用双线性变换法设计原型低通为椭圆型的数字IIR带阻滤波器

课 程 设 计

课程设计名称： 数字信号处理

数字信号处理 专业课程设计任务书

题 目 用双线性变换法设计原型低通为巴特沃兹型的数字IIR带通滤波器

主要内容

用双线性变换法设计原型低通为巴特沃兹型的数字IIR带通滤波器，

要求通带边界频率为400Hz，500Hz，阻带边界频率分别为350Hz，550Hz，通带最大衰减1dB，阻带最小衰减40dB，抽样频率为2000Hz，用MATLAB画出幅频特性，画出并分析滤波器传输函数的零极点；

信号 经过该滤波器，其中 450Hz， 600Hz，滤波器的输出 是什么？用Matlab验证你的结论并给出 的图形。

任务要求

1、掌握用双线性变换法设计原型低通为巴特沃兹型的数字IIR带通滤波器的原理和设计方法。

2、求出所设计滤波器的Z变换。

3、用MATLAB画出幅频特性图。

4、验证所设计的滤波器。

参考文献

1、程佩青著，《数字信号处理教程》，清华大学出版社，2001

2、Sanjit K Mitra著，孙洪，余翔宇译，《数字信号处理实验指导书（MATLAB版）》，电子工业出版社，2005年1月

3、郭仕剑等，《MATLAB 7x数字信号处理》，人民邮电出版社，2006年

4、胡广书，《数字信号处理 理论算法与实现》，清华大学出版社，2003年

审查意见 指导教师签字：

说明：本表由指导教师填写，由教研室主任审核后下达给选题学生，装订在设计（论文）首页

填 表 说 明

1．“课题性质”一栏：

A．工程设计；

B．工程技术研究；

C．软件工程（如CAI课题等）；

D．文献型综述；

E．其它。

2．“课题来源”一栏：

A．自然科学基金与部、省、市级以上科研课题；

B．企、事业单位委托课题；

C．校、院（系、部）级基金课题；

D．自拟课题。

1 需求分析

本课程设计要求用双线性变换法设计原型低通为巴特沃兹型的数字IIR带通滤波器，给定的设计参数为通带边界频率为400Hz，500Hz，阻带边界频率分别为350Hz，550Hz，通带最大衰减1dB，阻带最小衰减40dB，抽样频率为2000Hz。要求采用双线性变换法，使得s平面与z平面是单值的一一对应关系，不存在频谱混淆的问题。由于数字频域和模拟频域的频率不是线性关系，这种非线性关系使得通带截止频率、过渡带的边缘频率的相对位置都发生了非线性畸变。设计出巴特沃兹型的带通滤波器之后，让信号 经过该滤波器，其中 450Hz， 600Hz，分析滤波器的输出 是什么，用Matlab验证结论并给出 的图形。

2 概要设计

1>用双线性变换法设计IIR数字滤波器

脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从S平面到Z平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-π/T～π/T之间，再用z=esT转换到Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-π/T～π/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图1-3所示。

图1-3双线性变换的映射关系

为了将S平面的整个虚轴jΩ压缩到S1平面jΩ1轴上的-π/T到π/T段上，可以通过以下的正切变换实现

（1-5）

式中,T仍是采样间隔。

当Ω1由-π/T经过0变化到π/T时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射了整个jΩ轴。将式（1-5）写成

将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，则得

再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面

z=es1T

从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为：

（1-6）

（1-7）

式（1-6）与式（1-7）是S平面与Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换

式（1-5）与式（1-6）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。

首先,把z=ejω，可得

（1-8）

即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。

其次，将s=σ+jΩ代入式（1-8），得

因此

由此看出，当σ<0时，|z|<1；当σ>0时，|z|>1。也就是说，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。

2>双线性变换法优缺点

双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S平面与Z平面是单值的一一对应关系。S平面整个jΩ轴单值地对应于Z平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。这个关系如式（1-8）所示，重写如下：

上式表明，S平面上Ω与Z平面的ω成非线性的正切关系，如图7-7所示。

由图7-7看出，在零频率附近，模拟角频率Ω与数字频率ω之间的变换关系接近于线性关系；但当Ω进一步增加时，ω增长得越来越慢，最后当Ω→∞时，ω终止在折叠频率ω=π处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。

图1-4双线性变换法的频率变换关系

但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的，如式（1-8）及图1-4所示。由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图1-5所示。

