动态规划

与贪心算法求局部最优解相比，动态规划求的是全局最优解（但不是每个问题都有最优解，比如NP完全问题就没有最优解）

例： 背包问题之动态规划解决

问题描述：

现在有一个背包可以装4磅物品，现在要从商城里拿尽可能价值高的物品装进包里。

商城物品情况如下

每个动态规划都从一个网格（如下）开始

现在一行一行地填充该网格。

每个格子的计算公式：

填充吉他行 目前最大价值1500（吉他）

填充音箱：目前最大价值3000（音箱）

填充笔记本：目前最大价值3500（吉他+笔记本）

动态规划的原则就是将大问题拆解成多个小问题，先把小问题的最优解求出，再在考虑小问题最优解的前提下，得出最终问题的最优解

本例的背包问题中，先求出只有吉他一种物品时的最优解，再逐步添加物品，最终求出最优解

关于网格计算公式的补充：

整个动态规划求解过程中，是从小问题层逐步求解到大问题，自然每个格子要考虑的第一点就是前一格子的最大值，又，新的一层添加了新物品，所有也要考虑新物品的价值+剩余可用磅数的最大价值（上一层求得）

背包问题补充：

若再添加一个物品 ——项链{‘价值’：1000$，‘重量’：0.5磅}

此时如果沿用之前的网格

如果要装的物品为燕麦，木豆，大米 这种可以一部分一部分取出的物品

动态规划则解决不了这种情形，贪心可以。

旅游行程问题

当然我们可以用动态规划的网格法来得到一条最有价值的旅游路线

如果加入以下景点

在去巴黎的景点所花费的时间中，有0.5天是从伦敦前往巴黎的时间。

因此如果先去了埃菲尔铁塔,则去巴黎的剩下两个景点的花费时间也要减少2个小时

这种情况就不能使用之前的动态规划算法。

动态算法处理的每个子问题都是离散的

再来看一个案例

假如你要经营一个网站，网站主要任务是：英文单词翻译。即用户输入英文单词，你给出相应的翻译。 例用户输入fish，网站输出鱼

如果用户输入的hish，但词典中并没有该单词，此时应给出相似词。

怎么样才算是相似词呢？判断最大子串长度？

利用动态规划求出两字符串（fish和hish）的最大字串长度

动态规划解决问题总是要先知道网格中的各个元素：

两个坐标轴是什么？网格中的值是什么（通常为要 优化的指标 ）

1，分解问题：要求fish和hish的最大子串，可以先求其字串的最大公共子串（如先求fis和his）。考虑两个坐标轴为两个单词，则网格中的值为最大子串的长度。

接下来填充该网格。不断验证得到单元格公式：

单元格公式解释：

1）两字母相同，则局部最大字串要延长，即斜上方（cell[i][j]）的值加一(这里指标值在斜方向上累加)

