数学黑洞 什么是黑洞数

对于数学黑洞，无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去了，就像宇宙中的黑洞可以将任何物质，以及运行速度最快的光牢牢吸住，不使它们逃脱一样。这就对密码的设值破解开辟了一个新的思路。

中文名

数学黑洞

外文名

Digital black hole

应用

密码破解

实例

西西弗斯串、卡普雷卡尔常数等

实例

123数学黑洞

123数学黑洞，即西西弗斯串。[1][2][3][4]

西西弗斯串可以用几个函数表达它，我们称它为西西弗斯级数，表达式如下：

F 是一级原函数，k级通项式为它的迭代循环

它的vba程序代码详细底部目录

数学黑洞

设定一个任意数字串，数出这个数中的偶数个数，奇数个数，及这个数中所包含的所有位数的总数，

例如：1234567890，

偶：数出该数数字中的偶数个数，在本例中为2，4，6，8，0，总共有 5 个。

奇：数出该数数字中的奇数个数，在本例中为1，3，5，7，9，总共有 5 个。

总：数出该数数字的总个数，本例中为 10 个。

新数：将答案按 “偶-奇-总” 的位序，排出得到新数为：5510。

重复：将新数5510按以上算法重复运算，可得到新数：134。

重复：将新数134按以上算法重复运算，可得到新数：123。

结论：对数1234567890，按上述算法，最后必得出123的结果，我们可以用计算机写出程序，测试出对任意一个数经有限次重复后都会是123。换言之，任何数的最终结果都无法逃逸123黑洞。

为什么有数学黑洞“西西弗斯串”呢？

（1）当是一个一位数时，如是奇数，则k=0，n=1，m=1，组成新数011，有k=1，n=2，m=3，得到新数123；

如是偶数，则k=1，n=0，m=1，组成新数101，又有k=1，n=2，m=3，得到123。

（2）当是一个两位数时，如是一奇一偶，则k=1，n=1，m=2，组成新数112，则k=1，n=2，m=3，得到123；

如是两个奇数，则k=0，n=2，m=2，组成022，则k=3，n=0，m=3，得303，则k=1，n=2，m=3，也得123；

如是两个偶数，则k=2，n=0，m=2，得202，则k=3，n=0，m=3，由前面亦得123。

（3）当是一个三位数时，如三位数是三个偶数字组成，则k=3，n=0，m=3，得303，则k=1，n=2，m=3，得123；

如是三个奇数，则k=0，n=3，m=3，得033，则k=1，n=2，m=3，得123；

如是两偶一奇，则k=2，n=1，m=3，得213，则k=1，n=2，m=3，得123；

如是一偶两奇，则k=1，n=2，m=3，立即可得123。

（4）当是一个M（M>3）位数时，则这个数由M个数字组成，其中N个奇数数字，K个偶数数字，M=N+K。

由KNM联接生产一个新数，这个新数的位数要比原数小。重复以上步骤，一定可得一个三位新数knm。

以上仅是对这一现象产生的原因，简要地进行分析，若采取具体的数学证明，演绎推理步骤还相当繁琐和不易。直到2010年5月18日，关于“123数学黑洞（西西弗斯串）”现象才由中国回族学者秋屏先生于作出严格的数学证明，并推广到六个类似的数学黑洞（“123”、“213”、“312”、“321”、“132”和“231”），这是他的论文：《“西西弗斯串（数学黑洞）”现象与其证明》（正文网址在该词条最下面的“参考资料”中，可点击阅读）。自此，这一令人百思不解的数学之谜已被彻底破解。此前，美国宾夕法尼亚大学数学教授米歇尔·埃克先生仅仅对这一现象作过描述介绍，却未能给出令人满意的解答和证明。[4]

可用Pascal语言完成：

Var n, j, e, z, z1, j1, t: longint;

Begin

readln(n);

t := 0;

repeat

e := 0; j := 0; z := 0;

while n > 0 do begin

if n mod 10 mod 2 = 0

then e := e + 1

else j := j + 1;

z := z + 1;

n := n div 10;

end;

if j < 10

then j1 := 10

else j1 := 100;

if z < 10

then z1 := 10

else z1 := 100;

n := e j1 z1 + j z1 + z;

writeln(n);

t := t + 1;

until n = 123;

writeln(’t = ’, t);

readln;

End

Python代码实现：

def num_calculate(str_number):

even, ood = [], []

for i in str_number:

if int(i) % 2 == 0:

evenappend(i)

else:

oodappend(i)

str_list = ""join([str(len(even)), str(len(ood)), str(len(even)+len(ood))])

return str_list

def BlackHole(str_number):

i = 0

number = num_calculate(str_number)

while 1:

i += 1

print('第{}次:{}'format(i, number))

number = num_calculate(number)

if int(number) == 123:

print('第{}次:{}'format(i, number))

break

if __name__ == '__main__':

BlackHole(input("随意输入一个数字: "))

6174数学黑洞

（即卡普雷卡尔（Kaprekar）常数）

比123黑洞更为引人关注的是6174黑洞值，它的算法如下：

取任意一个4位数（4个数字均为同一个数的，以及三个数字相同，另外一个数与这个数相差1，如1112，,6566等除外），将该数的4个数字重新组合，形成可能的最大数和可能的最小数，再将两者之间的差求出来；对此差值重复同样过程，最后你总是至达卡普雷卡尔黑洞6174，到达这个黑洞最多需要14个步骤。

例如：

大数：取这4个数字能构成的最大数，本例为：4321；

小数：取这4个数字能构成的最小数，本例为：1234；

差：求出大数与小数之差，本例为：4321-1234=3087；

重复：对新数3087按以上算法求得新数为：8730-0378=8352；

重复：对新数8352按以上算法求得新数为：8532-2358=6174；

结论：对任何只要不是4位数字全相同的4位数，按上述算法，不超过9次计算，最终结果都无法逃出6174黑洞；

比起123黑洞来，6174黑洞对首个设定的数值有所限制，但是，从实战的意义上来考虑，6174黑洞在信息战中的运用更具有应用意义。

设4位数为 XYZM，则X-Y=1;Y-Z=2;Z-M=3;时，永远出现6174，因为123黑洞是原始黑洞，所以……

自幂数

除了0和1自然数中各位数字的立方之和与其本身相等的只有153、370、371和407（此四个数称为“水仙花数”）。例如为使153成为黑洞，我们开始时取任意一个可被3整除的正整数。分别将其各位数字的立方求出，将这些立方相加组成一个新数然后重复这个程序。

除了“水仙花数”外，同理还有四位的“玫瑰花数”（有：1634、8208、9474）、五位的“五角星数”（有54748、92727、93084），当数字个数大于五位时，这类数字就叫做“自幂数”。

冰雹猜想（角谷猜想）

冰雹猜想来历

1976年的一天，《华盛顿邮报》于头版头条报道了一条数学新闻。文中记叙了这样一个故事：

70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩弄一种数学游戏。这个游戏十分简单：任意写出一个自然数N（N≠0），并且按照以下的规律进行变换：

如果是个奇数，则下一步变成3N+1。

如果是个偶数，则下一步变成N/2。

不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入。为什么这种游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论N是怎样一个非零自然数，最终都无法逃脱回到谷底1。准确地说，是无法逃出落入底部的4-2-1循环，永远也逃不出这样的宿命。

这就是著名的“冰雹猜想”，又名角谷猜想。

强悍的27

冰雹的最大魅力在于不可预知性。英国剑桥大学教授John Conway找到了一个自然数27。虽然27是一个貌不惊人的自然数，但是如果按照上述方法进行运算，则它的上浮下沉异常剧烈：首先，27要经过77步骤的变换到达顶峰值9232，然后又经过32步骤到达谷底值1。全部的变换过程（称作“雹程”）需要111步，其顶峰值9232，达到了原有数字27的342倍多，如果以瀑布般的直线下落（2的N次方）来比较，则具有同样雹程的数字N要达到2的111次方。其对比何其惊人！