图1-5双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射

对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸来加以校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。

根据以上IIR数字滤波器设计方法，下面运用双线性变换法基于MATLAB设计一个IIR带通滤波器，通带截止频率fp1=500HZ,fp2=400HZ;阻带截止频率fs1=350HZ,fs2=550HZ；通带最大衰减αp=1dB;阻带最小衰减αs=40dB，抽样频率为2000HZ。

I设计步骤：

(1)根据任务,确定性能指标:

通带截止频率fp1=500HZ,fp2=400HZ；

阻带截止频率fs1=350HZ,fs2=550HZ；

通带最大衰减αp=1dB；

阻带最小衰减αs=40dB；

抽样频率为2000HZ。

(2)用Ω=(2/T)tan(w/2)对带通数字滤波器H(z)的数字边界频率预畸变，得到带通模拟滤波器H(s)的边界频率主要是通带截止频率fp1,fp2;阻带截止频率fs1，fs2的转换。

为了计算简便，对双线性变换法一般T=2s

通带截止频率fc1=(2/T)tan(2pifp1/2)

fc2=(2/T)tan(2pifp2/2)

阻带截止频率fr1=(2/T)tan(2pifs1/2)

fr2=(2/T)tan(2pifs2/2)

阻带最小衰减αs=1dB和通带最大衰减αp=40dB;

(3)运用低通到带通频率变换公式λ=(((f^2)-(f0^2))/ f)将模拟带通滤波器指标转换为模拟低通滤波器指标。

B=fc2-fc1

normwr1=(((fc1fc2)-(fc1^2))/fc1) normwr2=(((fc1fc2)-(fc2^2))/fc2)

normwc1=(((fc1fc2)-(fr1^2))/fr1)

normwc2=(((fc1fc2)-(fr1^2))/fr1)

模拟低通滤波器指标：normfc，normfr，αp，αs

(4)设计模拟低通原型滤波器。借助巴特沃斯(Butterworth)滤波器,用模拟低通

滤波器设计方法得到模拟低通滤波器的传输函数H(s);

(5)调用lp2bp函数将模拟低通滤波器转化为模拟带通滤波器。

(6)利用双线性变换法将模拟带通滤波器H(s)转换成数字带通滤波器H(z)

II程序流程框图：

开始

↓

读入数字滤波器技术指标

↓

将指标转换成归一化模拟低通滤波器的指标

↓

设计归一化的模拟低通滤波器阶数N和1db截止频率

↓

模拟域频率变换，将G(P)变换成模拟带通滤波器H(s)

↓

用双线性变换法将H(s)转换成数字带通滤波器H(z)

↓

输入信号后显示相关结果

↓

结束

3 运行环境

PC机 MATLAB

4 开发工具和编程语言

MATLAB语言

5 详细设计

clc;clear all;

%设计滤波器

%所需设计的带通滤波器的参数设置

Fres=2000;

Ts=1/Fres;

Omgap1=500

Omgap2=400

Omgas1=350

Omgas2=550

%进行双线性变换，使得s平面与z平面是单值的一一对应关系

Omgap=(Omgap1-Omgap2)Ts

Omgap3=tan(Omgap1Ts2pi/2)

Omgap4=tan(Omgap2Ts2pi/2)

Omgas3=tan(Omgas1Ts2pi/2)

Omgas4=tan(Omgas2Ts2pi/2)

%对参数归一化

ap1=Omgap3/Omgap

ap2=Omgap4/Omgap

as1=Omgas3/Omgap

as2=Omgas4/Omgap

%将模拟带通滤波器指标转化成模拟低通滤波器指标

I1=(ap1ap2-as1as1)/as1

I2=(ap1ap2-as2as2)/as2

I3=(ap1ap2-ap1ap1)/ap1

I4=(ap1ap2-ap2ap2)/ap2

I5=min(I1,-I2)

alfpp=1;

alfps=40;

%设计巴特沃兹型低通滤波器HL（s）

[N,Wn]=buttord(I4,I5,alfpp,alfps,'s')

[Num,Den]=butter(N,Wn,'s')

%将设计的模拟低通滤波器传递函数HL（s）转化成模拟带通滤波器H（s）

[Num2,Den2]=lp2bp(Num,Den,sqrt(Omgap3Omgap4),Omgap);

