堆和堆排序

1，堆是一个完全二叉树；

完全二叉树要求除了最后一层，其他层的节点都是满的，最后一层的节点都靠左排列。

2，堆中每个节点都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值。

堆中每个节点的值都大于等于（或者小于等于）其左右子节点的值。

3，对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆，叫作“大顶堆”。对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆，叫“小顶堆”。

要实现一个堆，要先知道堆都支持哪些 *** 作，已及如何存储一个堆。

1，如何存储一个堆：

完全二叉树比较适合用数组来存储。用数组来存储完全二叉树是非常节省存储空间的。因为不需要存储左右子节点的指针，单纯地通过数组的下标，就可以找到一个节点的左右子节点和父节点。

2，往堆中插入一个元素

往堆中插入一个元素后，需要继续满足堆的两个特性

（1）如果把新插入的元素放到堆的最后，则不符合堆的特性了，于是需要进行调整，让其重新满足堆的特性，这个过程叫做 堆化（heapify）

（2）堆化实际上有两种，从下往上和从上往下

（3）从下往上的堆化方法：

堆化非常简单，就是顺着节点所在的路径，向上或者向下，对比，然后交换。

（1）从堆的定义的第二条中，任何节点的值都大于等于（或小于等于）子树节点的值，则堆顶元素存储的就是堆中数据的最大值或最小值。

（2）假设是大顶堆，堆堆顶元素就是最大的元素，但删除堆顶元素之后，就需要把第二大元素放到堆顶，那第二大元素肯定会出现在左右子节点中。然后在迭代地删除第二大节点，以此类推，直到叶子节点被删除。

但这种方式会使堆化出来的堆不满足完全二叉树的特性

（3）可以把最后一个节点放到堆顶，然后利用同样的父子节点对比方法，对于不满足父子节点大小关系的，互换两个节点，并且重复进行这个过程，直到父子节点之间满足大小关系为止，这是从上往下的堆化方法。

一个包含n个节点的完全二叉树，树的高度不会超过log2n。堆化的过程是顺着节点所在路径比较交换的，所以堆化的时间复杂度跟树的高度成正比，即O(log n)。插入数据和删除堆顶元素的主要逻辑就是堆化，所以往堆中插入一个元素和删除堆顶元素的时间复杂度都是O(log n)。

（1）排序方法有时间复杂度是O(n^2)的冒泡排序，插入排序，选择排序，有时间复杂度是O（nlogn）的归并排序，快速排序，线性排序。

（2）借助堆这种数据结构实现的排序算法就叫作堆排序，这种排序方法的时间复杂度非常稳定，是O(nlogn)，并且它还是原地排序算法。

堆排序的过程大致分解为两大步骤：建堆和排序

（3）建堆：

1，首先将数组原地建成一个堆。“原地”：是指不借助另一个数组，就在原地数组上 *** 作。

2，建堆有两种思路：

第一种：在堆中插入一个元素的思路。

尽管数组中包含n个数据，但是可以假设起初堆中只包含一个数据，就是下标为1的数据。然后，调用插入方法，将将下标从2到n的数据依次插入到堆中，这样就将包含n个数据的数组，组织成了堆

第二种：是从后往前处理数组，并且每个数据都是从上往下堆化。

第二种和第一种思路截然相反，第一种建堆思路的处理过程是从前往后处理数据，并且每个数据插入堆中时，都是从下往上堆化。

对下标从n/2开始到1的数据进行堆化，下标是n/2 + 1到n的节点，是叶子节点，不需堆化

3，建堆的时间复杂度

每个节点堆化的时间复杂度是O(logn)，则n/2+1个节点堆化的总时间复杂度是O(n)。

①：因为叶子节点不需要堆化，所以需要堆化的节点从倒数第二层开始。每个节点堆化的过程中，需要比较和交换的节点个数，跟这个节点高度k成正比。

（4）排序：

建堆结束后，数组中的数据已是按照大顶堆的特性来组织的。数组中的第一个元素就是堆顶，也就是最大的元素。

将它和最后一个元素交换，最大元素就放到了下标为n的位置

这个过程有点类似“删除堆顶元素”的 *** 作，当堆顶元素移除后，把下标为n的元素放到堆顶，然后在通过堆化的方法，将剩下的n-1个元素重新构建成堆。堆化完成之后，在取堆顶元素，放到下标是n-1的位置，一直重复这个过程，直到最后堆中只剩下标为1的一个元素，排序工作就完成了。

（5）时间，空间复杂度，以及稳定性分析

①：整个堆排序的过程，都只需要极个别临时存储空间，所以堆排序是原地排序算法。

②：堆排序包括建堆和排序两个 *** 作，建堆过程的时间复杂度是O(n)，排序过程的时间复杂度是O(nlogn),所以堆排序的时间复杂度是O(nlogn)

③：堆排序不是稳定的排序算法，可能改变值相等的数据原始相对顺序。

堆排序和topN算法:

topN算法，第一次调用topN，然后把海量数据一次和小顶堆第一个比较，如果>第一个元素，就交换，然后调用minHeapify方法排序一遍。

然后比较下一个数据。

void MinHeapFixup(int a[], int i)

{

for (int j = (i - 1) / 2; (j >= 0 && i != 0)&& a[i] > a[j]; i = j, j = (i - 1) / 2)

Swap(a[i], a[j]);

}

void MinHeapAddNumber(int a[], int n, int nNum)

{

a[n] = nNum;

MinHeapFixup(a, n);

}

swap函数就是交换函数，我没写，你自己运行一下试试，应该没有什么问题

7、堆排序

void heap(ET p[], int n)

{ int i, k ; ET t ;

k=n/2 ;

for(i=k-1 ; i>=0 ; i--) sift(p, n-1, i) ;

for(i=n-1 ; i>=1 ; i--)

{ t=p[0] ; p[0]=p[i] ; p[i]=t ;

sift(p, i-1, 0) ;

}

return ;

}

static sift(ET A[], int n, int m)

{ int j ; ET t ;

t=h[m] ; j=2(m+1)-1 ;

while(j<=n)

{ if(j<n && h[j]<h[j+1]) j=j+1;

if(t<h[j])

{ h[m]=h[j]; m=j;

j=2(m+1)-1;

}

else j=n+1;

}

h[m]=t;

return;

}

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