2）若是不同，则局部最大字串为0

两字符串的最大字串长度即为网格中的最大值3。

如果用户输入fosh，那么要返回fish还是fort呢？

如果判断依据为最大子串，则会返回fort，但实际上fish和fosh更像！

因此我们考虑判断依据为两字符串的最大公共子序列长度（即两字符串公共字符的个数）

求最大公共子序列的单元格公式为：

fosh和fort的最大公共子序列长度为2

fosh和fish的最大公共子序列长度为3

此时就可以返回正确结果fish而非fort。

1，动态规划通常用于解决 在给定约束条件下优化某个指标值

2，动态规划的原则就是：将大问题分解成小问题，在解决了小问题的条件下，逐步求解大问题。（一个分解问题的方法就是，将条件逐渐减少，从最简单的情况开始分析）

3，动态规划使用的一个必要条件为： 分解出来的每个小问题都是离散的

4，每种动态规划方案都设计网格

4.1，网格的每个格子都是一个小问题

4.2，网格的每个格子的值都是指标的值

4.3，单元格计算公式需要 具体问题具体分析 。

嗯···我学动归不是很久，同样是迷惘过，估计两个月前刚刚开窍……

你看他写的什么无后效性什么最优子结构的就头大，我也头大%…………

动态规划一般解决两类问题，一类是最优化问题,就是问你最大价值最小数什么的，另一类是方案总数问题。

细分的话类型很多，

我见得多的（我是高二学生，目前在筹备NOIP）

（你那题多我就只说名字了）

背包，楼上连9讲都放上来了我就不多说了……

最长不上升不下降子序列问题（比如说潘帕斯雄鹰生日模拟赛的飞翔，就是很经典的不下降的变形）

资源分配问题（比如说橱窗布置，马棚问题，机器分配问题）

区间动归（乘积最大，能量项链等等）

最长公共子序列问题（有个遗传编码好像）；

解决方案树的比如说爬楼梯问题……………………

动态规划的类型很多很多，因为他很灵活的，我们老师曾经给我们找了100个DP方程，但是那都没有用，强记根本记不住，关键是理解。

深入一点的就有DP的优化，时间空间的降维（就是用别的方法去做，或者比如说背包本来是二维的空间优化过该成一维的了），树形DP（这个我也不会）。

（优化里面有个很经典的题《过河》）

我对DP是属于那种突然就开了窍的……别看说“动态规划”什么的唬人，其实就是一个比较一个计算，知道他干什么了题上来就有头绪，方程啊思想啊就有了……

主要也是多看题吧，从简单的开始，理解他的思想……自己写动归的时候注意下面几个问题：

1、大前提是确定你做的是动归题……看得多了也就知道自己面对的是什么类型的题了

2、次前提是想法要对（我做题的时候先想这道题时间空间的维度，然后根据这个去想方程），方程正确，

实在想不起来可以先看题解，去理解人家的思想之后，不要看标程把程序做出来……

3、注意数组不要开的过小，一般都是左右都开大一点，比如他的数据范围是1~100 ，数组就开0~101.这个是防越界的，因为很多DP赋初值的时候会用到F[0],F[0,0]

4、初始值要正确，因为很多DP其他地方都是正确的因为初始值赋错了而全部过不了的情况是很常见的……（比如说USACO里面的货币系统）

5、DP循环的范围要正确，一般根据题来判断范围写多少的（比如说橱窗问题，今天下午写这个题因为循环写错了一直AC不了）

USACO里也有很多DP题，可以做……

以上全部手打，希望能对你有所帮助。

我也是正在学习的人，上面的东西不一定全部正确，但是对我而言很受用，也算是我的经验了。希望日后能一起学习交流外加进步喽

QQ：340131980

1.资源问题1

-----机器分配问题

F[I,j]:=max(f[i-1,k]+w[i,j-k])

2.资源问题2

------01背包问题

F[I,j]:=max(f[i-1,j-v]+w,f[i-1,j])

3.线性动态规划1

-----朴素最长非降子序列

F:=max{f[j]+1}

4.剖分问题1

-----石子合并

F[i,j]:=min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j])

5.剖分问题2

-----多边形剖分

F[I,j]:=min(f[i,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a)

6.剖分问题3

------乘积最大

f[i,j]:=max(f[k,j-1]*mult[k,i])

7.资源问题3

-----系统可靠性(完全背包)

F[i,j]:=max{f[i-1,j-c*k]*P[I,x]}

8.贪心的动态规划1

-----快餐问题

F[i,j,k]:=max{f[i-1,j',k']+(T-(j-j')*p1-(k-k')*p2) div p3}

9.贪心的动态规划2

-----过河 f=min{{f(i-k)} (not stone)

{f(i-k)}+1} (stone) +贪心压缩状态

10.剖分问题4

-----多边形-讨论的动态规划

F[i,j]:=max{正正 f[I,k]*f[k+1,j]

负负 g[I,k]*f[k+1,j]

正负 g[I,k]*f[k+1,j]

负正 f[I,k]*g[k+1,j]} g为min

11.树型动态规划1

-----加分二叉树 (从两侧到根结点模型)

F[I,j]:=max{f[I,k-1]*f[k+1,j]+c[k]}

12.树型动态规划2

-----选课 (多叉树转二叉树,自顶向下模型)

F[I,j]表示以i为根节点选j门功课得到的最大学分

f[i,j]:=max{f[t.l,k]+f[t.r,j-k-1]+c}

13.计数问题1

-----砝码称重

f[f[0]+1]=f[j]+k*w[j]

(1<=i<=n 1<=j<=f[0]1<=k<=a)

14.递推天地1

------核电站问题

f[-1]:=1 f[0]:=1

f:=2*f[i-1]-f[i-1-m]

15.递推天地2

------数的划分

f[i,j]:=f[i-j,j]+f[i-1,j-1]