%将设计的模拟带通滤波器H（s）转化成数字带通滤波器H（Z）

[Num3,Den3]=bilinear(Num2,Den2,05);

%画出H（Z）幅频特性曲线

w=0:pi/255:pi;

h=freqz(Num3,Den3,w);

H=20log10(abs(h));

plot(w,H);

%设计信号函数

f1=450;f2=600;

t=0:1/2000:40/f2;

f=sin(2pif1t)+sin(2pif2t);

plot(f);

%信号通过带通滤波器

g=invfreqz(h,w,40,50)

g1=conv(g,f)

plot(g1)

6 调试分析

在设计滤波器的时候，计算的是幅频特性。而相频特性没有进行频谱分析。而信号和信号通过滤波器的图形分析都为时与分析，没有进行频域分析，是不知道该用哪个函数对其进行傅里叶变换。试过freqz,fft等函数，但是都没有出来结果。说明调用格式不正确。

本次试验用的是巴特沃兹型低通滤波器设计的方法，还可以利用切比雪夫型低通滤波器设计，或者椭圆型等。

在本次试验中，我们只用了两种频率简单的叠加作为输入信号，但实际信号是多种频率的组合，可以再增加一些频率。

现实中还应该有噪声的影响，本实验中没有考虑。可以再加上噪声信号。

7 测试结果

Fres =

2000

Ts =

50000e-004

Omgap1 =

500

Omgap2 =

400

Omgas1 =

350

Omgas2 =

550

Omgap =

00500

Omgap3 =

10000

Omgap4 =

07265

Omgas3 =

06128

Omgas4 =

11708

ap1 =

200000

ap2 =

145309

as1 =

122560

as2 =

234170

I1 =

114562

I2 =

-110065

I3 =

-54691

I4 =

54691

I5 =

110065

alfpp =

1

alfps =

40

N =

8

Wn =

61894

Num =

10e+006

Columns 1 through 8

0 0 0 0 0 0 0 0

Column 9

21538

Den =

10e+006

Columns 1 through 8

00000 00000 00005 00052 00377 01984 07386 17837

Column 9

21538

Num2 =

10e-004

Columns 1 through 8

08413 00000 -00000 00000 -00000 00000 -00000 00000

Column 9

-00000

Den2 =

Columns 1 through 8

10000 15863 70705 87151 205005 199985 321353 248474

Columns 9 through 16

299185 180527 169631 76698 57123 17643 10400 01695

Column 17

00776

Num3 =

10e-004

Columns 1 through 8

00043 00000 -00341 00000 01194 00000 -02389 00000

Columns 9 through 16

02986 00000 -02389 00000 01194 00000 -00341 00000

Column 17

00043

Den3 =

Columns 1 through 8

10000 -22463 83946 -134519 276744 -336694 483386 -457295

Columns 9 through 16

495687 -364140 306576 -169904 111207 -42944 21332 -04524

Column 17

01603

h =

Columns 1 through 5

-00000 -00000 + 00000i -00000 + 00000i -00000 + 00000i -00000 + 00000i

……

Columns 251 through 256

-00000 - 00000i -00000 - 00000i -00000 - 00000i -00000 - 00000i -00000 - 00000i -00000 - 00000i