但是在1到100的范围内，像27这样的剧烈波动是没有的（54等27的2的次方倍数的数除外）。

验证规律

经过游戏的验证规律，人们发现仅仅在兼具4k和3m+1（k,m为自然数）处的数字才能产生冰雹猜想中“树”的分叉。所以在冰雹树中，16处是第一处分叉，然后是64……以后每隔一节，产生出一支新的支流。

自从Conway发现了神奇的27之后，有专家指出，27这个数字必定只能由54变来，54又必然从108变来，所以，27之上，肯定可以出现不亚于2n的强大支流——33×2n(n=1，2，3……)，然而，27到4-2-1数列和本流2到4-2-1数列要遥远的多。按照机械唯物论的观点，从27开始逆流而上的数列群才能叫做本源，尽管如此，按照“直线下泻”的观点，一般依然把1-2-4-8……2n的这一支看作是“干流”。

又称为角谷猜想，因为是一个名叫角谷的日本人把它传到中国。

数列验证法，此方法是根据冰雹猜想的验证规则而建立的一种验证方法，是以无限的数列来对付无限的自然数。不管是等差的还是变差的，都是可以直接带进去计算的 首项差是偶数，那么数列上的所有自然数都是偶数，全体数列除于2，如果首项是奇数公差是偶数，那么数列上全体自然数都是奇数，全体乘上3再加1。如果公差是奇数，首项也是奇数，那么第奇数项必定都是奇数则乘上3再加1，第偶数项必定都是偶数,则除于2。如果公差是奇数，首项是偶数，那么第奇数项必定都是偶数，则除于2，第偶数项必定都是奇数，则乘上3再加1。按照这样的计算规则计算下去，会遇到许多新的问题，考验验证者的智商。比如偶数的通项公式是2n，因为都是偶数所以除于2，得到n，这就是自然数。

按照忽略偶数不记录的验证方法进行验证，第一个被验证的奇数有可能是能被3整除的奇数，也有可能是不能被3整除的奇数。但是所到达所归结的第二个奇数，以及第三个奇数（假设存在），整个过程所到达所遇到所归结所访问到的每一个奇数，必定都不能再被3整除了。如果都从从能被3整除的奇数开始验证，路径上所遇到所归结的所到达所访问到的每一个奇数都必定不能再被3整除了，最终都能归结于1，那么必定遍历所有的奇数（遍历是离散数学的概念）。如果都从不能被3整除的奇数开始验证，那么路径上所遇到所到达所归结的所访问到的每一个奇数必定都不可能再被3整除了，最终都归结于1（等于说是漏下能被3整除的奇数没有被验证）。所以在顺向的冰雹猜想验证过程中，可以把能被3整除的奇数都命名为最起始点的奇数，1是终止点的奇数，而在逆向的冰雹猜想验证过程中则是相反的，1是最起始点的奇数，而能被3整除的奇数则是终止点的奇数。事实上在验证的过程中，不能被3整除的奇数，都在存在数量无穷多的上一步的奇数，占1/3的比例是能被3整除的奇数，占2/3的比例是不能被3整除的奇数，这一现象都跟自然数的情况出奇地巧合了这一规律，无论是单个奇数的验证方法，还是数列验证法必须遵守。在能被3整除的奇数之前的，只有能被3整除的偶数，没有任何奇数。最起始点的奇数在15 x-7 或者是在7x-5的时候就不是能不能被15整除或者被7整除这么简单了

存在X1，使得X13+1之后只能被1个2整除，之后就是奇数，这一类奇数占奇数总量的1/2；

存在X2，使得X23+1之后只能被2个2整除，之后就是奇数，这一类奇数占奇数总量的1/4；

存在X3，使得X33+1之后只能被3个2整除，之后就是奇数，这一类奇数占奇数总量的1/8；

以此类推从逆推定理出发，可以很方便地找到，X1,X2,X3,X4,X5的通项公式

7X-3的平衡点是：

当N=2个未知数的时候

3（4+7）=7^2-4^2

假设当 N+1= K的时候也是相等的 就是

3（4^（K-1）+74^(K-2)+7^24^（K-3）++7^（K-3）4^2+7^（K-2）4+7^（K-1））=7^K-4^K

然后再讨论：当 K=K+1的时候能不能相等 ，这个问题我算过了， 是成立的。

导致奇数在验证过程中爬升的本质就是以3换2，而下降的原因就在于只剩最后一个2了时候，

卡普雷

简介

取任何一个4位数（4个数字均为同一个数字的例外），将组成该数的4个数字重新组合成可能的最大数和可能的最小数，再将两者的差求出来；对此差值重复同样的过程（例如：开始时取数8028，最大的重新组合数为8820，最小的为0288，二者的差8532。重复上述过程得出8532－2358=6174），最后总是达到卡普雷卡尔黑洞：6174。称之“黑洞”是指再继续运算，都重复这个数，“逃”不出去。把以上计算过程称为卡普雷卡尔运算，这个现象称归敛，其结果6174称归敛结果。

一，任意N位数都会类似4位数那样归敛（1、2位数无意义） 3位数归敛到495; 4位数归敛到6174; 7位数归敛到唯一一个数组（8个7位数组成的循环数组______称归敛组）；其它每个位数的数归敛结果分别有若干个，归敛数和归敛组兼而有之（如14位数____共有9×10的13次方个数____的归敛结果有6个归敛数，21个归敛组）

一旦进入归敛结果，继续卡普雷卡尔运算就在归敛结果反复循环，再也“逃”不出去。

归敛组中各数可以按递进顺序交换位置 （如a → b → c 或 b → c → a 或c → a → b)

归敛结果可以不经过卡普雷卡尔运算就能从得出

某个既定位数的数，它的归敛结果的个数是有限的，也是确定的

二，较多位数的数（命它为N）的归敛结果是由较少位数的数（命它为n,N﹥n）的归敛结果，嵌加进去一些特定的数或数组而派生形成 4、6、8、9、11、13的归敛结果中的8个称基础数根它们是派生所有任意N位数的归敛结果的基础

分类

1，嵌加的数分三类。

第一类是数对型，有两对：1）9，0 2）3，6

第二类是数组型，有一组：

7，2

5，4

1，8

第三类是数字型，有两个：

1） 5 9 4

2） 8 6 4 2 9 7 5 3 1

2，嵌入数的一部分嵌入前段中大于或等于嵌入数的最末一个数字的后邻位置。另一部分嵌入后段相应位置_____使与嵌入前段的数形成层状组数结构。

594只能嵌入n=3+3k 这类数。如9、12、15、18……位。

3，（9，0）（3，6）两对数可以单独嵌入或与数组型、数字型组合嵌入。

数组

7，2

5，4

1，8

必须“配套”嵌入并按顺序：（7，2）→（5，4）→（1，8） ；或 （5，4）→（1，8）→（7，2）

或 （1,8） →（7,2） →（5,4）。

4，可以嵌如一次、二次或若干次 （则形成更多位数的归敛结果）。

任意N位数的归敛结果都 “隐藏”在这N位数中，卡普雷卡尔运算只是找出它们而不是新造成它们。

“6174数学黑洞”现象的参考资料

1．美国《新科学家》，1992，12，19

2．中国《参考消息》，1993，3，14-17

3．王景之： ⑴ 也谈数学“黑洞”——关于卡普雷卡尔常数。

⑵ 我演算得到的一部分归敛结果。

4．天山草：能够进行任意多位数卡普雷卡尔（卡布列克） 运算的程序。

*** 作演示

上文对6174黑洞运算过程进行了演示，以下用C演示了对任一四位数（不全相同，如2222）计算过程，并总计了一共 *** 作的步骤。编译连接后，输入输出结果如右图所示：

