证明：可数点集是勒贝格可测集，并求其测度

 勒贝格测度？今天读论文，读到了勒贝格测度（Lebesgue measure），不明所以故百度，稍做笔记以记之。定义数学上，勒贝格测度是赋予欧几里得空间的子集一个长度、面积、或者体积的标准方法。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。

本文从Riemann积分和Lebesgue积分的定义出发,揭示它们的本质并不是划

分的不同,而是在于分别由其可积函数全体构成的空间是否具有完备性。

关键词:Riemann积分; Lebesgue积分;划分;可积;完备

中图分类号:O 172 文献标识码:A

在一般的分析书中,只揭示了Riemann

积分[1]和Lebesgue积分[2]的关系,指出了

Lebesgue积分是Riemann积分的一种推广,

并为一般有界函数Riemann积分提供了一

个简明的判别准则[2,3]。但没有指出Rie-

mann积分和Lebesgue积分的本质区别到底

是什么。下面我们就从它们的定义出发,利

用空间的完备性概念来加予探讨。

1Riemann积分

Riemann积分是为了解决计算平面上封

闭曲线围成图形的面积而产生的,它是从划

分闭区间[a, b]着手,利用极限思想来定义

的[1,5]。

定义设函数f(x)在[a, b]上有定义。

任给[a, b]一个划分T:

a=x0<x1<…<xn=b,

然后在每个小区间[ xk-1, xk]上任取一点

ξk, k=1,2,…,n。记区间[xk-1, xk]的长

为Δk=xk-xk-1,并令l(T)=max{Δk∶k

=1,2,…,n}。作积分和

σn=∑

n

k=1

f(ζk)Δk

如果l(T)→0时,积分和σn的极限是I ,即

lim

l(T)→0

σn=lim

l(T)→0∑

n

k=1

f(ζk)Δk=I,且数I与划

分T无关,也与ξk的取法无关,则称函数

f(x)在[a, b]上Riemann可积, I是在[a,

b]上的Riemann积分,表示为

I = (R)∫baf(x)dx

如果l(T)→0时,积分和σn极限不存在,称

函数f(x)在[a, b]上不可积。

由Riemann积分的定义易知:若函数

f(x)在[a, b]上Riemann可积,则f(x)在

[a, b]上必有界。换句话说,若函数f(x)在

[a, b]上无界,则f(x)在[a, b]上必不是

Riemann可积的。由定义我们还可以知道这

种可积函数必须是“差不多连续的”[1,5]。

2Lebesgue积分

利用与Riemann积分类似思想,从划分

函数值域着手利用极限思想来定义Lebesgue

积分,我们称为定义A[2,3,5]。

定义A设函数f(x)是[a, b]上有界可

测函数, m < f(x) < M。任给[m, M]一

个划分T∶m = y0< y1<…< yn= M

然后考虑集合Ek= {x∶yk-1≤f(x) <

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第18卷第5期高等函授学报(自然科学版) Vol18 No5

2004年10月 Journal of Higher Correspondence Education(Natural Sciences) October 2004

收稿日期:2004-06-24

作者简介:杨华(1980-),女,湖北人,西华师范大学数学与信息学院研究生,从事数学教育研究yk},其中k =1,2…,n定义Lebesgue小和

s及大和S

s =∑

n

k=1

yk-1mEk, S =∑

n

k=1

ykmEk

则有infS=sups及0≤S-s< t(b-a),

其中t =max{yk- yk-1: k =1,2,…,n}。

于是定义函数f(x)在[a, b]上的

Lebesgue积分为

infS =sups = (L)∫baf(x)dx。

我们还可以得到

lim

t→0

S =lim

t→0

s = (L)∫baf(x)dx。

由定义可知有界区间上的有界可测函数

的Lebesgue积分总是存在的。

比较Riemann积分的定义和Lebesgue积

分的定义A,使人认为,Riemann积分是对

区间[a, b]进行划分来考虑的,而Lebesgue

积分是从对函数值域进行划分来考虑的。这

确实是一个重要的现象,但这并不是它们区

分的本质。因为我们也可以不用划分函数值

域的方法来定义Lebesgue积分。我们有下面

的定义,称为定义B[4,5]。

定义B设f(x)是Rn上的非负可测简

单函数,它的点集Ai(i =1,2,…,p)上取值

ci :f(x) =∑

p

i=1

cixA

i,∪

p

i=1Ai= Rn,Ai∩Aj

=Ф(i≠j)。

若E是可测集,则定义非负可测简单函

数f(x)在E上的Lebesgue积分为

(L)∫Ef(x)dx =∑pi=1cim(E∩Ai)。

设f(x)是E Rn上的非负可测函数,

我们定义f(x)在E上的Lebesgue积分为

(L)∫Ef(x)dx =suph(x)≤f(x)

x∈E

{∫Eh(x)dx:h(x)