H =

Columns 1 through 8

-2792737 -2792732 -2792723 -2792813 -2793855 -2800020 -2830382 -2924507

……

Columns 249 through 256

-2810032 -2803352 -2801410 -2800979 -2800943 -2800973 -2800996 -2801004

f1 =

450

f2 =

600

t =

Columns 1 through 8

0 00005 00010 00015 00020 00025 00030 00035

……

Columns 129 through 134

00640 00645 00650 00655 00660 00665

f =

Columns 1 through 8

0 19387 -02788 -14788 03633 07071 -01420 01338

……

Columns 129 through 134

-03633 -07946 10000 11075 -15388 -10418

g =

Columns 1 through 8

00000 00000 -00000 -00000 00000 00000 -00001 -00002

……

Columns 33 through 41

-00002 00000 00001 -00000 -00000 -00000 00000 00000 00000

g1 =

Columns 1 through 8

0 00000 00000 -00000 -00000 00001 00001 -00003

……

Columns 169 through 174

00000 00000 -00000 -00000 -00000 -00000

综合上述分析，数据基本正确。

上图为带通滤波器幅频响应

、

上图为传输函数零极点分析

上图为输入信号时域

上图为输出波形的时域分析

参考文献

[1] 吴大正 《信号与线性系统分析》第四版 高等教育出版社

[2] 郑君里 《信号与系统》第二版 高等教育出版社

[3] Sanjit K Mitra 《数字信号处理—基于计算机的方法》第三版 清华大学出版社

[4] 余成波 《数字信号处理及MATLAB实现》清华大学出版社

[5] 周利清 《数字信号处理基础》 北京邮电大学出版社

[6] 美国莱昂 《数字信号处理》英文第二版 机械工业出版社

心得体会

00

一、数字滤波器数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。数字滤波实质上是一种运算过程，实现对信号的运算处理。输入数字信号（数字序列）通过特定的运算转变为输出的数字序列，因此，数字滤波器本质上是一个完成特定运算的数字计算过程，也可以理解为是一台计算机。描述离散系统输出与输入关系的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则，使其按照这个规则完成对输入数据的处理。时域离散系统的频域特性: ,其中 、 分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性）, 是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。输入序列的频谱 经过滤波后 ,因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的， 适当选择 ，使得滤波后的 满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。IIR 数字滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应，需要用递归模型来实现，其差分方程为： 系统函数为： 设计IIR滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z)，使其频率响应H(z)满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。二、IIR数字滤波器设计方法IIR数字滤波器是一种离散时间系统，其系统函数为假设M≤N，当M＞N时,系统函数可以看作一个IIR的子系统和一个(M-N)的FIR子系统的级联。IIR数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数 和 ，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）去逼近系统的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在z平面上去逼近，就得到数字滤波器。1用脉冲相应不变法设计IIR数字滤波器 利用模拟滤波器来设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，这种模仿可以从不同的角度出发。脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t)，即将ha(t)进行等间隔采样，使h(n)正好等于ha(t)的采样值，满足h(n)=ha(nT)式中,T是采样周期。如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯变换，H(z)为h(n)的Z变换，利用采样序列的Z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系得

(1-1)则可看出，脉冲响应不变法将模拟滤波器的S平面变换成数字滤波器的Z平面，这个从s到z的变换z=esT是从S平面变换到Z平面的标准变换关系式。

图1-1脉冲响应不变法的映射关系 由（1-1）式，数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为(1-2) 这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即�(1-3)才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即|ω|<π (1-4)但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真，如图7-4所示。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。

图1-2脉冲响应不变法中的频响混叠现象 对某一模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)进行采样，采样频率为fs，若使fs增加，即令采样时间间隔（T=1/fs）减小，则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远，因而可减小频率响应的混叠效应。脉冲响应不变法优缺点：从以上讨论可以看出，脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率Ω和数字频率ω之间呈线性关系ω=ΩT。因而，一个线性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤波器）通过脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波器。脉冲响应不变法的最大缺点是有频率响应的混叠效应。所以，脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器(例如，衰减特性很好的低通或带通滤波器)，而且高频衰减越快，混叠效应越小。至于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。如果要对高通和带阻滤波器采用脉冲响应不变法，就必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频率，然后再使用脉冲响应不变法转换为数字滤波器。当然这样会进一步增加设计复杂性和滤波器的阶数。2用双线性变换法设计IIR数字滤波器脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从S平面到Ｚ平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-π/T～π/T之间，再用z=esT转换到Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-π/T～π/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图1-3所示。 图1-3双线性变换的映射关系为了将S平面的整个虚轴jΩ压缩到S1平面jΩ1轴上的-π/T到π/T段上，可以通过以下的正切变换实现（1-5）式中,T仍是采样间隔。当Ω1由-π/T经过0变化到π/T时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射了整个jΩ轴。将式（1-5）写成

将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，则得

再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面z=es1T从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为：（1-6）

（1-7） 式（1-6）与式（1-7）是S平面与Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换式（1-5）与式（1-6）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。首先,把z=ejω，可得（1-8）即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。其次，将s=σ+jΩ代入式（1-8），得 因此 由此看出，当σ<0时，|z|<1；当σ>0时，|z|>1。也就是说，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。双线性变换法优缺点双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S平面与Z平面是单值的一一对应关系。S平面整个jΩ轴单值地对应于Z平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。这个关系如式（1-8）所示，重写如下： 上式表明，S平面上Ω与Z平面的ω成非线性的正切关系，如图7-7所示。由图7-7看出，在零频率附近，模拟角频率Ω与数字频率ω之间的变换关系接近于线性关系；但当Ω进一步增加时，ω增长得越来越慢，最后当Ω→∞时，ω终止在折叠频率ω=π处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。

