插板法指的是什么呢?

插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。

注意插板法的三要件：相同元素分配；所分组是不相同的；每组至少分到一个。

插板法的例题：

（1）将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？A.21 B.28 C.32 D.48

解析：8个球中间有7个空，分到3个盒子需要插两块板，插板法C（7 2）=21种，选A。

对于不满足第三个条件即“每组至少一个”的情况，要先转化为标准形式，再使用插板法。

（2）将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放两个球，一共有多少种方法？A.3 B.6 C.12 D.21

解析：先往每个盒子里提前放一个，还剩下5个；转化为5个相同的球分到3个不同的盒子，每个盒子至少一个，插板法C，6种，选B

（3）将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，一共有多少种方法？A.15 B.28 C.36 D.45

解析：此时因为每个盒子可以分0个，先让每个盒子提供一个球给我们、分的时候再还回去；转化为11个相同的球分到3个不同的盒子，每个盒子至少一个，插板法 C（10 2）=45种，选D

此时也可以根据八个球之间9个空，两个板子插不同的空有C（9 2）=36种、插同一个空有C（9 1）=9种，36+9=45种；对比三种不同的考法，其实它们之间是存在密切联系的。

8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放0个球，有C（10 2）种；

8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，有C（7 2）种；

8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放两个球，有C（4 2）种；

插板法公式理解思路为：将 n 个相同的元素排成一行， n 个元素之间出现了（ n-1 ）个空档，现在我们用（ m-1 ）个 “档板 ”插入（ n-1 ）个空档中，就把 n 个元素隔成有序的 m 份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是 1 个、2 个、 3 个、 4 个、 ….）。

这样不同的插入办法就对应着 n 个相同的元素分到 m 组的一种分法，这种借助于这样的虚拟 “档板 ”分配元素的方法称之为插板法。

例题：共有 10 完全相同的球分到 7 个班里，每个班至少要分到一个球，问有几种不同分法。

解析：我们可以将 10 个相同的球排成一行， 10 个球之间出现了 9 个空隙，现在我们用 6 个档板 ”插入这 9个空隙中，就 “把 10 个球隔成有序的 7 份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球，这样，借助于虚拟 “档板 ”就可以把 10 个球分到了 7 个班中。

插板法基本题型的变形

（1）变形1：有 n 个相同的元素，要求分到 m 组中，问有多少种不同的分法。

解题思路：这种问题是允许有些组中分到的元素为 “0”，也就是组中可以为空的。对于这样的题，我们就首先将每组都填上 1 个，这样所要元素总数就 m 个，问题也就是转变成将（ n+m ）个元素分到 m 组，并且每组至少分到一个的问题，也就可以用插板法来解决。

例题：有 8 个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（ ）种不同方法 。

解答：题目允许盒子有空，则需要每个组添加 1 个，则球的总数为 8+3 ×1=11，此题就有 C（10 ，2） =45（种）分法了。

插板法是排列组合里用到的方法，一般用来解决几个相同元素分组的办法。插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。

应用插板法必须满足三个条件：

1、这n个元素必须互不相异。

2、所分成的每一组至少分得一个元素。

3、分成的组别彼此相异。

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