16.最大子矩阵1

-----一最大01子矩阵

f[i,j]:=min(f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1])+1

ans:=maxvalue(f)

17.判定性问题1

-----能否被4整除

g[1,0]:=trueg[1,1]:=falseg[1,2]:=falseg[1,3]:=false

g[i,j]:=g[i-1,k] and ((k+a[i,p]) mod 4 = j)

18.判定性问题2

-----能否被k整除

f[I,j±n mod k]:=f[i-1,j] -k<=j<=k1<=i<=n

20.线型动态规划2

-----方块消除游戏

f[i,i-1,0]:=0

f[i,j,k]:=max{f[i,j-1,0]+sqr(len(j)+k),

f[i,p,k+len[j]]+f[p+1,j-1,0]}

ans:=f[1,m,0]

21.线型动态规划3

-----最长公共子串，LCS问题

f[i,j]={0(i=0)&(j=0)

f[i-1,j-1]+1(i>0,j>0,x=y[j])

max{f[i,j-1]+f[i-1,j]}} (i>0,j>0,x<>y[j])

22.最大子矩阵2

-----最大带权01子矩阵O(n^2*m)

枚举行的起始，压缩进数列，求最大字段和，遇0则清零

23.资源问题4

-----装箱问题(判定性01背包)

f[j]:=(f[j] or f[j-v])

24.数字三角形1

-----朴素の数字三角形

f[i,j]:=max(f[i+1,j]+a[I,j],f[i+1,j+1]+a[i,j])

25.数字三角形2

-----晴天小猪历险记之Hill

同一阶段上暴力动态规划

if[i,j]:=min(f[i,j-1],f[I,j+1],f[i-1,j],f[i-1,j-1])+a[i,j]

26.双向动态规划1

数字三角形3

-----小胖办证

f[i,j]:=max(f[i-1,j]+a[i,j],f[i,j-1]+a[i,j],f[i,j+1]+a[i,j])

27. 数字三角形4

-----过河卒

//边界初始化

f[i,j]:=f[i-1,j]+f[i,j-1]

28.数字三角形5

-----朴素的打砖块

f[i,j,k]:=max(f[i-1,j-k,p]+sum[i,k],f[i,j,k])

29.数字三角形6

-----优化的打砖块

f[I,j,k]:=max{g[i-1,j-k,k-1]+sum[I,k]}

30.线性动态规划3

-----打鼹鼠’

f:=f[j]+1(abs(x-x[j])+abs(y-y[j])<=t-t[j])

31.树形动态规划3

-----贪吃的九头龙

32.状态压缩动态规划1

-----炮兵阵地

Max(f[Q*(r+1)+k],g[j]+num[k])

If (map and plan[k]=0) and

((plan[P] or plan[q]) and plan[k]=0)

33.递推天地3

-----情书抄写员

f:=f[i-1]+k*f[i-2]

34.递推天地4

-----错位排列

f:=(i-1)(f[i-2]+f[i-1])

f[n]:=n*f[n-1]+(-1)^(n-2)

35.递推天地5

-----直线分平面最大区域数

f[n]:=f[n-1]+n

:=n*(n+1) div 2 + 1

36.递推天地6

-----折线分平面最大区域数

f[n]:=(n-1)(2*n-1)+2*n

37.递推天地7

-----封闭曲线分平面最大区域数

f[n]:=f[n-1]+2*(n-1)

:=sqr(n)-n+2

38递推天地8

-----凸多边形分三角形方法数

f[n]:=C(2*n-2,n-1) div n

对于k边形

f[k]:=C(2*k-4,k-2) div (k-1)//(k>=3)

39递推天地9

-----Catalan数列一般形式

1,1,2,5,14,42,132

f[n]:=C(2k,k) div (k+1)

40递推天地10

-----彩灯布置

排列组合中的环形染色问题

f[n]:=f[n-1]*(m-2)+f[n-2]*(m-1) (f[1]:=mf[2]:=m(m-1)

41线性动态规划4

-----找数

线性扫描

sum:=f+g[j]

(if sum=Aim then getoutif sum<Aim then inc(i) else inc(j))

42线性动态规划5

-----隐形的翅膀

min:=min{abs(w/w[j]-gold)}

if w/w[j]<gold then inc(i) else inc(j)