图1-4双线性变换法的频率变换关系但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的，如式（1-8）及图1-4所示。由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图1-5所示。

图1-5双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸来加以校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。三、IIR数字带通滤波器设计过程：根据以上IIR数字滤波器设计方法，下面运用双线性变换法基于MATLAB设计一个IIR带通滤波器，其中带通的中心频率为ωp0=05π，;通带截止频率ωp1=04π,ωp2=06π;通带最大衰减αp=3dB;阻带最小衰减αs=15dB;阻带截止频率ωs2=07π1设计步骤：(1)根据任务,确定性能指标:在设计带通滤波器之前,首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标:带通滤波器的阻带边界频率关于中心频率ωp0几何对称，因此ws1=wp0- (ws2-wp0)=03π通带截止频率wc1=04π,wc2=06π;阻带截止频率wr1=03π，wr2=07π；阻带最小衰减αs=3dB和通带最大衰减αp=15dB;(2)用Ω=2/Ttan(w/2)对带通数字滤波器H(z)的数字边界频率预畸变，得到带通模拟滤波器H(s)的边界频率主要是通带截止频率ωp1,ωp2;阻带截止频率ωs1，ωs2的转换。为了计算简便，对双线性变换法一般T=2s通带截止频率wc1=(2/T)tan(wp1/2)=tan(04π/2)=07265wc2=(2/T)tan(wp2/2)=tan(06π/2)=13764阻带截止频率wr1=(2/T)tan(ws1/2)=tan(03π/2)=05095wr2=(2/T)tan(ws2/2)=tan(07π/2)=19626阻带最小衰减αs=3dB和通带最大衰减αp=15dB;(3)运用低通到带通频率变换公式λ=(((Ω^2)-(Ω0^2))/(BΩ))将模拟带通滤波器指标转换为模拟低通滤波器指标。B=wc2-wc1=06499normwr1=(((wr1^2)-(w0^2))/(Bwr1))=2236normwr2=(((wr2^2)-(w0^2))/(Bwr2))=2236normwc1=(((wc1^2)-(w0^2))/(Bwc1))=1normwc2=(((wc2^2)-(w0^2))/(Bwc2))=1得出，normwc=1，normwr=2236模拟低通滤波器指标：normwc=1，normwr=2236，αp=3dB，αs=15dB(4)设计模拟低通原型滤波器。用模拟低通滤波器设计方法得到模拟低通滤波器的传输函数Ha(s);借助巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等。(5)调用lp2bp函数将模拟低通滤波器转化为模拟带通滤波器。(6)利用双线性变换法将模拟带通滤波器Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)2程序流程框图：开始↓读入数字滤波器技术指标↓将指标转换成归一化模拟低通滤波器的指标↓设计归一化的模拟低通滤波器阶数N和3db截止频率↓模拟域频率变换，将G(P)变换成模拟带通滤波器H(s)↓用双线性变换法将H(s)转换成数字带通滤波器H(z)↓输入信号后显示相关结果↓结束 3MATLAB程序：MATLAB 程序如下:clearwp0=05pi;wp1=04pi;wp2=06pi;Ap=3;ws2=07pi;As=15;T=2; %数字带通滤波器技术指标ws1=wp0-(ws2-wp0); %计算带通滤波器的阻带下截止频率wc1=(2/T)tan(wp1/2);wc2=(2/T)tan(wp2/2);wr1=(2/T)tan(ws1/2);wr2=(2/T)tan(ws2/2);w0=(2/T)tan(wp0/2); %频率预畸变B=wc2-wc1; %带通滤波器的通带宽度 normwr1=(((wr1^2)-(w0^2))/(Bwr1));normwr2=(((wr2^2)-(w0^2))/(Bwr2));normwc1=(((wc1^2)-(w0^2))/(Bwc1));normwc2=(((wc2^2)-(w0^2))/(Bwc2)); %带通到低通的频率变换if abs(normwr1)>abs(normwr2) normwr=abs(normwr2)else normwr=abs(normwr1)end normwc=1; %将指标转换成归一化模拟低通滤波器的指标N=buttord(normwc,normwr,Ap,As,'s'); %设计归一化的模拟低通滤波器阶数N和3db截止频率[bLP,aLP]=butter(N,normwc,'s'); %计算相应的模拟滤波器系统函数G(p)[bBP,aBP]=lp2bp(bLP,aLP,w0,B); %模拟域频率变换，将G(P)变换成模拟带通滤波器H(s) [b,a]=bilinear(bBP,aBP,05); %用双线性变换法将H(s)转换成数字带通滤波器H(z)w=linspace (0,2pi,500);h=freqz(b,a,w);subplot(2,1,2);plot(w,abs(h));grid onxlabel('w(rad)')ylabel('|H(jw)|')title('频谱函数')subplot(2,2,1);plot(w,20log10(abs(h)));axis([0,2pi,-120,20]);grid onxlabel('w(rad)')ylabel('20lg|H(jw)|(db)')title('20lg|H(jw)|--w')

