什么是初值

初值问题是指在因变量的某值给出适当个数的附加条件，用来确定微分方程的通解的这类问题。如果在因变量的某值给出适当个数的附加条件，用来确定微分方程的通解，则这类问题称为初值解。

初值定理是“信号与系统”课程中的知识，对应的有终值定理。就其地位而言，在“信号与系统”中，连续系统的S域分析占有重要的地位，在微分方程求解、电路分析等领域发挥着关键作用。

而S域分析的要点在于掌握拉普拉斯变换及其性质。拉普拉斯变换的重要性质包括：尺度变换、时移、频移、微分、积分、卷积、初值定理与终值定理，与其他性质相比，初值定理与终值定理是重点和难点。

注意事项

1、初值定理使用条件是要求连续函数f(t)不含冲击函数δ(t)及其各阶导数，或者象函数F(s)为真分数。当象函数为真分式时，根据初值定理可直接由象函数得出函数的初值。

2、若连续函数f(t)中含有冲击函数δ(t)及其各阶导数时，冲击函数项对f(t)的拉氏变换从左侧趋于0到右侧趋于0的变化时会造成影响。

3、利用换路后电路的s域模型和初值定理求初始值，事先不需要考虑电路的电感电流或电容电压是否发生突变，不管是一阶电路还是二阶以上的高阶电路。

Z变换的初值定理和终值定理的定义：对于因果序列x[n], 如果知道它存在z变换X(z)， 那么初值定理告诉我们， x[0]等于X(z)在z趋向于无穷大时的极限。 终值定理告诉我们， 如果x[n]在n趋向于无穷大时， 极限存在，即序列的终值存在的话， 那么改终值等于函数(z-1)X(z)， z趋向于1的极限。具体的表达式如下图：

此外，二者都有相应的应用条件限制：

1.初值定理是针对因果序列 x [ n ] ，即当 n <0 时， x [ n ] = 0 。它的 z 变换中不包含有 z 的正幂次项。如果 X ( z ) 是有理分式， 则要求它的分子多项式阶次小于等于分母多项式的阶次。

2.在应用终值定理之前，需要判断 X ( z ) 对应的序列 x [ n ]  在 n 趋向于无穷远时， 存在极限。 这要求 X ( z )所有的极点都位于单位圆内， 如果在单位圆上存在极点， 也只能再 z = 1 处存在一个一阶极点。