混沌的耗散系统的混沌

混沌运动的直观形象，在随能量不断耗散而自由度降低的耗散系统中看得更清楚。1963年美国气象学家E洛伦茨在研究对天气至关紧要的热对流问题时，把包含无穷多自由度的热对流偏微分方程简化为三个变量的一阶非线性常微分方程组：

dx/dt=－σx+σy

dy/dt=rx－y－xz

dz/dt=bz+xy

式中变量x表示大气对流强度，y表示上升流与下降流温差，z表示垂直温度剖面变化。系数σ为普朗特数，r为瑞利数，b为量度水平温度结构与垂直温度结构衰减率之差异。洛伦茨选定σ=10，r=28，b=8/3，然后数值求解方程组。结果发现，这极度简化了的系统，出现了极为复杂的运动形式。起始值的细微变化，足以使轨道全然改观。把数值计算结果在由x,y,z支撑的三维相空间中画出来，轨道如上图所示。这是一条在三维空间似乎无序地左右回旋的连续光滑曲线，它并不自我相交，呈现复杂的结构纹样。无论初始值选取在哪里，系统轨道有同一归宿，形成所谓奇怪吸引子。在奇怪吸引子上，如果选取任意接近的两个点为初始值，其运动轨迹以指数方式迅速分离，表现出对初值的极端敏感。具体的是，轨道左右跳动的顺序和次数完全不同。计算表明，初始位置几乎会聚在一起的10,000个点，稍后便会在图中所示的吸引子上到处分布，说明这样的系统中，由于初值的细微不同，运动是不可预测的。

确定性耗散系统运动最终局限在低维吸引子上的现象十分常见。如阻尼摆因受到阻力而停摆，其吸引子称为不动点；适当输入能量抵消耗散，钟摆仍可保持某种周期摆动，此时吸引子为极限环。这类吸引子不存在初值敏感性，故称为平庸吸引子。 洛伦茨吸引子是耗散系统中发现的第一个奇怪吸引子，此后相继在许多非线性系统中找到形形色色的奇怪吸引子，诸如天体运动模型中的埃农吸引子，描述非线性振动的范德波尔方程的上田吸引子，描述化学振荡的布鲁塞尔吸引子等。奇怪吸引子具有一些独特的性质：①在它上面运动轨道对初值极度敏感，不可预测；②它具有分形结构，局部与整体相似。计算表明，洛伦茨吸引子的分维数为206。奇怪吸引子还具有各态历经性，即在相空间中曲折来回穿插的运动轨道经过吸引子上的每一点。

表征混沌中无序现象的两个基本特点是：不可预言性和对于初始值的极端敏感依赖性。这是由E洛伦茨研究天气预报中大气流动问题时首先揭示的。他通过编制程序在计算机上求解模拟地球大气的一个方程组，发现只要作为实验出发点的初始值有一个微不足道的差异，在混沌状态下同一种过程将导致截然不同的图像。而且由于不可能以无限的精度测量初始值，因此不可能预言任何混沌系统的最后结果。洛伦茨还发现，尽管混沌看起来是杂乱无章的，但仍然具有某种条理性，根据计算机输出的几千个可能的解打印的数字只是在某种状态的范围内是随机分布的。正如每日的天气可以有无穷多不可预测的组态，而逐年的气候多少保持某种稳定性。这种内在有序性的源泉是一种被数学家称之为吸引子的东西，它因具有倾向于把一个系统或一个方程吸引到某个终态而得名。洛伦茨模型的吸引子是一类奇异吸引子，方程的解将无限趋近于此奇异吸引子，来回盘旋形成浑然一体的左右两簇，宛如颤动中的一对蝴蝶翅膀（见上图）。

混沌的一个著名表述是蝴蝶效应：“南美洲一只蝴蝶扇一扇翅膀，就会在佛罗里达引起一场飓风。”

在讲混沌理论之前，我们先讲 决定论

拉普拉斯这里所说的“智者”即后人所谓的 拉普拉斯妖 。

拉普拉斯妖 （此“恶魔”知道宇宙中每个 原子 确切的位置和 动量 ，能够使用 牛顿定律 来展现宇宙事件的整个过程，过去以及未来。） 

决定论认为，如果一个可预测系统崩溃 ，那一定是外部原因，而不是系统本身

20世纪中叶，混沌理论诞生，决定论被推翻

混沌理论描述：

即便一个完全被数学方程式精确描述的系统，即便没有外部因素的干扰，它也可能变得完全无法预测

1确定性系统的内在随机性，系统内部的自发性和自组织现象

最著名的实验是化学家别洛乌索夫的BZ震荡反应式 ，

科普实验展示 BZ震荡反应神秘的螺纹图案

溶液自发的随机的产生着绚丽的涟漪状图形的变化，这个现象说明了 一个简单系统在不受外部条件的因素干扰的情况下存在自发无规律变化的可能性，也就是来自事物内部的自发干扰

