什么是一阶逻辑

一阶逻辑是区别于高阶逻辑的数理逻辑，它不允许量化性质。性质是一个物体的特性所以一个红色物体被表述为有红色的特性。

一阶谓词演算或一阶逻辑(FOL)允许量化陈述的公式，比如"存在着 x，..." (x) 或 "对于任何 x，..." (砢)，这里的 x 是论域(domain of discourse)的成员。一阶(递归)公理化理论是通过增加一阶句子/断定的递归可枚举集合作为公理，可以被公理化为一阶逻辑扩展的理论。这里的"..."叫做谓词并表达某种性质。谓词是适用于某些事物的表达。所以，表达"是黄色"或"喜欢椰菜"分别适用于是黄色或喜欢椰菜的那些事物。

一阶逻辑是区别于高阶逻辑的数理逻辑，它不允许量化性质。性质是一个物体的特性所以一个红色物体被表述为有红色的特性。性质可以被当作物体只凭自身的一种构成(form)，它可以拥有其他性质。性质被认为有别于拥有它的物体。所以一阶逻辑不能表达下列陈述，"对于所有的性质 P，..." 或"存在着性质 P，..."。

但是，一阶逻辑足够强大了，它可以形式化全部的集合论和几乎所有的数学。把量化限制于个体(individual)使它难于用于拓扑学目的，但它是在数学底层经典的逻辑理论。它是比句子逻辑强比二阶逻辑弱的理论。

一阶逻辑是数理逻辑的基础部分，主要包括经典命题逻辑和一阶谓词逻辑。一阶逻辑之所以是“一阶”的，是因为它所包含的谓词逻辑是一阶的。谓词就是表示对象属性的语词。对象的属性具有层次，在谓词用法中，这种层次叫做“阶”。所谓一阶谓词就是指刻画个体属性的谓词，如“红色”“大于”等谓词都只适用于个体概念，像“鲜艳”“传递性”等用来刻画“红色”“大于”这种谓词的谓词就是高阶谓词了，它们刻画的是属性的属性。

数学就是不断抽象的过程。。。

我们来看个例子：

所有的人都比 madao756 帅，你是人，所以你比我帅

在之前的「命题逻辑」中，我们只能把它抽成三个「简单命题」

符号化以后就变成

单从结果来看，其实损失了一些关键信息：比如「所有人」。

于是数学家们想出了一个更好的，更完美的方法，表示上述命题，我们把它叫做「一阶逻辑」。

为了将上述「你比我帅」抽成「一阶逻辑」的形式，我们得先学一点基础知识：

先有一个感性地认识：

其中「...最好看」就是一个「谓词」，抽象成数学就变成：

F(x) : x 最好看 ，F(x) 就是一个谓词。

类似的还有很多很多：

...

量词是「一阶逻辑」中的关键，因为之前的「命题逻辑」并不能很好的体现「所有」、「存在」这样的描述词语

量词也很简单就两个：

像我们之前的「所有」、「一切」这样的词就可以抽象成「全称量词」用符号表示

我们说的什么「存在」、「有」这样的词就可以抽象成「存在量词」用符号表示

结合「谓词」和「量词」，我们就可以将一些命题抽象成「一阶逻辑」

比如「所有人都比 madao756 帅」可以抽象成，

谓词：F(x): x 比 madao756 帅

量词：

你有没有一种感觉，差了点什么？

在说谓词的时候，F(x): x 比 madao756 帅。x 是啥？是猪？「猪比 madao756 帅」？就没个定义域啥的？有的！

首先，先感性地认识「个体词」

小王、小李、madao756 可以是个体词，F(x): x 比 madao756 帅中的 x 也是个体词。前者与后者的具体差别就是：前者是固定的我们叫做「个体常项」后者不是固定的我们叫做「个体变项」

而「个体变项」的范围就是「个体域」

有一个特殊的「个体域」：它是宇宙一切事物组成的，称作「全总个体域」

现在我们根据 0X01 中的内容做一些题目：

将下述命题 分别 在 D1 和 D2 的「个体域」下「一阶逻辑」化

1）凡人都呼吸

2）有的人用左手写字

个体域 D1 为人类集合

个体域 D2 为全总个体域

由于上述命题是对人而言的也就是说，应该将上述命题写成：

1）如果个体是人，个体呼吸

2）如果个体是人，有的人用左手写字

所以我们要搞出一个定义人的谓词：M(x) : x 是人，写成：

1）

2）

在和中，由于有量词的存在，我们称量词后面的 x 是「指导变元」

量词后面的或者我们叫做：「辖域」

中所有 x 的出现，我们叫做 「约束出现」

而在 中所有 y 的出现，由于没有对 y 进行量词限制，所以对于中出现 y，我们叫做「自由出现」

对于中给 x 值这一动作叫做「赋值」

而将 F(x) 定义为 x 是大佬。这一动作叫做「解释」

第四章结束。。。

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