数学是什么

数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。

数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述、推导的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。

从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。

数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题。从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。所有的数学对象本质上都是人为定义的，它们并不存在于自然界，而只存在于人类的思维与概念之中。

因而，数学命题的正确性，无法像物理、化学等以研究自然现象为目标的自然科学那样，能够借助于可以重复的实验、观察或测量来检验，而是直接利用严谨的逻辑推理加以证明。一旦通过逻辑推理证明了结论，那么这个结论也就是正确的。

数学的公理化方法实质上就是逻辑学方法在数学中的直接应用。在公理系统中，所有命题与命题之间都是由严谨的逻辑性联系起来的。

从不加定义而直接采用的原始概念出发，通过逻辑定义的手段逐步地建立起其它的派生概念；由不加证明而直接采用作为前提的公理出发，借助于逻辑演绎手段而逐步得出进一步的结论，即定理；然后再将所有概念和定理组成一个具有内在逻辑联系的整体，即构成了公理系统。

数学的定义是关于空间形式与数量关系的科学，它的基本要素是：逻辑和直观、分析和构作、一般性和个别性。

事实上，随着数学的发展，人们对数学的认识也在发生着变化，古希腊的著名博学者Proclus是这样评论数学的：数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求。后来的维特根斯坦则认为数学是发明，图灵在与之争论时认为数学是发现，在今天，我们认为数学也许既是发明也是发现。

数学的发展分成若干个阶段的话，大致可以分为三个时期：

1、古典数学时期。主要研究数、代数方程、初等几何。

2、近代数学时期。以微积分的诞生为标志，以宏观世界中的物理运动为背景。

3、现代数学时期。以集合论诞生为标志，其显著的特征是Hilbert倡导的形式主义。

现代数学的发展无论是深度还是广度已经远远超乎人们的想象，即使是一个最伟大的数学家，也很难通晓现代数学的全部。

法国Nicolas Bourbaki学派认为：“许多数学家在数学王国的一角占据了一席之地，并且不愿意离开。他们不仅差不多完全忽略了与他们的专业领域无关的东西，而且不能理解他们的同事在远离他们的另一个角落使用的语言和术语。