6174黑洞运算 *** 作演示

#include <stdioh>

void insertSort(int r[], int len) {

int i, k, tmp;

for(i = 1; i < len; i++) {

k = i - 1;

tmp = r[i];

while(k >= 0 && r[k] > tmp) {

r[k+1] = r[k];

k--;

}

r[k+1] = tmp;

}

}

void main() {

int N, count, end, s;

int r[4];

int max, min;

printf("请输入一个任意的四位正整数（全相同的除外，如1111）：");

scanf("%d", &N);

count = 0; end = 0;

s = N;

while (end != 6174) {

r[0] = s % 10;

r[1] = s / 10 % 10;

r[2] = s / 100 % 10;

r[3] = s / 1000;

insertSort(r, 4);

max = 1000 r[3] + 100 r[2] + 10 r[1] + r[0];

min = 1000 r[0] + 100 r[1] + 10 r[2] + r[3];

end = max - min;

count++;

printf("第%d步：%d-%d=%d\n", count, max, min, end);

s = end;

}

printf("%d一共经过了%d步得到了6174\n", N, count);

}

纠错

参考资料

[1] 1新浪网《“西西弗斯串（数学黑洞）”现象与其证明》，2010-05-18

[2] 2美国《新科学家》，1992-12-19

[3] 3中国《参考消息》，1993-3-14~17

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[编辑本段]数学的猜想

对于任何一个自然数A,

(1)a如果A为偶数,就除以2

b如果A为奇数,就乘以3加上1

得数记为B

(2)将B代入A重新进行(1)的运算

若干步后,得数为1

这个猜想就叫做角谷猜想,目前没有反例,也没有证明 但也有许多人曾经尝试去求证这个问题：

[编辑本段]一个错误的证明

最简单的证明角谷（3n+1）猜想的方法

因为任何偶数都能变成2^a或一个奇数乘2^b。前者在不停的除以2之后必定为1，因为它们只有质因数2。而后者则只能剩下一个奇数，我们可以把偶数放在一边不谈。

现在只剩下奇数了。

我们假设一个奇数m，当他进行运算时，变成3m+1。如果这个猜想是错误的话，那么就有（3m+1）/2^c＝m，且m不等于1。我们尝试一下：

当c＝1时，3m+1＝2m，，，m＝-1，不符合，舍去；

当c＝2时，3m+1＝4m，，，m＝1，不符合，舍去；

当c＝3时，3m+1＝8m，，，m＝02，不符合，舍去；

当c＝4时，3m+1＝16m，，，m＝1/13，不符合，舍去；

……………………

可见，能推翻角古猜想的数只在1或以下的范围，所以没有数能推翻这个猜想，所以这个猜想是正确的。

[编辑本段]错误分析

我不敢苟同以下这种所谓的证明：

“我们假设一个奇数m，当他进行运算时，变成3m+1。如果这个猜想是错误的话，那么就有（3m+1）/2^c＝m，且m不等于1。我们尝试一下：

当c＝1时，3m+1＝2m，，，m＝-1，不符合，舍去；

当c＝2时，3m+1＝4m，，，m＝1，不符合，舍去；

当c＝3时，3m+1＝8m，，，m＝02，不符合，舍去；

当c＝4时，3m+1＝16m，，，m＝1/13，不符合，舍去；

。。。。。。

可见，能推翻角古猜想的数只在1或以下的范围，所以没有数能推翻这个猜想，所以这个猜想是正确的。”

要知道（3m+1）/2^c＝m这个等式左右两边的m是不一样的，虽然两个m都是奇数，但此m非彼m！上面无非就是想说一个奇数乘以3再加1必定可以被2的n次方除尽，当然n到底是多大要看实际情况而定。然而这种表示方法是绝对错误的！不信大家可以试一试，左边代入任意奇数m，右边得出的m绝大多数都是跟左边代入任意奇数m不同的。还有就是这个证明明显存在前后矛盾，前面假设一个奇数m，后面却得出m＝02、m＝1/13这样的结果，难道02、1/13这些就是所谓的奇数？连两个m都分不清，更何况是证明呢？大家不要再犯这样的低级错误了呀，脚踏实地才是真。

[编辑本段]角谷猜想的一个推广

角谷猜想又叫叙古拉猜想。它的一个推广是克拉茨问题，下面简要说说这个问题：

50年代开始,在国际数学界广泛流行着这样一个奇怪有趣的数学问题:任意给定一个自然数x,如果是偶数,则变换成x/2,如果是奇数,则变换成3x+1此后,再对得数继续进行上述变换例如x=52,可以陆续得出26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1如果再做下去就得到循环:

(4,2,1)再试其他的自然数也会得出相同的结果这个叫做叙古拉猜想

上述变换,实际上是进行下列函数的迭代

{ x/2 (x是偶数)

C(x)=

3x+1 (x是奇数)

问题是,从任意一个自然数开始,经过有限次函数C迭代,能否最终得到循环(4,2,1),或者等价地说,最终得到1据说克拉茨(LCollatz)在1950年召开的一次国际数学家大会上谈起过,因而许多人称之为克拉茨问题但是后来也有许多人独立地发现过同一个问题,所以,从此以后也许为了避免引起问题的归属争议,许多文献称之为3x+1问题

克拉茨问题吸引人之处在于C迭代过程中一旦出现2的幂,问题就解决了,而2的幂有无穷多个,人们认为只要迭代过程持续足够长,必定会碰到一个2的幂使问题以肯定形式得到解决正是这种信念使得问题每到一处,便在那里掀起一股"3x+1问题"狂热,不论是大学还是研究机构都不同程度地卷入这一问题许多数学家开始悬赏征解,有的500美元,有的1000英镑

日本东京大学的米田信夫已经对240大约是11000亿以下的自然数做了检验1992年李文斯(GTLeavens)和弗穆兰(MVermeulen)已经对561013的自然数进行了验证,均未发现反例题意如此清晰,明了,简单,连小学生都能看懂的问题,却难到了20世纪许多大数学家著名学者盖伊(RKGuy)在介绍这一世界难题的时候,竟然冠以"不要试图去解决这些问题"为标题经过几十年的探索与研究,人们似乎接受了大数学家厄特希(PErdos)的说法:"数学还没有成熟到足以解决这样的问题!"有人提议将3x+1问题作为下一个费尔马问题

下面是我对克拉茨问题的初步研究结果,只是发现了一点点规律,距离解决还很遥远

克拉茨命题:设 n∈N,并且

f(n)= n/2 (如果n是偶数) 或者 3n+1 (如果n是奇数)

现用f1(n)表示f(n),f2(n)=f(f(n)),fk(n)=f(f(f(n)))

则存在有限正整数m∈N,使得fm(n)=1(以下称n/2为偶变换,3n+1为奇变换,并且称先奇变换再偶变换为全变换)

克拉茨命题的证明

引理一:若n=2m,则fm(n)=1 (m∈N)