是Rn上的非负可测简单函数}。

若(L)∫Ef(x)dx <∞,则称f(x)在E

上是Lebesgue可积的。

设f(x)是E Rn上的可测函数,

f+(x) =max{f(x),0}, f-(x) =max{-

f(x),0},如果积分(L)∫Ef+(x)dx、

(L)∫Ef-(x)dx中至少有一个是有限的,则

称(L)∫Ef(x)dxf(x) = (L)∫Ef+(x)dx-

(L)∫Ef-(x)dx为f(x)在E上的Lebesgue

积分;若上式右端两个积分都有限时,则称

f(x)在E上是Lebesgue可积的。

从Lebesgue积分的定义B可以看出,这

里没有对函数值域作任何的划分,而是从非

负可测简单函数出发来定义可测函数的

Lebesgue积分,当然Lebesgue积分的这两个

定义是等价的[3,5]。虽然在[a, b]上

Riemann可积的函数是Lebesgue可积的,但

反之却不一定成立。因此对区间作划分上的

不同只是表面现象,并不是Lebesgue积分定

义的本质。

3积分的本质区别

我们知道Riemann积分的理论是以“基

本上”连续的函数为研究对象的,而Lebesgue

积分的研究对象属于可测函数范围。那么,

Lebesgue积分定义的本质是什么呢为了说

清楚这个问题,我们要用线性空间的完备

性[3,4,5]来解释。

记R[a, b]为闭区间[a, b]上

Riemann可积函数的全体,引进距离

d(f, g) = (R)∫ba| f(x)-g(x) |dx

其中d(f, g) =0时,f和g是同一元。显然

R[a, b]是线性度量空间。

记L[a, b]为闭区间[a, b]上

Lebesgue可积函数的全体,引进距离

d(f, g) = (L)∫ba| f(x)-g(x) |dx

其中d(f, g)=0时, f和g是几乎处处相等

的。显然L[a, b]是线性度量空间。

命题1R[a, b]是一个不完备空间。

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第18卷第5期高等函授学报(自然科学版) Vol18 No5

2004年10月 Journal of Higher Correspondence Education(Natural Sciences) October 2004证明欲证R[a, b]是不完备的,就是要

证当fn(x)是R[a, b]中的基本列时,并不

存在f∈R[a, b],使得lim

n→∞

d(fn, f) =0。

令{rn}是(a, b)中的有理数的全体,设

In是[a, b]中的开区间, rn∈In, | In|<

(b- a)/2n(n =1,2,…),并作函数

f(x) =

b- a,x∈∪

∞

n=1

In

0,x∈[a,b]\∪

∞

n=1

In

易知f(x)在[a, b]\∪

∞

n=1

In内的点上是不

连续的,它不是Riemann可积的,且不存在

Riemann可积函数g(x),使得d(f,g) =0

然而,若作函数列

fn(x) =

b- a,x∈∪

n

n=1

In

0,x∈[a,b]\∪

n

n=1

In

则fn(x)∈R[a, b],且有lim

n→∞

m→∞

d(fn, fm)=

0,即fn是基本列,以及lim

n→∞

d(fn, f) =0所

以R[a, b]是一个不完备空间。

命题2 L[a, b]是一个完备空间。

证明设{fn}是R[a,b]中的基本列。

ε>0, N,当m,n > N时有

d(fn, fm) =(L)∫ba|fn(x)-fm(x)|

dx <ε。

设E = {x: | fn(x)-fm(x) |≥δ},则

δm(E)≤(L)∫E|fn(x)-fm(x)|dx

≤(L)∫ba|fn(x)-fm(x)|dx

<ε

于是由Riesz定理[2,3,4,5], fn依Lebesgue

测度收敛于f从而有子序列依测度收敛于

f下面证明fnk→f即可。显然fnk也是基本

列,即:

