什么是实数,什么是虚数???

1、实数（real number）是有理数和无理数的总称。

实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母R表示。R表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。

所有实数的集合则可称为实数系（real number system）或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。

2、虚数

虚数是指实数以外的复数，其中实部为0的虚数称为纯虚数。

在数学中，虚数就是形如a+b*i的数，其中a,b是实数，且b≠0,i² = - 1。虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数a+b*i的实部a可对应平面上的横轴，虚部b与对应平面上的纵轴，这样虚数a+b*i可与平面内的点(a,b)对应。

可以将虚数bi添加到实数a以形成形式a + bi的复数，其中实数a和b分别被称为复数的实部和虚部。一些作者使用术语纯虚数来表示所谓的虚数，虚数表示具有非零虚部的任何复数。

扩展资料：

1777年瑞士数学家欧拉(Euler，或译为欧勒)开始使用符号i表示虚数的单位。而后人将虚数和实数有机地结合起来,写成a+bi形式 (a、b为实数，a等于0时叫纯虚数，ab都不等于0时叫复数，b等于0时就是实数)。通常，我们用符号C来表示复数集，用符号R来表示实数集。

参考资料来源：百度百科-虚数

参考资料来源：百度百科-实数

一、性质不同

1、实数：实数是有理数和无理数的总称。

2、虚数：虚数就是指数幂是负数的数。

二、包括内容不同

1、实数：实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，实数集通常用黑正体字母 R 表示，实数是不可数的。

2、虚数：i，2i ，-2i ，3.14i等，总之非零实属a，ai就是虚数。

特点：

1、实数和虚数共同构成复数，实数集R对加、减、乘、除(除数不为零)四则运算具有封闭性。

2、因为实数、虚数都是复数，虚数也可以理解为虚部“b”不是0（带着“i”，并且“i”的系数不是0）的复数。

3、不是实数的复数，即使是纯虚数，也不能比较大小。

一、定义不同

1、实数

实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。

在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

2、虚数

在数学里，将偶指数幂是负数的数定义为纯虚数。所有的虚数都是复数。定义为i²=-1。但是虚数是没有算术根这一说的，所以±√(-1)=±i。对于z=a+bi,也可以表示为e的iA次方的形式，其中e是常数，i为虚数单位，A为虚数的幅角，即可表示为z=cosA+isinA。

实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数，起名为复数。虚数没有正负可言。不是实数的复数，即使是纯虚数，也不能比较大小。

二、起源不同

1、实数

在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们认识到有理数在几何上不能满足需要，但毕达哥拉斯本身并不承认无理数的存在。 直到17世纪，实数才在欧洲被广泛接受。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。

2、虚数

虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。

人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题。像x²+1=0这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解。

12世纪的印度大数学家婆什伽罗都认为这个方程是没有解的。他认为正数的平方是正数，负数的平方也是正数，因此，一个正数的平方根是两重的；一个正数和一个负数，负数没有平方根，因此负数不是平方数。这等于不承认方程的负数平方根的存在。

三、基本运算不同

1、实数

实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。

2、虚数

一个数的ni次方为：

xni = cos(ln(xn)) + i sin(ln(xn)).

一个数的ni次方根为：

x1/ni= cos(ln(x1/n)) - i sin(ln((x1/n)).

以i为底的对数为：

log_i(x) = 2 ln(x)/ iπ.

i的余弦是一个实数：

cos(i) = cosh(1) = (e + 1/e)/2 = (e² + 1) /2e = 1.54308064.

i的正弦是虚数：

sin(i) = sinh(1) i =[(e - 1/e)/ 2]i = 1.17520119 i.

i,e,π,0和1的奇妙关系：

eiπ+1=0

ii=e-π/2

参考资料来源：百度百科-实数

参考资料来源：百度百科-虚数

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