证明:当m=1时,f(n)=f(2)=2/2=1,命题成立,设当m=k时成立,则当m=k+1时,fk+1(n)=f(fk(2k+1))=

=f(2)=2/2=1证毕

引理二:若n=1+4+42+43++4k=(4k+1-1)/(4-1) (k∈N),则有f(n)=3n+1=4k+1=22k+2,从而f2k+3(n)=1

证明:证明是显然的,省略

引理三:若n=2m(4k+1-1)/(4-1) (m∈N), 则有fm+2k+3(n)=1

证明:省略

定理一:集合 O={X|X=2k-1,k∈N} 对于变换f(X)是封闭的

证明:对于任意自然数n,若n=2m,则fm(n)=1,对于n=2k,经过若干次偶变换,必然要变成奇数,所以我们以下之考虑奇数的情形,即集合O的情形对于奇数,首先要进行奇变换,伴随而来的必然是偶变换,所以对于奇数,肯定要进行一次全变换为了直观起见,我们将奇数列及其全变换排列如下:

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

0 2k-1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101

1 3k-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80 83 86 89 92 95 98 101 104 107 110 113 116 119 122 125 128 131 134 137 140 143 146 149 152

2 3k-2 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76

3 3k-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38

4 3k-2 1 4 7 10 13 16 19

5 3k-1 2 5 8

6 3k-2 1 4

7 3k-1 2

8 3k-2 1

第一行(2k-1)经过全变换(3(2k-1)+1)/2=3k-1变成第二行,实际上等于第一行加上一个k,其中的奇数5,11,6k-1又回到了第一行以下各行是等差数列3k-2,3k-1交错排列由于最终都变成了奇数,所以集合O对于变换f(X)是封闭的

定理二:任何奇自然数经过若干次变换都会变成1

证明:

我们看到 奇数经过全变换变成为3k-1型数,3k-1型奇数经过全变换有一半仍然变成3k-1型奇数,而另一半3k-1型偶数经过除以2有一半变成为3k-2型奇数,而3k-2型奇数经过全变换又变成为3k-1型数换句话说不可能经过全变换得到3k-2型数

下面我们只研究奇数经过全变换的性质,因为对于其他偶数经过若干次偶变换,仍然要回到奇数的行列里来

我们首先证明奇数经过若干次全变换必然会在某一步变成偶数

设2a0-1是我们要研究的奇数,它经过全变换变成3a0-1,假设它是一个奇数并且等于2a1-1,2a1-1又经过全变换变成为3a1-1=2a2-1,3a2-1=2a3-1,3ak-1-1=2ak-1,所以a1=(3/2)a0,a2=(3/2)a1,ak=(3/2)ak-1

所以最后ak=(3/2)ka0,要使ak是整数,可令a0=2kn,(n是奇数)于是ak=3kn则从2a0-1经过若干次全变换过程如下:

2k+1n-1 -> 32kn-1 -> 322k-1n-1 -> 332k-2n-1 -> -> 3k+1n-1 (偶数)

然后我们证明经过全变换变成偶数的奇数一定大于该偶数经过若干偶变换之后得到的奇数

设3k+1n-1=2mh (h为奇数),我们要证明 h<23kn-1:

h=(23kn-1+3kn)/2m<23kn-1,令a=3kn,b=2m-1,则有 2ab>a+b,而这是显然的

定义:以下我们将称呼上述的连续全变换紧接着连续的偶变换的从奇数到另外一个奇数的过程为一个变换链

接着我们证明奇数经过一个变换链所得的奇数不可能是变换链中的任何中间结果,包括第一个奇数

若以B(n)表示奇数n的变换次数,m是n经过变换首次遇到的其他奇数,则有

定理三:B(n)=k+1+B(m),其中k是满足3n+1=2km的非负整数

证明:n经过一次奇变换,再经过k次偶变换变成奇数m,得证

举例来说,B(15)=2+B(23)=2+2+B(35)=2+2+2+B(53)=2+2+2+5+1+B(5)=2+2+2+5+1+5=17

原始克拉茨

二十世纪30年代,克拉茨还在上大学的时候,受到一些著名的数学家影响,对于数论函数发生了兴趣,为此研究了有关函数的迭代问题

在1932年7月1日的笔记本中,他研究了这样一个函数:

F(x)= 2x/3 （如果x被3整除 或者 (4x-1)/3 （如果x被3除余1）或者 (4x+1)/3 （如果x被3除余2）

则F(1)=1,F(2)=3,F(3)=2,F(4)=5,F(5)=7,F(6)=4,F(7)=9,F(8)=11,F(9)=6,为了便于观察上述迭代结果,我们将它们写成置换的形式:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 3 2 5 7 4 9 11 6

由此观察到:对于x=2,3的F迭代产生循环(2,3)

对于x=4,5,6,7,9的F迭代产生循环(5,7,9,6,4)

接下来就是对x=8进行迭代,克拉茨在这里遇到了困难,他不能确知,这个迭代是否会形成循环,也不知道对全体自然数做迭代除了得到上述两个循环之外,是否还会产生其他循环后人将这个问题称为原始克拉茨问题现在人们更感兴趣的是它的逆问题:

G(x)= 3x/2 （如果x是偶数）或者 (3x+1)/4 （如果x被4除余1）或者 (3x-1)/4 （如果x被4除余3）

不难证明,G(x)恰是原始克拉茨函数F(x)的反函数对于任何正整数x做G迭代,会有什么样的结果呢

经计算,已经得到下列四个循环:

(1),(2,3),(4,6,9,7,5),(44,66,99,74,111,83,62,93,70,105,79,59)

因为G迭代与F迭代是互逆的,由此知道,F迭代还应有循环(59,79,105,70,93,62,83,111,74,99,66,44)

G迭代还能有别的循环吗为了找到别的循环,人们想到了下面的巧妙方法:

由于G迭代使后项是前项的3/2(当前项是偶数时)或近似的3/4(当前项是奇数)如果G迭代中出现循环,比如迭代的第t项at与第s项as重复(t<s):at=as但

as/as-1,as-1/as-2,at+1/at

或等于3/2,或者近似于3/22,因而

1=as/at=as/as-1as-1/as-2at+1/at≈3m/2n

这里 m=s-t,m < n

即 2n≈3m

log22n≈log23m

故 n/m≈log23

这就是说,为了寻找出有重复的项(即有循环),应求出log23的渐进分数n/m,且m可能是一个循环所包含的数的个数,即循环的长度

log23展开成连分数后,可得到下列紧缺度不同的渐进分数:

log23≈2/1,3/2,8/5,19/12,65/41,84/53,485/306,1054/665,24727/15601,

渐进分数2/1表明,31≈22,循环长度应为1实际上恰存在长度为1的循环(1)

渐进分数3/2表明,32≈23,循环长度应为2实际上恰存在长度为2的循环(2,3)

渐进分数8/5表明,35≈28,循环长度应为5实际上恰存在长度为5的循环(4,6,9,7,5)

渐进分数19/12表明,312≈219,循环长度应为12,实际上恰存在长度为12的循环(44,66,59)

这四个渐进分数的分母与实际存在的循环长度的一致性,给了人们一些启发与信心,促使人们继续考虑:是否存在长度为41,53,306,665,15601,的循环令人遗憾的是,已经证明长度是41,53,306的循环肯定不存在,那么,是否会有长度为665,15601,的循环呢

F迭代与G迭代究竟能有哪些循环呢人们正在努力探索中!