43剖分问题5

-----最大奖励

f:=max(f,f[j]+(sum[j]-sum)*i-t

44最短路1

-----Floyd

f[i,j]:=max(f[i,j],f[i,k]+f[k,j])

ans[q[i,j,k]]:=ans[q[i,j,k]]+s[i,q[i,j,k]]*s[q[i,j,k],j]/s[i,j]

45剖分问题6

-----小H的小屋

F[l,m,n]:=f[l-x,m-1,n-k]+S(x,k)

46计数问题2

-----陨石的秘密（排列组合中的计数问题）

Ans[l1,l2,l3,D]:=f[l1+1,l2,l3,D+1]-f[l1+1,l2,l3,D]

F[l1,l2,l3,D]:=Sigma(f[o,p,q,d-1]*f[l1-o,l2-p,l3-q,d])

47线性动态规划

------合唱队形

两次F:=max{f[j]+1}＋枚举中央结点

48资源问题

------明明的预算方案：加花的动态规划

f[i,j]:=max(f[i,j],f[l,j-v-v[fb]-v[fa]]+v*p+v[fb]*p[fb]+v[fa]*p[fa])

49资源问题

-----化工场装箱员

50树形动态规划

-----聚会的快乐

f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1])

f[i,1]:=sigma(f[t^.son,0])

f[i,0]:=sigma(f[t^.son,3])

51树形动态规划

-----皇宫看守

f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1])

f[i,1]:=sigma(f[t^.son,0])

f[i,0]:=sigma(f[t^.son,3])

52递推天地

-----盒子与球

f[i,1]:=1

f[i,j]:=j*(f[i-1,j-1]+f[i-1,j])

53双重动态规划

-----有限的基因序列

f:=min{f[j]+1}

g[c,i,j]:=(g[a,i,j] and g[b,i,j]) or (g[c,i,j])

54最大子矩阵问题

-----居住空间

f[i,j,k]:=min(min(min(f[i-1,j,k],f[i,j-1,k]),

min(f[i,j,k-1],f[i-1,j-1,k])),

min(min(f[i-1,j,k-1],f[i,j-1,k-1]),

f[i-1,j-1,k-1]))+1

55线性动态规划

------日程安排

f:=max{f[j]}+P[I](e[j]<s)

56递推天地

------组合数

C[I,j]:=C[i-1,j]+C[I-1,j-1]

C[I,0]:=1

57树形动态规划

-----有向树k中值问题

F[I,r,k]:=max{max{f[l,I,j]+f[r,I,k-j-1]},f[f[l,r,j]+f[r,r,k-j]+w[I,r]]}

58树形动态规划

-----CTSC 2001选课

F[I,j]:=w(if i∈P)+f[l,k]+f[r,m-k](0≤k≤m)(if l<>0)

59线性动态规划

-----多重历史

f[i,j]:=sigma{f[i-k,j-1]}(if checked)

60背包问题(+-1背包问题+回溯)

-----CEOI1998 Substract

f[i,j]:=f[i-1,j-a] or f[i-1,j+a]

61线性动态规划(字符串)

-----NOI 2000 古城之谜

f[i,1,1]:=min{f[i+length(s),2,1], f[i+length(s),1,1]+1}f[i,1,2]:=min{f[i+length(s),1,2]+words[s],f[i+length(s),1,2]+words[s]}

62线性动态规划

-----最少单词个数

f[i,j]:=max{f[I,j],f[u-1,j-1]+l}

63线型动态规划

-----APIO2007 数据备份

状态压缩＋剪掉每个阶段j前j*2个状态和j*2+200后的状态贪心动态规划

f:=min(g[i-2]+s,f[i-1])

64树形动态规划

-----APIO2007 风铃

f:=f[l]+f[r]+{1 (if c[l]<c[r])}

g:=1(d[l]<>d[r]) 0(d[l]=d[r])

g[l]=g[r]=1 then Halt

65地图动态规划

-----NOI 2005 adv19910

F[t,i,j]:=max{f[t-1,i-dx[d[[t]],j-dy[d[k]]]+1],f[t-1,i,j]

66地图动态规划

-----优化的NOI 2005 adv19910

F[k,i,j]:=max{f[k-1,i,p]+1} j-b[k]<=p<=j

67目标动态规划

-----CEOI98 subtra

F[I,j]:=f[I-1,j+a] or f[i-1,j-a]

68目标动态规划

----- Vijos 1037搭建双塔问题

F[value,delta]:=g[value+a,delta+a] or g[value,delta-a]

