快速傅里叶变换fft原理

基础原理讲述：

FFT（快速傅里叶变换）：

FFT算法是DFT算法的改良版，而DFT是FFT的离散化。理解FFT，就从傅里叶变换到DFT再到FFT的思路进行推导。笔者也会按照这样的思路进行讲解推导。

傅里叶变换：

傅里叶变换是傅里叶级数的推广，所以在谈傅里叶变换之间，先说一下傅里叶级数。在大学期间学习无穷级数有相关基础的同学可以跳着看。

傅里叶级数：

傅里叶级数是把类似波的函数表示成简单正弦波的方式，更严肃来说的话：对于满足狄利克雷定理的周期函数，其傅里叶级数是由一组简单的振荡函数加权和表示的，表示周期函数为正弦波和余弦波之和。和或谐波（谐波频率是原周期信号频率整数倍的波），可以用谐波分析开确定每一个谐波的相位和幅度。傅里叶级数中就可能有无限谐波数。对于函数的傅里叶级数的部分但不是所有的谐波求和会产生该函数的近似值，例如：傅里叶级数前几个谐波用于方波就会产生方波的近似值。

方波（表示为蓝点）近似为其第六部分和（表示为紫点），由方波傅里叶级数的前六项（表示为箭头）求和形成。每个箭头从其左侧所有箭头的垂直总和开始（即先前的部分总和）

方波的傅立叶级数的前四个部分和。随着更多谐波的添加，部分和会收敛到（变得越来越像）

贝塞尔函数积分在某些情况下确实会出现波动。这种波动可能与积分上下限有关，比如积分上下限较大或较小，或者积分号内的指数或函数表达式不平滑等因素。根据不同情况，可能需要针对性地制定积分方法或求积办法。

此外，波动的出现也可能是由于数值计算不精确或误差较大导致的。这一点在使用计算机数值积分方法时比较突出。在进行数值计算时，应该尽可能防止被计算的数值发生数值溢出或绝对误差较大的问题，尤其在计算机计算时，需要谨慎选择数值计算方法。

总之，出现波动的原因可能是多种多样的，需要根据实际情况进行针对性的分析和处理。

振荡函数通常不被认为是初等函数。初等函数是指可以用基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数函数）及其有限次四则运算和复合运算（如求导、积分、极限等）得到的函数。而振荡函数通常是由三角函数、指数函数、对数函数等复合而成，或者是无法用基本初等函数表示的特殊函数，因此不属于初等函数的范畴。

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