[编辑本段]角谷猜想 深度扩展

任给一个正整数n，如果n能被a整除，就将它变为n/a,如果除后不能再整除，则将它乘b加c（即bn+c）。不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到d吗？ 对此题的答案只能有3种 ：1不一定 2一定不 3一定都

以下都是一定都的情况

一 a=b=c=d=m

二 a=m b=1 c=-1 d=0

三 a=m b=c=d=1

四 a=2 b=2^m-1 c=-1 d=1

以上（m>1)

五 a=2 b=2^m-1 c=1 d=1

六 a=2 b=c=d=2^m-1

以上m为任意自然数

最简单的情况：

a=b=c=d=2

a=2 b=1 c=1 d=1

a=2 b=1 c=-1 d=0

原题只是五的当m=2情况 据说中国有许多人会证明了原题 原题只是扩展的一个及其微小的部分

以上数据全部成立 没有一个反例 这道题非常短小 却隐含着非常丰富的数学思想的需要用到的东西非常多 那些定理 公式都非常完美 可以表达非常普遍的数学规律 这是一个数学问题而不是什么猜想 绝对成立的 此题重在培养学生的独立思考问题的能力 以及逆向思维

其实这道题非常简单

不知道是不是整体证法了

对以上情况的整体证法第一步：

先构造一个2元函数 这个函数揭示了一个秘密 ：把能够被a整除的全部的自然数都转化成不能被a的自然数 f(x,y) 有a

五 a=2 b=2^m-1 c=1 d=1

用数学归纳 整除规律 因式分解 自然数拆分证明：

(2^(mn)-1)/(2^n-1)=e

当m和n为自然数时，e为奇数

m=1 A1=(1)

m=2 A2=(1,5)

m=3 A3=(1,9,11)

m=4 A4=(1,17,19,23)

m=5 A5=(1,33,35,37,39)

m=6 A6=(1,65,67,71,73,79)

的组合无限数列A()的通项公式 各小项都不能被2的m次方-1整除

这个组合数列是非常简单的 只是无数个等差数列的首项

先讲以下七个案例吧，每一个都是好玩的。

1 密码学鬼才王♂琦提过，拿π的任意一段比较长的小数序列统计一下，就会发现各个数字出现的频率基本一样，这说明π很有可能是正规的，即0到9均匀地发布在π的各个位上。

你拿出π中的某一段数字，比如12347，问下一个数字最可能是0到9中的哪个？结果每一个数字出现的概率都差不多。目前二进制形式的π的正规性已经被证明了，但十进制的至今还没有人能证明出来。

另外，在1897年，美国有个业余的数学家试图让印第安纳州议会来通过所谓的印第安纳圆周率法案，希望以法律的形式强制规定π=32，因为这样就能巧妙地解决化圆为方等一系列的问题！妙啊，实在是妙啊！

最终，该法案虽然通过了印第安纳州众议院的表决，但是被参议院否决了。

2 1744年欧拉证明了e是无理数，1761年Lambert证明了π也是无理数。又过了一百多年，法国的Hermite在1873年最终证明了e是超越数（即它不是任何有理系数多项式的根）。

那么，请问，e+π 是否是无理数？谁也不知道，连王琦都证明不出！

另外，百度知道写的什么玩意儿，1761年怎么就成了17世纪了？按这个逻辑岂不是二十世纪才是生物的世纪？！！

——————— 啊，又写了不少 ———————

3 完美长方体问题

是否存在一个棱长、面对角线和体对角线都是整数的长方体？

就是求

这一方程组的正整数解。如果有，这个由a,b,c构成的长方体就是一个完美长方体。

目前还没有找到任何完美长方体，也没有人证明完美长方体不存在。

4 奇完全数存在性

有没有一个完全数是奇数呢？

当一个整数的所有真因子（即除了自身以外的约数）之和，恰好等于它本身时，我们称这个数是一个完全数。

比如说：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3＝6，恰好等于本身。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14＝28，也恰好等于本身。

目前我们发现的所有完全数都是偶数，那可不可能存在一个奇数也是完全数呢？不知道。

5 孪生素数猜想

是否存在无穷多个素数p，使得p + 2也是素数？

如果p和p + 2都是素数，那么他们俩称合在一起为一对孪生素数。

这个问题最重要的进展是由张益唐做出来的，他证明了存在无穷多个素数p，使得p + c也是素数，其中的c<70000000。

当然后来很多人改进了他的方法，目前已经证明了c<=246。

遗憾的是，这个改进的作用是有限的，各种理论计算结果表明，最多最多能改进到使得c<=6。张益唐和陶哲轩都承认了这一点。

评论区里有人说我这部分内容抄了别人的，我冷冷一笑：请问您是最近一两个月看了一个关于张益唐和南科大的高赞回答吗？没想到吧，那就是我写的。

我  抄  我  自  己 。

6 哥德巴赫猜想

任意一个大于2的偶数，都能表示成两个素数之和。

众所周知，对于这个问题目前最接近的结果是陈景润做出来的，他用筛法证明了每一个大于4的偶数E都等于两个奇素数之和A+B或者是两个奇素数的积与和一个奇素数之和AB+C。（他真的不是在证明1+2＝3这种幼儿园算术题！）

从那以后，几十年的时间里还是没有人解决这个问题，因为筛法已经用到极致了，现在需要新的方法了。这个新方法什么时候能出现呢？也许是明天，也许是三百年以后。

将一个偶数用两个素数之和表示的方法，等于同一横线上，蓝线和红线的交点数

7冰雹猜想

这个猜想有很多别名，比如3n+1猜想、角谷猜想，它是说：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1，如果它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1。

如n = 6，根据上述数式，得出序列6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1。

如n = 11，根据上述数式，得出序列11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1。

如n = 27，根据上述数式，得出序列

27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

冰雹的最大魅力在于不可预知性。比如说这个27，虽然是一个貌不惊人的自然数，但是如果按照上述方法进行运算，则它的上浮下沉异常剧烈：首先，27要经过77个步骤的变换到达顶峰值，然后又经过34个步骤到达谷底值1。一共有111步，其中的峰值9232是原有数字27的342倍！

一代天骄保罗·埃尔多斯就说过他要奖500块钱给解决这个问题的人（呃，虽然钱并不多……）， Jeffrey Lagarias 甚至在2010年表示：“这个问题难到逆天，现代数学甭想整出来！”

截止至2017年，我们一个个地算啊算，已经算到了 87 2^60，还是没找到例外的情况。但是这并不能证明对于任何大小的数，这猜想都能成立。

我不由得想到很多年前有人一辈子都在算哥德巴赫猜想，希望找到一个不能分解成两个素数之和并且比2大的偶数，结果到死也没找到……我估计他们都想到了欧拉。你说欧拉多幸运啊，当年他算费马数，只算了第六个费马数就发现费马的素数生成公式是错的，这要是第十个、第二十个才是错的呢？那还不知道要算多久！

谢谢你的关注

123黑洞——任意N位数的归敛的卡普雷卡尔黑洞 。

取任何一个4位数（4个数字均为同一个数字的例外），将组成该数的4个数字重新组合成可能的最大数和可能的最小数，再将两者的差求出来；对此差值重复同样的过程（例如：开始时取数8028，最大的重新组合数为8820，最小的为0288，二者的差8532。重复上述过程得出8532－2358＝6174），最后总是达到卡普雷卡尔黑洞：6174。称之“黑洞”是指再继续运算，都重复这个数，“逃”不出去。把以上计算过程称为卡普雷卡尔运算，这个现象称归敛，其结果6174称归敛结果。

一, 任意N位数都会类似4位数那样归敛(1、2位数无意义) 3位数归敛到唯一一个数495; 4位数归敛到唯一一个数6174; 7位数归敛到唯一一个数组( 8个7位数组成的循环数组______称归敛组);其它每个位数的数归敛结果分别有若干个,归敛数和归敛组兼而有之(如14位数____共有9×10的13次方个数____的归敛结果有6个归敛数,21个归敛组)

一旦进入归敛结果,继续卡普雷卡尔运算就在归敛结果反复循环,再也“逃”不出去。

归敛组中各数可以按递进顺序交换位置 (如a → b → c 或 b → c → a 或c → a → b)

