拉普拉斯方程是什么意思

拉普拉斯方程（Laplace'sequation）,又名调和方程、位势方程,是一种偏微分方程.因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名.求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题,因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质.

详见http://baike.baidu.com/view/34621.htm

用极坐标、直角坐标变换公式+拉普拉斯方程得来。

推倒过程如下：

u''xx+u''yy=0

x=ρcosα，y=ρsinα

∂u/∂ρ=∂u/∂x.∂x/∂ρ+∂u/∂y.∂y/∂ρ=u'x.cosα+u'y.sinα

∂²u/∂ρ²=cosα(u''xx.x'ρ+u''xy.y'ρ)+sinα(u''yy.y'ρ+u''yx.x'ρ)

=cosα(u''xx.cosα+u''xy.sinα)+sinα(u''yy.sinα+u''yx.cosα)

=u''xx.cos²α+2u''xy.sinαcosα+u''yy.sin²α

ρ²∂²u/∂ρ²=ρ²u''xx.cos²α+2ρ²u''xy.sinαcosα+ρ²u''yy.sin²α.....（1）

∂u/∂α=∂u/∂x.∂x/∂α+∂u/∂y.∂y/∂α=u'x.（-ρsinα）+u'y.ρcosα

∂²u/∂α²=（-ρsinα）（u''xx.x'α+u''xy.y'α）+ρcosα(u''yx.x'α+u''yy.y'α)-u'x.（ρcosα）-u'y.ρsinα

=（-ρsinα）（u''xx.（-ρsinα）+u''xy.ρcosα）+ρcosα(u''yx.（-ρsinα）+u''yy.ρcosα)

-ρ[u'x.cosα+u'y.sinα]

=（-ρsinα）（u''xx.（-ρsinα）+u''xy.ρcosα）+ρcosα(u''yx.（-ρsinα）+u''yy.ρcosα)

-ρ∂u/∂ρ

=ρ²sin²αu''xx-2ρ²u''xysinαcosα+ρ²u''yy.cos²α-ρ∂u/∂ρ.........（2）

（1）+（2）

ρ²∂²u/∂ρ²+∂²u/∂α²=ρ²u''xx（cos²α+sin²α）+ρ²u''yy.（cos²α+sin²α）+2ρ²u''xy.sinαcosα-2ρ²u''xysinαcosα-ρ∂u/∂ρ

=ρ²u''xx+ρ²u''yy-ρ∂u/∂ρ

=ρ²（u''xx+u''yy）-ρ∂u/∂ρ

=-ρ∂u/∂ρ

ρ²∂²u/∂ρ²+∂²u/∂α²+ρ∂u/∂ρ=0

∂²u/∂ρ²+(1/ρ²)∂²u/∂α²+(1/ρ)∂u/∂ρ=0

扩展资料

基本概述

一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。

通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。

若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P=P1-P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。

在数理方程中

拉普拉斯方程为：

，其中∇²为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ：

其中∇²称为拉普拉斯算子。

拉普拉斯方程的解称为调和函数。

如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即：

则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子

（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplaceoperator或简称作Laplacian。

参考资料

百度百科——拉普拉斯方程

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