={[Φ]，[{1}]，[{1,2}]，[{1,2,3}]，[{1,2,3,4}]，还可以把上面每一个等价类对应的集合的形式代入，展开写