归敛结果可以不经过卡普雷卡尔运算就能从得出

某个既定位数的数,它的归敛结果的个数是有限的,也是确定的

二,较多位数的数(命它为N)的归敛结果是由较少位数的数(命它为n, N＞n)的归敛结果,嵌加进去一些特定的数或数组而派生形成 4、6、8、9、11、13的归敛结果中的8个称基础数根它们是派生所有任意N位数的归敛结果的基础 （即西西弗斯串）

数学中的123就跟英语中的ABC一样平凡和简单。然而，按以下运算顺序，就可以观察到这个最简单的

黑洞值：

设定一个任意数字串，数出这个数中的偶数个数，奇数个数，及这个数中所包含的所有位数的总数，

例如：1234567890，

偶：数出该数数字中的偶数个数，在本例中为2，4，6，8，0，总共有 5 个。

奇：数出该数数字中的奇数个数，在本例中为1，3，5，7，9，总共有 5 个。

总：数出该数数字的总个数，本例中为 10 个。

新数：将答案按 “偶-奇-总” 的位序，排出得到新数为：5510。

重复：将新数5510按以上算法重复运算，可得到新数：134。

重复：将新数134按以上算法重复运算，可得到新数：123。

结论：对数1234567890，按上述算法，最后必得出123的结果，我们可以用计算机写出程序，测试出对任意一个数经有限次重复后都会是123。换言之，任何数的最终结果都无法逃逸123黑洞。

“123数学黑洞（西西弗斯串）”现象已由中国回族学者秋屏先生于2010年5月18日作出严格的数学证明，请看他的论文：《“数学黑洞（西西弗斯串）”现象与其证明》（正文网址在“扩展阅读”中）。自此，这一令人百思不解的数学之谜已被彻底破解。此前，美国宾夕法尼亚大学数学教授米歇尔·埃克先生仅仅对这一现象作过描述介绍，却未能给出令人满意的解答和证明。

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数学黑洞有哪些 黑洞是什么

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什么是数学黑洞

对于数学黑洞，无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去了，就像宇宙 中的黑洞可以将任何物质（包括运行速度最快的光）牢牢吸住，不使它们逃脱一样。数学中的123就跟英语中的ABC一样平凡和简单。然而，按以下运算顺序，就可以观察到这个最简单的黑洞值：设定一个任意数字串，数出这个数中的偶数个数，奇数个数，及这个数中所包含的所有位数的总数，例如：1234567890，偶：数出该数数字中的偶数个数，在本例中为2，4，6，8，0，总共有 5 个。奇：数出该数数字中的奇数个数，在本例中为1，3，5，7，9，总共有 5 个。总：数出该数数字的总个数，本例中为 10 个。新数：将答案按 \“偶-奇-总” 的位序，排出得到新数为：5510。重复：将新数5510按以上算法重复运算，可得到新数：134。重复：将新数134按以上算法重复运算，可得到新数：123。结论：对数1234567890，按上述算法，最后必得出123的结果，我们可以用计算机写出程序，测试出对任意一个数经有限次重复后都会是123。换言之，任何数的最终结果都无法逃逸123黑洞。