1、FIR：有限脉冲响应滤波器。每一个输出都是输入样本邻域中有限个样本际系的加权和。与IIR滤波器相比而言,FIR滤波器当前输出信号不再是以往输出信号的函数。

2、FIR：利用MATLAB信号处理工具箱中的滤波器设计和分析工具(FDATool)，可以很方便地设计出符合应用要求的未经量化的IIR数字滤波器。

3、区别：

①线性相位的不同：

与IIR相比，它具有线性相位、容易设计的优点。这也就说明，IIR滤波器具有相位不线性，不容易设计的缺点。

②所需参数不同：

IIR却拥有FIR所不具有的缺点，那就是设计同样参数的滤波器，FIR比IIR需要更多的参数。

③实时性不同：

要增加DSP的计算量。DSP需要更多的计算时间，对DSP的实时性有影响。以下都是低通滤波器的设计。

IIR系统的特点：

1、封闭函数：

IIR数字滤波器的系统函数可以写成封闭函数的形式。

2、IIR数字滤波器采用递归型结构：

IIR数字滤波器采用递归型结构，即结构上带有反馈环路。IIR滤波器运算结构通常由延时、乘以系数和相加等基本运算组成，可以组合成直接型、正准型、级联型、并联型四种结构形式。

3、借助成熟的模拟滤波器的成果：

IIR数字滤波器在设计上可以借助成熟的模拟滤波器的成果，其设计工作量比较小，对计算工具的要求不高。

4、需加相位校准网络：

IIR数字滤波器的相位特性不好控制，对相位要求较高时，需加相位校准网络。

百度百科-有限脉冲响应滤波器（FIR）

百度百科-IIR数字滤波器

其中为如下的二阶形式：

这样就可以将任意阶的IIR滤波器通过若干二阶网络(也称为滤波器的二阶基本节)级联起来构成,其结构如图1所示。其中,代表第i级的二阶网络。

对于每一个二阶基本节,可以转置直接II型结构加以实现,如图2所示。

采用这种级联结构实现IIR滤波器的优点是每一个基本节只是关系到滤波器的某一对极点和一对零点,调整系数a0i、a1i、a2i,只单独地调整了滤波器第i对零点而不影响其他任何零、极点。同样,调整b1i、b2i系数、也只单独调整了第i对极点。因此,这种结构便于准确地实现滤波器的零、极点,也便于调整滤波器的频率响应性能。这种结构的另一个优点是存储单元需要较少,在硬件实现时,可以用一个二阶节进行时分复用,从而降低对FPGA硬件资源的要求。

IIR数字滤波器的设计

利用MATLAB信号处理工具箱中的滤波器设计和分析工具(FDATool)可以很方便地设计出符合应用要求的未经量化的IIR滤波器。需要将MATLAB设计出的IIR滤波器进一步分解和量化,从而获得可用FPGA实现的滤波器系数。

由于采用了级联结构,因此如何将滤波器的每一个极点和零点相组合,从而使得数字滤波器输出所含的噪声最小是个十分关键的问题。为了产生最优的量化后的IIR数字滤波器,采用如下步骤进行设计。

(1)首先计算整体传递函数的零极点;

(2)选取具有最大幅度的极点以及距离它最近的零点,使用它们组成一个二阶基本节的传递函数;

