正八边形的面积,在已知不同部位长度的时候,有不同的算法公式,参照人教版8年级教材《几何》:
1、由中点向各顶点连线得到8个等腰三角形,设八边形最长对角线为2a,则等腰三角形腰长a,用正弦定理计算三角形的面积。得1/2*a*a*sin(360/8)=1/2*a^2*sin45,所以正八边形的面积为4*a*a*sin45。
2、设正八边形内最长对角线长为a,最短对角线长为b,则正八边形面积面积为ab。
3、已知边长为a时,又有:S=(2+2√2)a²≈4.828a²。
推导:正八边形可以分割成四个小三角形,四个小长方形以及中央部分的一个正方形。四个小三角形的面积和为:(√2/2a)*(√2/2a)*1/2*4=a²,四个小长方形面积之和为:(√2/2a)*a*4=(2√2)*a²,中间的正方形面积为a²,所以正八边形面积公式为:a²+(2√2)*a²+a²=(2+2√2)*a²
4、已知中心到各点的长(外接圆半径)为R,则正八边形面积为2√2R²。
拓展:
正八边形:八条长度相等的线段,每个内角都是135°,首尾相连构成的一个封闭形状的平面图形。
正八边形周长的算法:边长长度乘以8。
用直尺和圆规画正八边形的方法:
1)做正方形ABCD,并做正方形外接圆O.
2)过圆心O向任意一边(设为AB)作垂线并延长,延长线交圆弧于E、F.
3)以AE、DE为半径画弧,得到与圆O的交点,分别为G、H.
4)连接EAGBFCHD.
5)擦除其他对象,即得正八边形EAGBFCHD.
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