这与分形理论十分类似，给定十分简单的初始设定，一个简单的公式，就能够创造出复杂的系统

2一个系统的运行轨道对初值的极度敏感性

最著名的是蝴蝶效应，一个简单的因素就能引起巨大的变化

1961年，气象学家Edward Loren 用12个参数建立了气象模型，用来表征基本的气象特征，偶然一次，他在实验运行中段的某一时刻作为初始点来运行，程序不变，初始点又来自上次的运行结果，那么不管运行多少次，结果都是一样的，但最令Edward Loren想不到的是，这次的运行结果与上次大相径庭，Edward Loren仔细观察，发现了问题所在，他在抄数据的时候，把0506127抄成了0506，虽然只有0025%的偏差，导致了运行结果的截然不同

于是他发现，这段程序有个特点，就是 对初始条件的极端敏感

正所谓 差之毫厘，失之千里

如果系统经常有所提到的错误提示，下面的建议可能会有帮助：

1查看系统中是否有木马或病毒。这类程序为了控制系统往往不负责任地修改系统，从而导致 *** 作系统异常。平常应加强信息安全意识，对来源不明的可执行程序绝不好奇。

2更新 *** 作系统，让 *** 作系统的安装程序重新拷贝正确版本的系统文件、修正系统参数。有时候 *** 作系统本身也会有BUG，要注意安装官方发行的升级程序。

3试用新版本的应用程序。

这是个工具。试试看吧

准备材料：五花肉：适量、鸡蛋：1个、姜：少许、盐：适量、生抽：适量。

1、五花肉用清水清洗干净，然后去皮切成小块，姜洗净切丝备用。

2、把切好的五花肉和姜丝一起入料理棒的绞肉杯中，然后启动程序打成肉馅。

3、五花肉打成肉馅后，加入盐、生抽，然后打入一个鸡蛋。

4、然后用筷子朝一个方向搅拌均匀上劲，馄饨馅就做好了。

在四川，把馄饨叫“抄手”。

叫抄手的原因有二种说法：

第一个说法：

一是指因为它皮薄易熟，抄手之间，就已煮熟上桌。有这样一个故事，有人在成都街上闲逛至一小吃店，问老板为什么“馄饨”到这里变成了“抄手”。老板也不说话，只将手中馄饨往汤锅里一扔，而后双手在胸前一抄，身体望门框上一靠，然后双目炯炯地瞪着汤里的那玩意。一分钟后，那玩意好了，盛在碗里，端给食客，口中大叫“抄手二两”。

另一说法是说它的样子像一个人抄起两只手：制作馄饨的最后程序是将面皮两头抄到中间粘紧，这个样子颇似人们在冬季为避寒将两手抄在怀中的形象，所以叫“抄手”。

只有 用matlab写的两次同步的误差系统的模拟图像。

function y=wuchaxitong(t,x);

a=35;b=4;c=25;d=5;e=35;f=100;

k1=1277;k2=1388;k3=55;k4=1;

y=zeros(8,1);

y(1)=a((x(2)-x(6))-(x(1)-x(5)))+e(x(2)-x(6))(x(3)-x(7))+(x(3)-x(7))+e(x(2)-x(6))x(7)+ex(6)(x(3)-x(7))-k1(x(1)-x(5));

y(2)=c(x(1)-x(5))-d(x(1)-x(5))(x(3)-x(7))-dx(5)(x(3)-x(7))-dx(7)(x(1)-x(5))-(x(2)-x(6))+(x(4)-x(8))-k2(x(2)-x(6));

y(3)=(x(1)-x(5))(x(2)-x(6))+(x(1)-x(5))x(6)+x(5)(x(2)-x(6))-b(x(3)-x(7))-k3(x(3)-x(7));

y(4)=-f(x(2)-x(6))-(k4+1)(x(4)-x(8));

tspan=[0:0001:4];%求解时间为2秒也可以 tspan=[0 2]表示自动时间步长

x0=[-1;30;2;10;-3;4;02;6];%初值

[T,Y]=ode45('wuchaxitong',tspan,x0);%用龙格库塔法求解

subplot(4,1,1),plot(T,Y(:,1)),xlabel('t/s'),ylabel('e1')

subplot(4,1,2),plot(T,Y(:,2)),xlabel('t/s'),ylabel('e2')

subplot(4,1,3),plot(T,Y(:,3)),xlabel('t/s'),ylabel('e3')

subplot(4,1,4),plot(T,Y(:,4)),xlabel('t/s'),ylabel('e4')

上面的是误差系统，下面的是画的误差系统的图像，不知道是不是你需要的，我做的是四维的系统

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