(3)对于剩下的极点和零点采用与(2)相类似的步骤,直至形成所有的二阶基本节。

通过上面三步法进行的设计可以保证IIR数字滤波器中N位乘法器产生的量化舍入误差最小。

为了设计出可用FPGA实现的数字滤波器,需要对上一步分解获得的二阶基本节的滤波器系数进行量化,即用一个固定的字长加以表示。量化过程中由于存在不同程度的量化误差,由此会导致滤波器的频率响应出现偏差,严重时会使IIR滤波器的极点移到单位圆之外,系统因而失去稳定性。为了获得最优的滤波器系数,采用以下步骤进行量化。

(1)计算每个系数的绝对值;

(2)查找出每个系数绝对值中的最大值;

(3)计算比此绝对值大的最小整数;

(4)对(3)的结果取反获得负整数;

(5)计算需要表示此整数的最小位数;

(6)计算用于表示系数值分数部分的余下位数。

除了系数存在量化误差,数字滤波器运算过程中有限字长效应也会造成误差,因此对滤波器中乘法器、加法器及寄存器的数据宽度要也进行合理的设计,以防止产生极限环现象和溢出振荡。

IIR数字滤波器的VHDL描述

由上一节设计出来的IIR数字滤波器可以进一步用VHDL语言加以描述,通过编译、功能仿真、综合和时序仿真之后就可以在FPGA上实现了。由于采用了级联结构,每一个二阶基本节的VHDL描述都是类似的,只是滤波器的系数有所不同,下面着重讨论二阶基本节的VHDL描述。

采用VHDL描述的二阶基本节的顶层结构如图3所示。数据在执行单元内进行处理。执行单元内部包含算术和逻辑单元以及一些寄存器;算术和逻辑单元主要由串行乘法器和累加器组成;存储器包括工作RAM和系数ROM两部分,分别用于存放计算的中间结果和滤波器的系数;存储器和执行单元通过内部总线相连接;控制模块包括程序ROM和程序控制单元,程序ROM中存放有滤波算法的程序,程序控制单元用于解释指令并为数据处理模块产生控制信号。

此结构既可以接收串行输入的数据,也可以接收并行输入的数据,通过SEL进行设置。外部CPU可以通过READ信号来访问滤波器的计算结果,另外,外部CPU也可以通过地址总线A[3:0]对内部的存储器进行访问,用WRITE信号对滤波器系数进行写 *** 作,这样外部CPU就可以根据自己的需要对滤波器进行配置,灵活地实现各种功能。

各信号的含义如下。

CLK：系统时钟;

RES：异步全局复位信号,低有效;

SDATA：串行输入数据;

PDATA：并行输入数据;

SEL：设置输入数据为并行还是串行;

READ：读信号,低有效;

WRITE：写信号,低有效;

SRES：同步复位信号,高有效;

CLKI：外部CPU时钟;

A[3:0]：外部CPU访问内部寄存器的地址总线;

OUT：输出数据。

内部算术与逻辑单元是整个滤波器的核心,它的结构如图4所示。计算过程是,X、Y为输入数据,通过选择器进入乘法器,算术与逻辑单元从系数ROM中读取滤波器的系数用以输入数据相乘,相乘的结果与前一步的结果相加进入累加器,累加器读取上一步计算的中间结果A并计算,最后将此步计算的结果M存入到RAM中去。

结语

本文介绍了一种采用级联结构在FPGA上实现IIR数字滤波器的方法。在实际使用中,可以根据不同精度要求,方便地对该IIR滤波器进行修改以满足不同的指标要求,灵活地组成任意阶不同类型的滤波器。同时,在系统运行中,外部CPU可以灵活修改滤波器系数,改变滤波器的频率响应,满足特定的应用要求。

参考文献

1 王世一数字信号处理北京理工大学出版社 1997

2 Bernard Gold, Lawrence R Rabiner "Theory and Application of Digital Signal Processing" Prentice-Hall Inc, 1975

3 Dimitris G Manolakis, John G Proakis "Digital Signal Processing: Principles, Algorithms, and

以上就是关于用双线性变换法设计原型低通为椭圆型的数字IIR带阻滤波器全部的内容，包括:用双线性变换法设计原型低通为椭圆型的数字IIR带阻滤波器、利用MATLAB做切比雪夫带阻IIR滤波器设计报告、什么是FIR系统，IIR系统有什么区别等相关内容解答，如果想了解更多相关内容，可以关注我们，你们的支持是我们更新的动力！