三角形重心的性质

三角形重心的性质如下：

三角形重心是三角形三条中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。

性质证明

证明一

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。

求证：EG=1/2CG

证明：过E作EH∥BF交AC于H。

∵AE=BE，EH//BF

∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)

又∵ AF=CF

∴HF=1/2CF

∴HF:CF=1/2

∵EH∥BF

∴EG:CG=HF:CF=1/2

∴EG=1/2CG

方法二 连接EF

利用三角形相似

求证：EG=1/2CG 即证明EF=1/2BC

利用中位线可证明EF=1/2BC

证明二

证明二

即EG=1/2CG

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

证明方法：

在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知：

OA'=1/3AA'

OB'=1/3BB'

OC'=1/3CC'

过O，A分别作a边上高OH'，AH

可知OH'=1/3AH

则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC

同理可证S△AOC=1/3S△ABC

S△AOB=1/3S△ABC

所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 （等边三角形）

证法一：

设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x0，y0） 则该点到三顶点距离平方和为：

(x1-x0)2+(y1-y0)2+(x2-x0)2+(y2-y0)2+(x3-x0)2+(y3-y0)2

=3x02-2x0(x1+x2+x3)+3y02-2y0(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32

=3[x0-1/3*(x1+x2+x3)]2+3[y0-1/3*(y1+y2+y3)]2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2

显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时

上式取得最小值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2

最终得出结论。

证法二：由性质8（卡诺重心定理）可得出结论。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，

即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]；

空间直角坐标系——X坐标：(X1+X2+X3)/3，Y坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，Z坐标：（Z1+Z2+Z3）/3.

图1

图1

5、三角形内到三边距离之积最大的点。

证明：如图1所示，点P是△ABC内的一点，连接PA，PB，PC，作点P到BC、AC、AB的垂线段，垂足分别为D、E、F，延长AP交BC于M。记△ABC的面积为S，BC为a，AC为b，AB为c，PD为a'，PE为b'，PF为c'。

∵aa'/2+bb'/2+cc'/2=S△BCP+S△ACP+S△ABP=S

∴aa'+bb'+cc'=2S

由均值不等式知，[(aa'+bb'+cc')/3]^3≥aa'bb'cc'=(abc)*(a'b'c')，当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。

∴a'b'c'≤[(aa'+bb'+cc')/3]^3/(abc)=(2S/3)^3/(abc)=8S^3/(27abc)，当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。

∴a'b'c'只有当aa'=bb'=cc'时才会取得最大值。

此时，S△ABP=cc'/2=bb'/2=S△ACP，由燕尾定理知，BM/CM=S△ABP/S△ACP=1。

∴此时BM=CM，M是BC的中点，AM是△ABC的中线，P在△ABC中BC边的中线上。

同理可证此时P在△ABC中AB、AC边的中线上。

∴当a'b'c'最大时，P是△ABC的重心，即重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。

7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）

8、卡诺重心定理：若G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA^2+PB^2+PC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2=1/3(a^2+b^2+c^2)+3PG^2

证明：GA^2 + PG^2 = PA^2 + 2GA*PGcos(AGP)

GB^2 + PG^2 = PB^2 + 2GB*PGcos(BGP)

GC^2 + PG^2 = PC^2 + 2GC*PGcos(CGP)

GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3PG^2 = PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2PG[GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP)]

延长射线AG,交BC于D,继续延长,使得GD = DE = AG/2.

连接EB,EC,

四边形GBEC为平行四边形.

EB = GC

延长射线PG,

过点B作PG的延长线的垂线,垂足为F.

过点E作PG的延长线的垂线,垂足为H.

BE与PG的延长线的交点为点Q.

则,因GC//BE,角CGP = 角EQG = 角BQF

GH = GE*cos(EGH) = GA*cos(AGP)

HF = EB*cos(BQF) = GC*cos(EQG) = GC*cos(CGP)

而

GH + HF = GF = GB*cos(BGF) = GB*cos(PI-BGP) = -GB*cos(BGP),

因此,

GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP) = 0,

GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3PG^2

= PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2PG[GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP)]

= PA^2 + PB^2 + PC^2

利用上面的结论,

令P与A重合,有

GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GA^2

= AB^2 + AC^2 ...(1)

令P与B重合,有

GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GB^2

= AB^2 + BC^2 ...(2)

令P与C重合,有

GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GC^2

= BC^2 + AC^2 ...(3)

(1),(2),(3)相加,有

3[GA^2 + GB^2 + GC^2] + 3[GA^2 + GB^2 + GC^2] = 2[AB^2 + BC^2 + AC^2],

GA^2 + GB^2 + GC^2 = [AB^2 + BC^2 + AC^2]/3 = (a^2 + b^2 + c^2)/3.

得证.

三角形重心性质：

1、三角形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、三角形的重心和三个顶点组成的三个三角形面积相等，即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、三角形的重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

4、以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。

三角形的五心定理

①重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。

②外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。

③垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。

④内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。

⑤旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。

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