69树形动态规划

-----有线电视网

f[i,p]:=max(f[i,p],f[i,p-q]+f[j,q]-map[i,j])

leaves>=p>=l, 1<=q<=p

70地图动态规划

-----vijos某题

F[I,j]:=min(f[i-1,j-1],f[I,j-1],f[i-1,j])

71最大子矩阵问题

-----最大字段和问题

f:=max(f[i-1]+b,b)f[1]:=b[1]

72最大子矩阵问题

-----最大子立方体问题

枚举一组边i的起始，压缩进矩阵 B[I,j]+=a[x,I,j]

枚举另外一组边的其实，做最大子矩阵

73括号序列

-----线型动态规划

f[I,j]:=min(f[I,j],f[i+1,j-1](ss[j]=”()”or(”[]”)),

f[I+1,j+1]+1 (s[j]=”(”or”[” ] , f[I,j-1]+1(s[j]=”)”or”]” )

74棋盘切割

-----线型动态规划

f[k,x1,y1,x2,y2]=min{min{f[k-1,x1,y1,a,y2]+s[a+1,y1,x2,y2],

f[k-1,a+1,y1,x2,y2]+s[x1,y1,a,y2]

min{}}

75概率动态规划

-----聪聪和可可(NOI2005)

x:=p[p[i,j],j]

f[I,j]:=(f[x,b[j,k]]+f[x,j])/(l[j]+1)+1

f[I,i]=0

f[x,j]=1

76概率动态规划

-----血缘关系

F[A, B]=(f[A0, B]+P[A1, B])/2

f[I,i]=1

f[I,j]=0(I,j无相同基因)

77线性动态规划

-----决斗

F[I,j]=(f[I,j] and f[k,j]) and (e[I,k] or e[j,k]),i<k<j

78线性动态规划

-----舞蹈家

F[x,y,k]=min(f[a[k],y,k+1]+w[x,a[k]],f[x,a[k],k+1]+w[y,a[k]])

79线性动态规划

-----积木游戏

F[I,a,b,k]=max(f[I,a+1,b,k],f[i+1,a+1,a+1,k’],f[I,a+1,a+1,k’])

80树形动态规划（双次记录）

-----NOI2003 逃学的小孩

朴素的话枚举节点i和离其最远的两个节点 j,k O(n^2)

每个节点记录最大的两个值，并记录这最大值分别是从哪个相邻节点传过来的。当遍历到某个孩子节点的时候，只需检查最大值是否是从该孩子节点传递来的。如果是，就取次大，否则取最大值

81树形动态规划(完全二叉树)

-----NOI2006 网络收费

F[I,j,k]表示在点i所管辖的所有用户中，有j个用户为A，在I的每个祖先u上，如果N[a]>N则标0否则标1，用二进制状态压缩进k中，在这种情况下的最小花费

F[I,j,k]:=min{f[l,u,k and (s<<(i-1))]+w1,f[r,j-u,k and(s<<(i-1))]}

82树形动态规划

-----IOI2005 河流

F:=max

83记忆化搜索

-----Vijos某题,忘了

F[pre,h,m]:=sigma{SDP(I,h+1,M+i)} (pre<=i<=M＋1)

84状态压缩动态规划

-----APIO 2007 动物园

f[I,k]:=f[i-1,k and not (1<<4)] + NewAddVal

85树形动态规划

-----访问术馆

f[i,j-c×2]:= max ( f[l,k], f[r,j-c×2-k] )

86字符串动态规划

-----Ural 1002 Phone

if exist(copy(s,j,i-j)) then f:=min(f,f[j]+1)

87多进程动态规划

-----CEOI 2005 service

Min( f[i,j,k], f[i-1,j,k] + c[t[i-1],t] )

Min( f[i,t[i-1],k], f[i-1,j,k] + c[j,t] )

Min( f[i,j,t[i-1]], f[i-1,j,k] + c[k,t] )

88多进程动态规划

-----Vijos1143 三取方格数

max(f[i,j,k,l],f[i-1,j-R[m,1],k-R[m,2],l-R[m,3]])

if (j=k) and (k=l) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]) else

if (j=k) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[l,i-l]) else

if (k=l) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]) else

if (j=l) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]) else

inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]+a[l,i-l])

89线型动态规划

-----IOI 2000 邮局问题

f[i,j]:=min(f[I,j],f[k,j-1]+d[k+1,i])