79赞·617浏览2016-12-01

数学黑洞 什么是黑洞数

对于数学黑洞，无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去了，就像宇宙中的黑洞可以将任何物质，以及运行速度最快的光牢牢吸住，不使它们逃脱一样。这就对密码的设值破解开辟了一个新的思路。 中文名 数学黑洞 外文名 Digital black hole 应用 密码破解 实例 西西弗斯串、卡普雷卡尔常数等 实例 123数学黑洞 123数学黑洞，即西西弗斯串。[1][2][3][4] 西西弗斯串可以用几个函数表达它，我们称它为西西弗斯级数，表达式如下： F 是一级原函数，k级通项式为它的迭代循环 它的vba程序代码详细底部目录 数学黑洞 设定一个任意数字串，数出这个数中的偶数个数，奇数个数，及这个数中所包含的所有位数的总数， 例如：1234567890， 偶：数出该数数字中的偶数个数，在本例中为2，4，6，8，0，总共有 5 个。 奇：数出该数数字中的奇数个数，在本例中为1，3，5，7，9，总共有 5 个。 总：数出该数数字的总个数，本例中为 10 个。 新数：将答案按 “偶-奇-总” 的位序，排出得到新数为：5510。 重复：将新数5510按以上算法重复运算，可得到新数：134。 重复：将新数134按以上算法重复运算，可得到新数：123。 结论：对数1234567890，按上述算法，最后必得出123的结果，我们可以用计算机写出程序，测试出对任意一个数经有限次重复后都会是123。换言之，任何数的最终结果都无法逃逸123黑洞。 为什么有数学黑洞“西西弗斯串”呢？ （1）当是一个一位数时，如是奇数，则k=0，n=1，m=1，组成新数011，有k=1，n=2，m=3，得到新数123； 如是偶数，则k=1，n=0，m=1，组成新数101，又有k=1，n=2，m=3，得到123。 （2）当是一个两位数时，如是一奇一偶，则k=1，n=1，m=2，组成新数112，则k=1，n=2，m=3，得到123； 如是两个奇数，则k=0，n=2，m=2，组成022，则k=3，n=0，m=3，得303，则k=1，n=2，m=3，也得123； 如是两个偶数，则k=2，n=0，m=2，得202，则k=3，n=0，m=3，由前面亦得123。 （3）当是一个三位数时，如三位数是三个偶数字组成，则k=3，n=0，m=3，得303，则k=1，n=2，m=3，得123； 如是三个奇数，则k=0，n=3，m=3，得033，则k=1，n=2，m=3，得123； 如是两偶一奇，则k=2，n=1，m=3，得213，则k=1，n=2，m=3，得123； 如是一偶两奇，则k=1，n=2，m=3，立即可得123。 （4）当是一个M（M>3）位数时，则这个数由M个数字组成，其中N个奇数数字，K个偶数数字，M=N+K。 由KNM联接生产一个新数，这个新数的位数要比原数小。重复以上步骤，一定可得一个三位新数knm。 以上仅是对这一现象产生的原因，简要地进行分析，若采取具体的数学证明，演绎推理步骤还相当繁琐和不易。直到2010年5月18日，关于“123数学黑洞（西西弗斯串）”现象才由中国回族学者秋屏先生于作出严格的数学证明，并推广到六个类似的数学黑洞（“123”、“213”、“312”、“321”、“132”和“231”），这是他的论文：《“西西弗斯串（数学黑洞）”现象与其证明》（正文网址在该词条最下面的“参考资料”中，可点击阅读）。自此，这一令人百思不解的数学之谜已被彻底破解。此前，美国宾夕法尼亚大学数学教授米歇尔·埃克先生仅仅对这一现象作过描述介绍，却未能给出令人满意的解答和证明。[4] 可用Pascal语言完成： Var n, j, e, z, z1, j1, t: longint; Begin readln(n); t := 0; repeat e := 0; j := 0; z := 0; while n > 0 do begin if n mod 10 mod 2 = 0 then e := e + 1 else j := j + 1; z := z + 1; n := n div 10; end; if j < 10 then j1 := 10 else j1 := 100; if z < 10 then z1 := 10 else z1 := 100; n := e j1 z1 + j z1 + z; writeln(n); t := t + 1; until n = 123; writeln(’t = ’, t); readln; End Python代码实现： def num_calculate(str_number): even, ood = [], [] for i in str_number: if int(i) % 2 == 0: evenappend(i) else: oodappend(i) str_list = ""join([str(len(even)), str(len(ood)), str(len(even)+len(ood))]) return str_list def BlackHole(str_number): i = 0 number = num_calculate(str_number) while 1: i += 1 print('第{}次:{}'format(i, number)) number = num_calculate(number) if int(number) == 123: print('第{}次:{}'format(i, number)) break if __name__ == '__main__': BlackHole(input("随意输入一个数字: ")) 6174数学黑洞 （即卡普雷卡尔（Kaprekar）常数） 比123黑洞更为引人关注的是6174黑洞值，它的算法如下： 取任意一个4位数（4个数字均为同一个数的，以及三个数字相同，另外一个数与这个数相差1，如1112，,6566等除外），将该数的4个数字重新组合，形成可能的最大数和可能的最小数，再将两者之间的差求出来；对此差值重复同样过程，最后你总是至达卡普雷卡尔黑洞6174，到达这个黑洞最多需要14个步骤。 例如： 大数：取这4个数字能构成的最大数，本例为：4321； 小数：取这4个数字能构成的最小数，本例为：1234； 差：求出大数与小数之差，本例为：4321-1234=3087； 重复：对新数3087按以上算法求得新数为：8730-0378=8352； 重复：对新数8352按以上算法求得新数为：8532-2358=6174； 结论：对任何只要不是4位数字全相同的4位数，按上述算法，不超过9次计算，最终结果都无法逃出6174黑洞； 比起123黑洞来，6174黑洞对首个设定的数值有所限制，但是，从实战的意义上来考虑，6174黑洞在信息战中的运用更具有应用意义。 设4位数为 XYZM，则X-Y=1;Y-Z=2;Z-M=3;时，永远出现6174，因为123黑洞是原始黑洞，所以…… 自幂数 除了0和1自然数中各位数字的立方之和与其本身相等的只有153、370、371和407（此四个数称为“水仙花数”）。例如为使153成为黑洞，我们开始时取任意一个可被3整除的正整数。分别将其各位数字的立方求出，将这些立方相加组成一个新数然后重复这个程序。 除了“水仙花数”外，同理还有四位的“玫瑰花数”（有：1634、8208、9474）、五位的“五角星数”（有54748、92727、93084），当数字个数大于五位时，这类数字就叫做“自幂数”。 冰雹猜想（角谷猜想） 冰雹猜想来历 1976年的一天，《华盛顿邮报》于头版头条报道了一条数学新闻。文中记叙了这样一个故事： 70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩弄一种数学游戏。这个游戏十分简单：任意写出一个自然数N（N≠0），并且按照以下的规律进行变换： 如果是个奇数，则下一步变成3N+1。 如果是个偶数，则下一步变成N/2。 不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入。为什么这种游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论N是怎样一个非零自然数，最终都无法逃脱回到谷底1。准确地说，是无法逃出落入底部的4-2-1循环，永远也逃不出这样的宿命。 这就是著名的“冰雹猜想”，又名角谷猜想。 强悍的27 冰雹的最大魅力在于不可预知性。英国剑桥大学教授John Conway找到了一个自然数27。虽然27是一个貌不惊人的自然数，但是如果按照上述方法进行运算，则它的上浮下沉异常剧烈：首先，27要经过77步骤的变换到达顶峰值9232，然后又经过32步骤到达谷底值1。全部的变换过程（称作“雹程”）需要111步，其顶峰值9232，达到了原有数字27的342倍多，如果以瀑布般的直线下落（2的N次方）来比较，则具有同样雹程的数字N要达到2的111次方。其对比何其惊人！ 但是在1到100的范围内，像27这样的剧烈波动是没有的（54等27的2的次方倍数的数除外）。 验证规律 经过游戏的验证规律，人们发现仅仅在兼具4k和3m+1（k,m为自然数）处的数字才能产生冰雹猜想中“树”的分叉。所以在冰雹树中，16处是第一处分叉，然后是64……以后每隔一节，产生出一支新的支流。 自从Conway发现了神奇的27之后，有专家指出，27这个数字必定只能由54变来，54又必然从108变来，所以，27之上，肯定可以出现不亚于2n的强大支流——33×2n(n=1，2，3……)，然而，27到4-2-1数列和本流2到4-2-1数列要遥远的多。按照机械唯物论的观点，从27开始逆流而上的数列群才能叫做本源，尽管如此，按照“直线下泻”的观点，一般依然把1-2-4-8……2n的这一支看作是“干流”。 又称为角谷猜想，因为是一个名叫角谷的日本人把它传到中国。 数列验证法，此方法是根据冰雹猜想的验证规则而建立的一种验证方法，是以无限的数列来对付无限的自然数。不管是等差的还是变差的，都是可以直接带进去计算的 首项差是偶数，那么数列上的所有自然数都是偶数，全体数列除于2，如果首项是奇数公差是偶数，那么数列上全体自然数都是奇数，全体乘上3再加1。如果公差是奇数，首项也是奇数，那么第奇数项必定都是奇数则乘上3再加1，第偶数项必定都是偶数,则除于2。如果公差是奇数，首项是偶数，那么第奇数项必定都是偶数，则除于2，第偶数项必定都是奇数，则乘上3再加1。按照这样的计算规则计算下去，会遇到许多新的问题，考验验证者的智商。比如偶数的通项公式是2n，因为都是偶数所以除于2，得到n，这就是自然数。 按照忽略偶数不记录的验证方法进行验证，第一个被验证的奇数有可能是能被3整除的奇数，也有可能是不能被3整除的奇数。但是所到达所归结的第二个奇数，以及第三个奇数（假设存在），整个过程所到达所遇到所归结所访问到的每一个奇数，必定都不能再被3整除了。如果都从从能被3整除的奇数开始验证，路径上所遇到所归结的所到达所访问到的每一个奇数都必定不能再被3整除了，最终都能归结于1，那么必定遍历所有的奇数（遍历是离散数学的概念）。如果都从不能被3整除的奇数开始验证，那么路径上所遇到所到达所归结的所访问到的每一个奇数必定都不可能再被3整除了，最终都归结于1（等于说是漏下能被3整除的奇数没有被验证）。所以在顺向的冰雹猜想验证过程中，可以把能被3整除的奇数都命名为最起始点的奇数，1是终止点的奇数，而在逆向的冰雹猜想验证过程中则是相反的，1是最起始点的奇数，而能被3整除的奇数则是终止点的奇数。事实上在验证的过程中，不能被3整除的奇数，都在存在数量无穷多的上一步的奇数，占1/3的比例是能被3整除的奇数，占2/3的比例是不能被3整除的奇数，这一现象都跟自然数的情况出奇地巧合了这一规律，无论是单个奇数的验证方法，还是数列验证法必须遵守。在能被3整除的奇数之前的，只有能被3整除的偶数，没有任何奇数。最起始点的奇数在15 x-7 或者是在7x-5的时候就不是能不能被15整除或者被7整除这么简单了 存在X1，使得X13+1之后只能被1个2整除，之后就是奇数，这一类奇数占奇数总量的1/2； 存在X2，使得X23+1之后只能被2个2整除，之后就是奇数，这一类奇数占奇数总量的1/4； 存在X3，使得X33+1之后只能被3个2整除，之后就是奇数，这一类奇数占奇数总量的1/8； 以此类推从逆推定理出发，可以很方便地找到，X1,X2,X3,X4,X5的通项公式 7X-3的平衡点是： 当N=2个未知数的时候 3（4+7）=7^2-4^2 假设当 N+1= K的时候也是相等的 就是 3（4^（K-1）+74^(K-2)+7^24^（K-3）++7^（K-3）4^2+7^（K-2）4+7^（K-1））=7^K-4^K 然后再讨论：当 K=K+1的时候能不能相等 ，这个问题我算过了， 是成立的。 导致奇数在验证过程中爬升的本质就是以3换2，而下降的原因就在于只剩最后一个2了时候， 卡普雷 简介 取任何一个4位数（4个数字均为同一个数字的例外），将组成该数的4个数字重新组合成可能的最大数和可能的最小数，再将两者的差求出来；对此差值重复同样的过程（例如：开始时取数8028，最大的重新组合数为8820，最小的为0288，二者的差8532。重复上述过程得出8532－2358=6174），最后总是达到卡普雷卡尔黑洞：6174。称之“黑洞”是指再继续运算，都重复这个数，“逃”不出去。把以上计算过程称为卡普雷卡尔运算，这个现象称归敛，其结果6174称归敛结果。 一，任意N位数都会类似4位数那样归敛（1、2位数无意义） 3位数归敛到495; 4位数归敛到6174; 7位数归敛到唯一一个数组（8个7位数组成的循环数组______称归敛组）；其它每个位数的数归敛结果分别有若干个，归敛数和归敛组兼而有之（如14位数____共有9×10的13次方个数____的归敛结果有6个归敛数，21个归敛组） 一旦进入归敛结果，继续卡普雷卡尔运算就在归敛结果反复循环，再也“逃”不出去。 归敛组中各数可以按递进顺序交换位置 （如a → b → c 或 b → c → a 或c → a → b) 归敛结果可以不经过卡普雷卡尔运算就能从得出 某个既定位数的数，它的归敛结果的个数是有限的，也是确定的 二，较多位数的数（命它为N）的归敛结果是由较少位数的数（命它为n,N﹥n）的归敛结果，嵌加进去一些特定的数或数组而派生形成 4、6、8、9、11、13的归敛结果中的8个称基础数根它们是派生所有任意N位数的归敛结果的基础 分类 1，嵌加的数分三类。 第一类是数对型，有两对：1）9，0 2）3，6 第二类是数组型，有一组： 7，2 5，4 1，8 第三类是数字型，有两个： 1） 5 9 4 2） 8 6 4 2 9 7 5 3 1 2，嵌入数的一部分嵌入前段中大于或等于嵌入数的最末一个数字的后邻位置。另一部分嵌入后段相应位置_____使与嵌入前段的数形成层状组数结构。 594只能嵌入n=3+3k 这类数。如9、12、15、18……位。 3，（9，0）（3，6）两对数可以单独嵌入或与数组型、数字型组合嵌入。 数组 7，2 5，4 1，8 必须“配套”嵌入并按顺序：（7，2）→（5，4）→（1，8） ；或 （5，4）→（1，8）→（7，2） 或 （1,8） →（7,2） →（5,4）。 4，可以嵌如一次、二次或若干次 （则形成更多位数的归敛结果）。 任意N位数的归敛结果都 “隐藏”在这N位数中，卡普雷卡尔运算只是找出它们而不是新造成它们。 “6174数学黑洞”现象的参考资料 1．美国《新科学家》，1992，12，19 2．中国《参考消息》，1993，3，14-17 3．王景之： ⑴ 也谈数学“黑洞”——关于卡普雷卡尔常数。 ⑵ 我演算得到的一部分归敛结果。 4．天山草：能够进行任意多位数卡普雷卡尔（卡布列克） 运算的程序。 *** 作演示 上文对6174黑洞运算过程进行了演示，以下用C演示了对任一四位数（不全相同，如2222）计算过程，并总计了一共 *** 作的步骤。编译连接后，输入输出结果如右图所示： 6174黑洞运算 *** 作演示 #include void insertSort(int r[], int len) { int i, k, tmp; for(i = 1; i < len; i++) { k = i - 1; tmp = r[i]; while(k >= 0 && r[k] > tmp) { r[k+1] = r[k]; k--; } r[k+1] = tmp; } } void main() { int N, count, end, s; int r[4]; int max, min; printf("请输入一个任意的四位正整数（全相同的除外，如1111）："); scanf("%d", &N); count = 0; end = 0; s = N; while (end != 6174) { r[0] = s % 10; r[1] = s / 10 % 10; r[2] = s / 100 % 10; r[3] = s / 1000; insertSort(r, 4); max = 1000 r[3] + 100 r[2] + 10 r[1] + r[0]; min = 1000 r[0] + 100 r[1] + 10 r[2] + r[3]; end = max - min; count++; printf("第%d步：%d-%d=%d\n", count, max, min, end); s = end; } printf("%d一共经过了%d步得到了6174\n", N, count); } 纠错 参考资料 [1] 1新浪网《“西西弗斯串（数学黑洞）”现象与其证明》，2010-05-18 [2] 2美国《新科学家》，1992-12-19 [3] 3中国《参考消息》，1993-3-14~17 搜索发现 数学思维培训 有趣的数学黑洞 数学黑洞之 吴越府 数学 开眼镜店需要什么 数学计划 回收废铜废铝 猜你关注 废铜回收找昌盈金属，专业回收各种废旧物资，量少勿扰 dlbcjstop广告 废铝回收 选择大连云平物资回收，收价高 可上门 dlyunpingcn广告 鸿达物资回收专做废旧金属回收 经验丰富，诚信经营 dlxhzycn广告 HOT 百科问卷调研来啦~陈情令的剧情由你来定！ 词条贡献统计 本词条由网友凿冰堂主创建，麦克风大金刚、很反常的一个人、as445512、符元彰等参与编辑。 查看全部 词条有帮助，感谢贡献者

