随机模拟的简要方法

随机模拟也称蒙特卡罗法或统计试验法，这种计算方法以概率与统计理论为基础，由威勒蒙和冯纽曼在20世纪40年代为研制核武器而首先提出，在此之前，作为该方法的基本思想，实际上早就被统计学家发现和利用。

随机模拟是指在分析一个系统时，可先构造一个与该系统相似的模型，通过在模型上进行实验来研究原模型，这就是模拟。随机系统可以用概率模型来描述并进行实验，称为随机模拟方法。

中文名 随机模拟 外文名 stochastic simulation 别名 蒙特卡罗法、统计试验法 提出时间 20世纪40年代 提出者 威勒蒙和冯纽曼 基础 概率与统计理论

随机模拟方法是一种应用随机数来进行模拟实验的方法，也称为蒙特卡罗法。这种方法名称来源于世界著名的赌城——摩纳哥的蒙特卡罗，通过对研究问题或系统进行随机抽样，然后对样本值进行统计分析，进而得到所研究问题或系统的某些具体参数、统计量等。

客观世界的某些现象之间存在着某种相似性，因而可以从一种现象出发研究另一种现象。比如在分析一个系统时，可先构造一个与该系统相似的模型，通过在模型上进行实验来研究原模型，这就是模拟。随机系统可以用概率模型来描述并进行实验，称为随机模拟方法。

随机模拟也称蒙特卡罗法或统计试验法，这种计算方法以概率与统计理论为基础，由威勒蒙和冯纽曼在20世纪40年代为研制核武器而首先提出，在此之前，作为该方法的基本思想，实际上早就被统计学家发现和利用。

模拟是模仿随时间演进的现实世界系统运行的一种技术。模拟模型分为静态模拟模型和动态模拟模型。静态模拟模型表现处于某个时间点的系统；动态模拟模型表现随时间而演进的系统。模拟可以是确定性的或随机的。确定性模拟不包含随机变量，随机模拟包含一个或多个随机变量，可用离散型或连续型模型来表现模拟。离散模拟状态变量只在离散的时间变化的模拟，连续模拟指状态变量随时间连续变化。

2.2.1 随机模拟的直接算法

对随机问题（带有场域随机性或时域随机性）分析的直接模拟方法的基本步骤是：

（1）建立描述和刻画系统行为功能的确定性分析模型，并确定其求解方法。

（2）分析和确认基本的随机变量（随机场）及其分布函数。采用蒙特卡罗方法产生随机数（随机样本）。

（3）根据所产生的随机样本，按确定性分析方法求解所模拟问题的输出量（系统反应）。

（4）计算分析系统反应量的样本反应估计值，如样本反应均值，样本反应方差及样本反应谱密度估计等。

2.2.2 Neumann展开算法

对许多工程问题的分析计算最终都归结为计算求解下列形式的线性方程组：

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式中：K——受随机变量影响的系统结构整体刚度矩阵；

F——由边界和系统外部条件确定的列向量；

H——系统状态反应列向量。

由于矩阵K一般具有对称正定性，所以可用Cholesky分解法求解上述方程，即取：

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而H可由下列两步求解过程给出：

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在随机模拟的直接算法中，每产生一次随机样本结构，就要进行一次（2.14）式的分解运算，而为了获得更加精确的随机样本的统计量，必然会有大量的随机样本产生，所以其计算工作量非常之大，而利用Neumann展开思想，可以在全部模拟计算过程中只进行Cholwsky分解，从而使计算工作量大大降低。为此设：

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式中：K0——均值参数结构所对应的系统整体结构矩阵；

ΔK——样本结构关于均值参数结构的偏差部分。

显然：

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由式（2.13）及式（2.17）有：

令：

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则由Neuman展开公式有：

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将式（2.21）代入式（2.19）有：

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显然可得下列递推公式：

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将式（2.20）代入式（2.23）并稍作变换即有：

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于是，一旦由K0 H0=F（2.25）

求出H0，即可用递推公式依此求得H1，H2，…，Hn。代入（2.22）便得样本反应量H。

原则上，Neumann展开算法只是随机模拟算法实施过程中为节省运算工作量而采取的一项技术措施，而对于随机模拟的思想则未做任何改进。

2.2.3 摄动算法

对于确定性物理问题的控制方程可以表示为带有小参数的方程。

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式中：L——一般的线性算子；

H——所研究物理问题的解，H一般可表示为H=H（X，ε）；

X——控制自变量；

ε——小参数。

一般地说，方程（2.26）所描述的问题往往不能精确地解出，但根据H为X和ε的函数且ε是小参数的特点，可以用ε的一个渐近展开式来表示H，即：

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式中Hi（x）与ε无关。

将式（2.27）代入式（2.26），并将ε的同次幂系数合并起来可得：

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式中：L0，L1，L2，…——空间H中的线性算子；

h——关于x的实函数，可根据具体情况给出它们的形式。

由于方程（2.28）对所有的ε都必须成立，又因为ε的序列是线性无关的，故ε各次幂前面的系数项必须自动为零，即有：

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式（2.29）构成了关于Hi（x）的递推方程组。

根据边初值条件可依次求得序列H0，H1，H2，…从而代入式（2.27）可得H（x，ε）的近似解。

将上述关于确定性物理问题的摄动求解思想推广到带有随机参数的问题中来，就构成了随机参数摄动问题，为此，设所考虑问题的随机微分算子方程为：

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式中：L——算子符号；

x——自变量；

ξ——某一给定分布的随机变量；

Y——一随机函数，可表示为Y=Y（x，ξ）。

随机变量 可转化为用标准随机变量表示的形式：

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式中：ξ0——随机变量ξ的均值；

ξr——随机变量ξ的均方差；

b——均值为零，方差为1的标准化随机变量。

将式（2.31）代入式（2.30）有：

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利用随机函数的幂级数展开式可将解Y（x，ξ）展开为关于随机变量b的级数：

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由于-b=0，故上式可表示为：

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由于 y 未知，所以系数式等也是未知的，但可将上式等价地写为：

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显然，上式中的系数Ui（x）与b无关，为一确定性函数。

将式（2.34）代入式（2.32）并经适当的运算后将b的不同次幂系数项合并起来，可得：

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式中：L0，L1，L2，…，Ln——确定性算子；

h——关于x的实函数。

由于随机变量b具有任意性，因此，式（2.35）成立的充分条件是各系数项皆为零，由此可得：

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上述方程组为一组确定性算子方程，当给定边界条件和初值条件以后，便可依次求出解U0，U1，U2，…回代方程（2.13）后即可得到y（x，ξ）的形式解答，而解答的均值与方差分别为：

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水文随机模拟和水文预报中提到的水文模拟主要有以下区别：

1、水文随机模拟，是用水文时间序列分析的方法，对给定的水文时间序列建立模型，再应用蒙特卡罗方法按选用的模型生成人工序列的技术。对生成的人工序列，需进行统计检验，不合要求应重新建立模型和生成序列。

2、水文预报时水利水电以及防洪、水资源调度工作具有基础性的引导作用，目前我国常见的水文预报方式主要有两种，数据驱动模型、过程驱动模型。数据驱动模型不以水文过程作为模型建立的基础，是通过数据之间数学关系，建立起有效的水文模型。过程驱动模型基础则是水文学概念，从而完成对河道以及流域的演进模型。在中长期的水文预报中，过程驱动模型较为适用，主要改进流域降雨径流模型结构，在时间跨度相对较长的水文预报中适用。

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