90线型动态规划

-----Vijos 1198 最佳课题选择

if j-k>=0 then Min(f[i,j],f[i-1,j-k]+time(i,k))

91背包问题

----- USACO Raucous Rockers

多个背包，不可以重复放物品，但放物品的顺序有限制。

F[I,j,k]表示决策到第i个物品、第j个背包，此背包花费了k的空间。

f[I,j,k]:=max(f[I-1,j,k],f[I-1,j,k-t]+p,f[i-1,j-1,maxtime-t])

92多进程动态规划

-----巡游加拿大（IOI95、USACO）

d[i,j]=max{d[k,j]+1(a[k,i] &j<k<i),d[j,k]+1(a[I,j] &(k<j))}。

f[i,j]表示从起点出发，一个人到达i，另一个人到达j时经过的城市数。d[i,j]=d[j,i]，所以我们限制i>j

分析状态(i,j)，它可能是(k,j)(j<k<i)中k到达i得到（方式1），也可能是(j,k)(k<j)中k超过j到达i得到（方式2）。但它不能是(i,k)(k<j)中k到达j得到，因为这样可能会出现重复路径。即使不会出现重复路径，那么它由(j,k)通过方式2同样可以得到，所以不会遗漏解 时间复杂度O(n3)

93动态规划

-----ZOJ cheese

f[i,j]:=f[i-kk*zl[u,1],j-kk*zl[u,2]]+a[i-kk*zl[u,1],j-kk*zl[u,2]]

94动态规划

-----NOI 2004 berry 线性

F[I,1]:=s

F[I,j]:=max{min{s-s[l-1]},f[l-1,j-1]} (2≤j≤k, j≤l≤i)

95动态规划

-----NOI 2004 berry 完全无向图

F[I,j]:=f[i-1,j] or (j≥w) and (f[i-1,j-w])

96动态规划

-----石子合并 四边形不等式优化

m[i,j]=max{m[i+1,j], m[i,j-1]}+t[i,j]

97动态规划

-----CEOI 2005 service

（k≥long，i≥1）g[i, j, k]=max{g[i-1,j,k-long]+1，g[i-1,j,k]}

（k<long，i≥1） g[i, j, k]=max{g[i-1,j-1,t-long]+1，g[i-1,j,k]}

(0≤j≤m， 0≤k<t) g[0,j,k]=0

ans:=g[n,m,0]。

状态优化：g[i, j]=min{g[i-1,j]，g[i-1,j-1]+long}

其中(a, b)+long=(a’, b’)的计算方法为：

当b+long ≤t时： a’=a b’=b+long

当b+long ＞t时： a’=a+1 b’=long

规划的边界条件：

当0≤i≤n时，g[i,0]=(0,0)

98动态规划

-----AHOI 2006宝库通道

f[k]:=max{f[k-1]+x[k,j]-x[k,i-1], x[k,j]-x[k,i-1]}

99动态规划

-----Travel

A) 费用最少的旅行计划。

设f表示从起点到第i个旅店住宿一天的最小费用；g表示从起点到第i个旅店住宿一天，在满足最小费用的前提下所需要的最少天数。那么：

f=f[x]+v,g=g[x]+1

x满足：

1、x<i，且d – d[x] <= 800（一天的最大行程）。

2、对于所有的t <i, d – d[t] <= 800，都必须满足：

A. g[x] <g[t](f[x] = f[t]时) B. f[x] <f[t] (其他情况)

f[0] = 0，g[0] = 0。 Ans:=f[n + 1]，g[n+1]。

B). 天数最少的旅行计划。

方法其实和第一问十分类似。

设g’表示从起点到第i个旅店住宿一天的最少天数；f’表示从起点到第i个旅店住宿一天，在满足最小天数前提下所需要的最少费用。那么：

g’ = g’[x] + 1,f’ = f’[x] + v

x满足：

1、x<i，且d – d[x] <= 800（一天的最大行程）。

2、对于所有的t <i, d – d[t] <= 800，都必须满足：

f’[x] <f’[t] g’[x] = g’[t]时

g’[x] <g’[t]其他情况

f’[0] = 0，g’[0] = 0。 Ans:=f’[n + 1]，g’[n+1]。

100动态规划

-----NOI 2007 cash

y:=f[j]/(a[j]*c[j]+b[j])

g:=c[j]*y*a+y*b

f:=max(f,g)

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