对上述的ε,当nk, ni> N时有

d(fn

k

, fn

i

)= (L)∫ba| fnk-fni(x)|dx <ε

另一方面,当ni→∞时, | fn

k(x) -

fni(x) |几乎处处依测度收敛于| f(x) -

fn

i(x) |

由Fatou引理有

d(fn

k,f) = (L)∫ba| f(x)-fni(x) |dx

≤lim

i→∞

(L)∫ba| fnk(x)-fni(x) |dx

<ε

故f-fnk∈L[a, b],从而

f = fn

k

-(f-fn

k

)∈L[a, b]于是

d(fn,f) =d(fn,fn

k) +d(fnk, f) <ε

所以,lim

n→∞

fn= f,从而L[a, b]是完备

空间。

由上述命题即可知,不完备空间R[a,

b]扩充到空间L[a,b]后,就得到了一个完

备空间,这就是Riemann积分和Lebesgue积

分的本质区别,不要被它们的表面现象所迷

惑,认为是在于对区间[a,b]和函数值域进

行划分的不同,同时也更能说明Lebesgue积

分是Riemann积分的一种推广。

参考文献

[1]刘玉琏等数学分析讲义[M]北京:人民教育出

版社, 1982

[2]江泽坚等实变函数论[M]北京:高等教育出版

社, 2000

[3]夏道行等实变函数与泛函分析概要[M]上海:

上海科技出版社, 1982

[4]DLCohn Measure Theory BirkhauserBoston,

1980

[5] MMRao Measure Theory and Integration

John Wiley & Sons,1987

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第18卷第5期高等函授学报(自然科学版) Vol18 No5

2004年10月

1。这样的例子不存在。

证明：

设f(u),g(x)分别是复合函数f(g(x))的外函数和内函数。由题,f(u)可积，g(x)连续。

由f(u)可积，设f(u)的不连续点的集合U，则m(U)=0，U至多可数。设u0属于U，则集合Eu0={x0|u0=g(x0)，f(g(x0))是f(g(x))的不连续点}的测度只能是0。否则，若m(Eu0)>0,则必有x轴(实数集R)上测度大于0的区间I属于Eu0，I中的每个内点x0都取值f(u0),从而f(g(x))在x0点连续,与Eu0的定义矛盾。设集合EU=Eu0的并集(u0属于U),则EU至多可数，从而m(EU)=0

设V是f(u)的所有连续点的集合。任取v0属于V,则对任意的x0，f(x0)=v0，f(g(x))在x0点连续。

从而EU是f(g(x))的所有不连续点的集合。

因为m(EU)=0,所以f(g(x))可积。

注1：实变函数Riemann可积的充要条件是不连续点的测度为0。本定理一般出现在在实变函数课程中。但徐森林的《数学分析》教材中有证明。可去图书馆参考。

绝对是Riemann可积的充要条件。你查查文献再问问题。

注2：证明的思想是，f(u)的连续点依然是f(g(x))的连续点；故f(g(x))的不连续点只能在f(u)的不连续点上。讨论f(u)的不连续点的定义域，可知，f(g(x))的不连续点的测度为0

注3：应该也能用分划的方法证明，只是麻烦

2如果一个函数既有原函数，又有界，那么在闭区间上必然可积

证明：设f(x)在[a,b]上有界，存在[a,b]上的函数F'(x)=f(x)。

任取[a,b]的分划S:

a=x0<x1<<xn=b

取标志点组e1,e2,,en, x(i-1)<=ei<=xi。

则Riemann和为

E=sigma(f(ei)(xi-x(i-1))) i=1,,n

当|S|=max[xi-x(i-1)],i=1,,n足够小时

F(xi)-F(x(i-1))=F'(ei)(xi-x(i-1))+o(|S|)

=f(ei)(xi-x(i-1))+o(|S|)

即可用F(xi)-F(x(i-1))近似代替f(ei)(xi-x(i-1))，误差任意小。故

E=sigma(F(xi)-F(x(i-1))+o(|S|)

=|F(b)-F(a)|+o(|S|)

从而limE=(F(b)-F(a) |S|->0

由于F(x)可导，故连续，有界，所以F(b)-F(a)为有限值。故f(x)在[a,b]上可积，积分值为F(b)-F(a)。

至于你说的有界条件，用在了标志点组的选取上；同时也是Riemann可积的必要条件

将黎曼积分推广到勒贝格积分有沃尔泰拉，法国数学家Lebesgue，希腊数学家Caratheodory等数学家。波恩哈德·黎曼(公元1826—1866年)，德国著名的数学家，他在数学分析和微分几何方面作出过重要贡献，他开创了黎曼几何，并且给后来爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。法国数学家Lebesgue在20世纪初系统的建立了测度论，成功的建立起新的积分理论，他发表于1902年的博士论文《积分、长度和面积》被公认为现代测度和积分理论的奠基之作，堪称史上最强数学博士论文。

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