20赞·1,943浏览2020-01-16

都有哪几种数学黑洞

123黑洞 （即西西弗斯串） ： 设定一个任意数字串，数出这个数中的偶数个数，奇数个数，及这个数中所包含的所有位数的总数， 例如：1234567890， 偶：数出该数数字中的偶数

答案：23,70,35,106,53,160,80,40,20,10，5, 16, 8, 4, 2, 1。

以下是冰雹猜想的描述：

冰雹猜想

证明也很简单：就是凡是算到23^n-1的必然会回到1。（题中23算到的53就是一个）

暴力破解法：

f[000000001] = 1

f[000199981] = 199981

f[000199982] = 199982

f[000199983] = 199983

f[000199984] = 199984

f[000199985] = 199985

f[000199986] = 199986

f[000199987] = 199987

f[000199988] = 199988

f[000199989] = 199989

f[000199990] = 199990

f[000200000] = 200000

f[000200001] = 200001

f[001599981] = 1599981

f[001599982] = 1599982

可以看出下一个n是199981，满足f(n) = n。

不用程序，手算也可以求解。f(n) = n 表示 y = f(n) 和 y = n 的交点，通过观察 y = f(n) 的变化可以估计交点的范围。f(n) 的一些关键点如下：

f(9) = 1

f(99) = 20

f(999) = 300

f(9999) = 4000

f(99999) = 50000

f(999999) = 600000

这是非常有规律的，同时另外一些观点如下：

f(19) = 12 (f(9)2 + 110 )

f(199) = 140 (f(99)2 + 1100)

f(1999) = 1600 (同上)

f(19999) = 18000

f(199999) = 200000

f(1999999) = 2200000

它也是很有规律的，它们分别是 y = f(n) - n 的局部极小值点和极大值点。

由于 f(99999) = 50000 < 99999 而 f(199999) = 200000 > 199999, 则这区间内必有交点

199991中包含两个1，它之前的199981也包含两个1，则当 199981 <= n < 199991 时，都有 f(n) = n 成立。199981即为要求的下一个满足条件的数。

题目要求不是若是奇数，乘3加1，若是偶数/2，你的程序怎么反一反啊？应该是c%2==1吧！还有楼上的程序也不好啊，如果一上来输入1就直接返回1了，干吗还要经过（num%2==1)

import javaio;

public class Jiegu{

public static void main(String args[]) throws IOException{

int c;

c=(int)Systeminread();

Systemoutprint(dgui(c));

}

static int dgui(int c){

if(c==1)

return 1;

else if (c%2==0)

return dgui(c/2);

else

return 3c+1;

}

}

}

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